記号と用語

本稿を通して，特に断らない限り，$\mathbb{K}$を可換体とし，ベクトル空間などの係数体は$\mathbb{K}$であるとする．

$n$次単位行列を，$I_{n}$と書く．添字の組$(i,j)$に対応する行列単位を，$E_{ij}$と書く．

ベクトル空間$A$が，$A\times A$から$A$への双線型写像を備えているとき，$A$を結合的とは限らない代数という．結合的とは限らない代数$A$に定まっている双線型写像を，この結合的とは限らない代数の乗法といい，特に断らなければ$(x,y)\mapsto xy$と書く．

結合的とは限らない代数$A$であって，その乗法が結合的である（すなわち，任意の$x$, $y$, $z\in A$に対して$(xy)z=x(yz)$である）ものを，結合代数という．

結合的とは限らない代数$A$上の導分とは，線型写像$D\colon A\to A$であって，任意の$x$, $y\in A$に対して$D(xy)=D(x)y+xD(y)$を満たすものをいう．$A$上の導分全体のなす空間を，$\operatorname{Der}(A)$と書く．

ベクトル空間$V$のテンソル代数を$\mathbf{T}(V)=\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathbf{T}^{n}(V)$と書き，対称代数を$\mathbf{S}(V)=\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathbf{S}^{n}(V)$と書く．各整数$n\geq-1$に対して，$\mathbf{T}^{\leq n}(V)=\bigoplus_{m=0}^{n}\mathbf{T}^{m}(V)$，$\mathbf{S}^{\leq n}(V)=\bigoplus_{m=0}^{n}\mathbf{S}^{m}(V)$と書く（$\mathbf{T}^{\leq n}(V)=0$，$\mathbf{S}^{\leq n}(V)=0$である）．