1 Lie代数 | Lie代数

1.1 Lie代数

定義1.1 (Lie代数)

結合的とは限らない $\mathbb{K}$ 代数 $\mathfrak{g}$ であって，その乗法（ $(x,y)\mapsto[x,y]$ と書く）が次の条件を満たすものを， $\mathbb{K}$ 上のLie代数（Lie algebra over $\mathbb{K}$ ）， $\mathbb{K}$ -Lie代数，あるいは単にLie代数という．

(LIE1)

任意の $x\in\mathfrak{g}$ に対して， $[x,x]=0$ である．
(LIE2)

任意の $x$ , $y$ , $z\in\mathfrak{g}$ に対して， $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ である（この等式を，Jacobiの恒等式という）．

注意1.2

$A$ を結合的とは限らない代数とする．任意の $x\in A$ に対して $xx=0$ ならば，任意の $x$ , $y\in A$ に対して，

0=(x+y)(x+y)=xx+xy+yx+yy=xy+yx

だから， $yx=-xy$ である．逆に，係数体 $\mathbb{K}$ の標数が $2$ でなく，任意の $x$ , $y\in A$ に対して $yx=-xy$ ならば，任意の $x\in A$ に対して， $xx=-xx$ より $xx=0$ を得る．

前段に述べたことより，Lie代数 $\mathfrak{g}$ は次の条件(LIE1^′)を満たし，係数体 $\mathbb{K}$ の標数が $2$ でなければ，Lie代数の定義（定義1.1）において(LIE1)を(LIE1^′)に置き換えてもよい．

(LIE1^′)

任意の $x$ , $y\in\mathfrak{g}$ に対して， $[y,x]=-[x,y]$ である．

Lie代数 $\mathfrak{g}$ の部分代数 $\mathfrak{h}$ は，ふたたびLie代数である．このようにして得られるLie代数を， $\mathfrak{g}$ の部分Lie代数（Lie subalgebra）という．

(LIE1^′)より，Lie代数において左イデアル，右イデアル，両側イデアルは同じものだから，これらを単にイデアルという．Lie代数 $\mathfrak{g}$ とそのイデアル $\mathfrak{a}$ から定まる商代数 $\mathfrak{g}/\mathfrak{a}$ は，ふたたびLie代数である．このようにして得られるLie代数を， $\mathfrak{g}$ の商Lie代数（quotient Lie algebra）という．

Lie代数の族 $(\mathfrak{g}_{i})_{i\in I}$ に対して，その直和代数 $\bigoplus_{i\in I}\mathfrak{g}_{i}$ と積代数 $\prod_{i\in I}\mathfrak{g}_{i}$ は，ふたたびLie代数をなす．これらをそれぞれ， $(\mathfrak{g}_{i})_{i\in I}$ の直和Lie代数（direct sum Lie algebra），積Lie代数（product Lie algebra）という．

Lie代数の間の代数の準同型・同型を，それぞれLie代数の準同型・同型という．Lie代数の構造を考えていることが明らかである場合には，単に準同型・同型ともいう． $\mathfrak{g}$ , $\mathfrak{h}$ をLie代数とし， $f\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}$ をLie代数の準同型とする． $\operatorname{Ker}(f)$ は $\mathfrak{g}$ のイデアル， $\operatorname{Im}(f)$ は $\mathfrak{h}$ の部分Lie代数であり， $f$ は $\mathfrak{g}/\mathord{\operatorname{Ker}(f)}$ から $\operatorname{Im}(f)$ へのLie代数の同型を誘導する． $\mathfrak{a}$ が $\mathfrak{g}$ の部分Lie代数・イデアルならば，それぞれの場合， $f(\mathfrak{a})$ は $\operatorname{Im}(f)$ の部分Lie代数・イデアルである． $\mathfrak{b}$ が $\mathfrak{h}$ の部分Lie代数・イデアルならば，それぞれの場合， $f^{-1}(\mathfrak{b})$ は $\mathfrak{g}$ の部分Lie代数・イデアルである．

