2 素数

矛盾を導くため，素数が有限個しか存在しないと仮定する．すべての素数を$p_{1}$, $\dots$, $p_{n}$と列挙し，$P=p_{1}\dotsm p_{n}+1$と置く．$P>1$だから，事実2.1より，$P$は少なくとも一つの素因数をもつので，それを$q$とする．$q$は素数だから， $p_{1}$, $\dots$, $p_{n}$のいずれかでなければならない．しかし，これは$q$が$P$を割り切る²² 2 $q$のとり方から従う． ことに矛盾する．よって，素数は無限に存在する．∎