$\mathfrak{g}$ をLie代数とし， $(\mathfrak{g}_{i})_{i\in I}$ をその部分Lie代数の族とする．包含準同型の全体が誘導する直和Lie代数 $\bigoplus_{i\in I}\mathfrak{g}_{i}$ から $\mathfrak{g}$ への線型写像がLie代数の同型であるとき， $\mathfrak{g}$ はLie代数として $(\mathfrak{g}_{i})_{i\in I}$ に直和分解されるといい，しばしば $\mathfrak{g}$ と $\bigoplus_{i\in I}\mathfrak{g}_{i}$ をLie代数として同一視する．容易に確かめられるように， $\mathfrak{g}$ がLie代数として $(\mathfrak{g}_{i})_{i\in I}$ に直和分解されるための必要十分条件は， $\mathfrak{g}$ がベクトル空間として $(\mathfrak{g}_{i})_{i\in I}$ に直和分解され，すべての $\mathfrak{g}_{i}$ が $\mathfrak{g}$ のイデアルであることである．

$\mathbb{K}^{\prime}$ を $\mathbb{K}$ の拡大体とする． $\mathbb{K}$ -Lie代数 $\mathfrak{g}$ の係数拡大 $\mathfrak{g}_{(\mathbb{K}^{\prime})}$ は， $\mathbb{K}^{\prime}$ -Lie代数である． $\mathbb{K}^{\prime}$ -Lie代数の係数の制限 $\mathfrak{g}^{\prime}_{[\mathbb{K}]}$ は， $\mathbb{K}$ -Lie代数である．

定義1.3 (可換Lie代数)

$\mathfrak{g}$ をLie代数とする． $x$ , $y\in\mathfrak{g}$ が $[x,y]=0$ を満たすとき， $x$ と $y$ は可換である（commute）という． $\mathfrak{g}$ が可換（commutative）であるとは， $\mathfrak{g}$ の任意の2元が可換であることをいう．

例1.4

$A$ を結合代数とする． $x$ , $y\in A$ に対して， $[x,y]=xy-yx$ を $x$ と $y$ の交換子（commutator）といい，容易に確かめられるように， $A$ はこれを乗法としてLie代数をなす． $x$ と $y$ が結合代数 $A$ の乗法に関して可換であることと， $A$ を交換子によってLie代数とみなすときに定義1.3の意味で可換であることとは同値である．

例1.5

$V$ をベクトル空間とする．

(1)

$V$ 上の線型変換全体のなす結合代数 $\operatorname{End}(V)$ を交換子によってLie代数とみなしたものを， $\mathfrak{gl}(V)$ と書く．これを，一般線型Lie代数（general linear Lie algebra）という． $n\in\mathbb{N}$ に対して， $\mathfrak{gl}(\mathbb{K}^{n})$ を $\mathfrak{gl}(n,\mathbb{K})$ とも書く．
(2)

$V$ が有限次元であるとする．このとき，容易に確かめられるように，

$\mathfrak{sl}(V)=\{x\in\mathfrak{gl}(V)\mid\operatorname{tr}(x)=0\}$

は $\mathfrak{gl}(V)$ の部分Lie代数である．これを，特殊線型Lie代数（special linear Lie algebra）という． $n\in\mathbb{N}$ に対して， $\mathfrak{sl}(\mathbb{K}^{n})$ を $\mathfrak{sl}(n,\mathbb{K})$ とも書く．

例1.6

$V$ をベクトル空間とし， $\Phi\colon V\times V\to\mathbb{K}$ を双線型形式とする．このとき，容易に確かめられるように，

\mathfrak{g}_{\Phi}=\{x\in\mathfrak{gl}(V)\mid\text{任意の$v$, $w\in V$に対して$\Phi(% x(v),w)+\Phi(v,x(w))=0$}\}

は $\mathfrak{gl}(V)$ の部分Lie代数である．

(1)

$V$ が有限次元ベクトル空間であり， $\Phi\colon V\times V\to\mathbb{K}$ が非退化対称双線型形式であるとする．このとき，上記の $\mathfrak{g}_{\Phi}$ を，直交Lie代数（orthogonal Lie algebra）といい， $\mathfrak{o}(V,\Phi)$ と書く． $\Phi$ を $\mathbb{K}^{n}$ （ $n\in\mathbb{N}$ ）上の標準的な非退化対称双線型形式（すなわち， $v=(v_{1},\dots,v_{n})$ と $w=(w_{1},\dots,w_{n})$ に対して $\Phi(v,w)=\sum_{i=1}^{n}v_{i}w_{i}$ として定まるもの）とするときの直交Lie代数 $\mathfrak{o}(\mathbb{K}^{n},\Phi)$ を， $\mathfrak{o}(n,\mathbb{K})$ とも書く．行列のなすLie代数として表示すれば，

$\mathfrak{o}(n,\mathbb{K})=\{X\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb{K})\mid X+X^{\mathrm{% T}}=0\}$

となる．

(2)

$V$ が有限次元ベクトル空間であり， $\Phi\colon V\times V\to\mathbb{K}$ が非退化交代双線型形式であるとする．このとき，上記の $\mathfrak{g}_{\Phi}$ を，シンプレクティックLie代数（symplectic Lie algebra）といい， $\mathfrak{sp}(V,\Phi)$ と書く． $\Phi$ を $\mathbb{K}^{2n}$ （ $n\in\mathbb{N}$ ）上の標準的な非退化交代双線型形式（すなわち， $v=(v_{1},\dots,v_{2n})$ と $w=(w_{1},\dots,w_{2n})$ に対して $\Phi(v,w)=\sum_{i=1}^{n}v_{i}w_{n+i}-\sum_{i=1}^{n}v_{n+i}w_{i}$ として定まるもの）とするときのシンプレクティックLie代数 $\mathfrak{sp}(\mathbb{K}^{2n},\Phi)$ を， $\mathfrak{sp}(n,\mathbb{K})$ とも書く．行列のなすLie代数として表示すれば，

	$\displaystyle\mathfrak{sp}(n,\mathbb{K})$	$\displaystyle=\{X\in\mathfrak{gl}(2n,\mathbb{K})\mid J_{n}X+X^{\mathrm{T}}J_{n% }=0\}$
		$\displaystyle=\left\{\begin{pmatrix}A&B\\ C&-A^{\mathrm{T}}\end{pmatrix}\mathrel{}\middle\|\mathrel{}\text{$A\in\mathfrak% {gl}(n,\mathbb{K})$, $B$, $C\in\mathrm{Sym}(n,\mathbb{K})$}\right\}$

（ $J_{n}=\begin{pmatrix}0&I_{n}\\ -I_{n}&0\end{pmatrix}$ であり， $\mathrm{Sym}(n,\mathbb{K})$ は $\mathbb{K}$ 上の $n$ 次対称行列全体のなす空間を表す）となる．

例1.7

$A$ を結合的とは限らない代数とするとき，容易に確かめられるように， $A$ 上の導分全体のなす空間 $\operatorname{Der}(A)$ は， $\mathfrak{gl}(A)$ の部分Lie代数である．

1.2 随伴表現

定義1.8 (随伴表現)

Lie代数 $\mathfrak{g}$ の元 $x$ に対して， $\mathfrak{g}$ から自身への線型写像 $y\mapsto[x,y]$ を， $\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(x)$ あるいは単に $\operatorname{ad}(x)$ と書く．

命題1.9

$\mathfrak{g}$ をLie代数とする． $\mathfrak{g}$ 上の導分全体のなす空間 $\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$ を， $\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$ の部分Lie代数としてLie代数とみなす（例1.7）．

(1)

$\operatorname{ad}(\mathfrak{g})$ は $\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$ のイデアルである．さらに， $x\in\mathfrak{g}$ と $D\in\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$ に対して， $\operatorname{ad}(D(x))=[D,\operatorname{ad}(x)]$ である．
(2)

写像 $\operatorname{ad}\colon\mathfrak{g}\to\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$ は準同型である．

証明

(1) $x\in\mathfrak{g}$ とすると，任意の $y$ , $z\in\mathfrak{g}$ に対して

\operatorname{ad}(x)[y,z]=[x,[y,z]]=[[x,y],z]+[y,[x,z]]=[\operatorname{ad}(x)y% ,z]+[y,\operatorname{ad}(x)z]

が成り立つから， $\operatorname{ad}(x)$ は $\mathfrak{g}$ 上の導分である．さらに， $x\in\mathfrak{g}$ とし， $D$ を $\mathfrak{g}$ 上の導分とすると，任意の $y\in\mathfrak{g}$ に対して

\operatorname{ad}(D(x))y=[D(x),y]=D([x,y])-[x,D(y)]=D(\operatorname{ad}(x)y)-% \operatorname{ad}(x)D(y)

が成り立つから， $\operatorname{ad}(D(x))=[D,\operatorname{ad}(x)]$ である．よって， $\operatorname{ad}(\mathfrak{g})$ は $\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$ のイデアルである．

(2) $x$ , $y\in\mathfrak{g}$ とすると，任意の $z\in\mathfrak{g}$ に対して

\operatorname{ad}([x,y])z=[[x,y],z]=[x,[y,z]]-[y,[x,z]]=\operatorname{ad}(x)% \operatorname{ad}(y)z-\operatorname{ad}(y)\operatorname{ad}(x)z

が成り立つから， $\operatorname{ad}([x,y])=[\operatorname{ad}(x),\operatorname{ad}(y)]$ である．よって， $\operatorname{ad}$ は準同型である． ∎

定義1.10 (内部導分)

Lie代数 $\mathfrak{g}$ に対して， $\operatorname{ad}(\mathfrak{g})$ の元を， $\mathfrak{g}$ 上の内部導分（inner derivation）という．

命題1.9 (1)より，Lie代数上の内部導分は，導分である．

1.3 イデアルと特性イデアル

Lie代数のイデアルとは，任意の内部導分で安定な部分ベクトル空間のことにほかならない．これを踏まえて，次のように定義する．

定義1.11 (特性イデアル)

Lie代数 $\mathfrak{g}$ の部分ベクトル空間であって， $\mathfrak{g}$ 上の任意の導分で安定であるものを， $\mathfrak{g}$ の特性イデアル（characteristic ideal）という．

命題1.12

$\mathfrak{g}$ をLie代数とし， $\mathfrak{a}$ を $\mathfrak{g}$ の部分ベクトル空間， $\mathfrak{b}$ を $\mathfrak{a}$ の部分ベクトル空間とする．

(1)

$\mathfrak{a}$ が $\mathfrak{g}$ のイデアルであり， $\mathfrak{b}$ が $\mathfrak{a}$ の特性イデアルならば， $\mathfrak{a}$ は $\mathfrak{g}$ のイデアルである．
(2)

$\mathfrak{a}$ が $\mathfrak{g}$ の特性イデアルであり， $\mathfrak{b}$ が $\mathfrak{a}$ の特性イデアルならば， $\mathfrak{a}$ は $\mathfrak{g}$ の特性イデアルである．

証明

(1) $D$ を $\mathfrak{g}$ 上の内部導分とすると， $\mathfrak{a}$ は $D$ 安定であり， $D|_{\mathfrak{a}}$ は $\mathfrak{a}$ 上の導分だから， $\mathfrak{b}$ も $D$ 安定である．よって， $\mathfrak{b}$ は $\mathfrak{g}$ のイデアルである．

(2) (1)の証明において「内部導分」を「導分」に置き換えれば，(2)の証明となる． ∎

命題1.13

$\mathfrak{g}$ をLie代数とし， $\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{b}$ をその部分ベクトル空間とする．

(1)

$\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{b}$ が $\mathfrak{g}$ のイデアルならば， $[\mathfrak{a},\mathfrak{b}]$ も $\mathfrak{g}$ のイデアルである．
(2)

$\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{b}$ が $\mathfrak{g}$ の特性イデアルならば， $[\mathfrak{a},\mathfrak{b}]$ も $\mathfrak{g}$ の特性イデアルである．

証明

$\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{b}$ が $\mathfrak{g}$ 上の導分 $D$ で安定ならば，

D([\mathfrak{a},\mathfrak{b}])\subseteq[D(\mathfrak{a}),\mathfrak{b}]+[% \mathfrak{a},D(\mathfrak{b})]\subseteq[\mathfrak{a},\mathfrak{b}]

だから， $[\mathfrak{a},\mathfrak{b}]$ も $D$ 安定である．よって，主張が成り立つ．∎

1.4 中心化子と正規化子

定義1.14 (中心化子，中心)

$\mathfrak{g}$ をLie代数とする． $\mathfrak{h}$ を $\mathfrak{g}$ の部分ベクトル空間， $\mathfrak{a}$ を $\mathfrak{g}$ の部分集合とするとき， $\mathfrak{a}$ の $\mathfrak{h}$ における中心化子（centralizer）を，

\mathbf{Z}_{\mathfrak{h}}(\mathfrak{a})=\{x\in\mathfrak{h}\mid\text{任意の$y\in% \mathfrak{a}$に対して$[x,y]=0$}\}

と定める． $\mathfrak{g}$ の $\mathfrak{g}$ における中心化子を， $\mathfrak{g}$ の中心（center）といい， $\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$ と書く．

定義1.15 (正規化子)

$\mathfrak{g}$ をLie代数とする． $\mathfrak{h}$ , $\mathfrak{a}$ を $\mathfrak{g}$ の部分ベクトル空間とするとき， $\mathfrak{a}$ の $\mathfrak{h}$ における正規化子（normalizer）を，

\mathbf{N}_{\mathfrak{h}}(\mathfrak{a})=\{x\in\mathfrak{h}\mid[x,\mathfrak{a}]% \subseteq\mathfrak{a}\}

と定める．

命題1.16

$\mathfrak{g}$ をLie代数， $\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{b}$ を $\mathfrak{g}$ の部分ベクトル空間とし， $\mathfrak{h}=\{x\in\mathfrak{g}\mid[x,\mathfrak{a}]\subseteq\mathfrak{b}\}$ と置く．

(1)

$\mathfrak{b}\subseteq\mathfrak{a}$ ならば， $\mathfrak{h}$ は $\mathfrak{g}$ の部分Lie代数である．
(2)

$\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{b}$ が $\mathfrak{g}$ のイデアルならば， $\mathfrak{h}$ も $\mathfrak{g}$ のイデアルである．
(3)

$\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{b}$ が $\mathfrak{g}$ の特性イデアルならば， $\mathfrak{h}$ も $\mathfrak{g}$ の特性イデアルである．

証明

(1) $x$ , $y\in\mathfrak{h}$ とすると，命題1.9 (2)より

	$\displaystyle\operatorname{ad}([x,y])\mathfrak{a}$	$\displaystyle\subseteq\operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y)\mathfrak{a}+% \operatorname{ad}(y)\operatorname{ad}(x)\mathfrak{a}$
		$\displaystyle\subseteq\operatorname{ad}(x)\mathfrak{b}+\operatorname{ad}(y)% \mathfrak{b}$
		$\displaystyle\subseteq\operatorname{ad}(x)\mathfrak{a}+\operatorname{ad}(y)% \mathfrak{a}$
		$\displaystyle\subseteq\mathfrak{b}$

だから， $[x,y]\in\mathfrak{h}$ である．よって， $\mathfrak{h}$ は $\mathfrak{g}$ の部分Lie代数である．

(2) $x\in\mathfrak{h}$ とし， $D$ を $\mathfrak{g}$ 上の内部導分とすると，命題1.9 (1)より

	$\displaystyle\operatorname{ad}(D(x))\mathfrak{a}$	$\displaystyle\subseteq D(\operatorname{ad}(x)\mathfrak{a})+\operatorname{ad}(x% )D(\mathfrak{a})$
		$\displaystyle\subseteq D(\mathfrak{b})+\operatorname{ad}(x)\mathfrak{a}$
		$\displaystyle\subseteq\mathfrak{b}$

だから， $D(x)\in\mathfrak{h}$ である．よって， $\mathfrak{h}$ は $\mathfrak{g}$ のイデアルである．

(3) (2)の証明において「内部導分」を「導分」に置き換えれば，(3)の証明となる． ∎

系1.17

$\mathfrak{g}$ をLie代数とし， $\mathfrak{a}$ をその部分ベクトル空間とする．

(1)

$\mathbf{Z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ , $\mathbf{N}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ は $\mathfrak{g}$ の部分Lie代数である．
(2)

$\mathfrak{a}$ が $\mathfrak{g}$ のイデアルならば， $\mathbf{Z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ , $\mathbf{N}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ も $\mathfrak{g}$ のイデアルである．
(3)

$\mathfrak{a}$ が $\mathfrak{g}$ の特性イデアルならば， $\mathbf{Z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ , $\mathbf{N}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ も $\mathfrak{g}$ の特性イデアルである．

証明

命題1.16の特別な場合である．∎

系1.18

Lie代数 $\mathfrak{g}$ の部分Lie代数 $\mathfrak{a}$ に対して，その正規化子 $\mathbf{N}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ は， $\mathfrak{a}$ をイデアルとして含む $\mathfrak{g}$ の部分Lie代数の中で最大のものである．

証明

$\mathfrak{a}$ が $\mathfrak{g}$ の部分Lie代数であることより $\mathbf{N}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ は $\mathfrak{a}$ を含み，系1.17 (1)より $\mathbf{N}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ は $\mathfrak{g}$ の部分Lie代数である． $\mathbf{N}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ が $\mathfrak{a}$ をイデアルとして含むこと，および同じ性質を満たす $\mathfrak{g}$ の部分Lie代数が $\mathbf{N}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ に含まれることは，正規化子の定義から明らかである．∎