UNIT:Lie代数@2026-08-15 Lie代数 概要 Lie代数の基礎を解説する．Lie代数に関する基本的な定義を行い，包絡代数と表現について見たあと，冪零Lie代数，可解Lie代数，半単純Lie代数の各クラスを定義し，その性質を解説する． 目次 記号と用語 1 Lie代数 1.1 Lie代数 1.2 随伴表現 1.3 イデアルと特性イデアル 1.4 中心化子と正規化子 2 包絡代数 2.1 包絡代数 2.2 Poincaré–Birkhoff–Wittの定理 3 表現 3.1 表現 3.2 表現に対する演算 3.3 既約表現 3.4 不変双線型形式 3.5 トレース形式，Killing形式 3.6 Casimir元 4 冪零Lie代数 4.1 冪零Lie代数 4.2 Engelの定理 5 可解Lie代数 5.1 可解Lie代数 5.2 根基 5.3 冪零根基 5.4 Lieの定理 5.5 可解性に関するCartanの判定法 5.6 根基・冪零根基と係数体の変更 6 半単純Lie代数 6.1 単純Lie代数と半単純Lie代数 6.2 半単純性に関するCartanの判定法 6.3 半単純Lie代数の分解 6.4 Weylの完全可約性定理 6.5 簡約Lie代数 6.6 単純性・半単純性・簡約性と係数体の変更 6.7 半単純Lie代数の半単純元と冪零元 6.8 半単純Lie代数の例 参考文献
概要 Lie代数の基礎を解説する．Lie代数に関する基本的な定義を行い，包絡代数と表現について見たあと，冪零Lie代数，可解Lie代数，半単純Lie代数の各クラスを定義し，その性質を解説する． 目次 記号と用語 1 Lie代数 1.1 Lie代数 1.2 随伴表現 1.3 イデアルと特性イデアル 1.4 中心化子と正規化子 2 包絡代数 2.1 包絡代数 2.2 Poincaré–Birkhoff–Wittの定理 3 表現 3.1 表現 3.2 表現に対する演算 3.3 既約表現 3.4 不変双線型形式 3.5 トレース形式，Killing形式 3.6 Casimir元 4 冪零Lie代数 4.1 冪零Lie代数 4.2 Engelの定理 5 可解Lie代数 5.1 可解Lie代数 5.2 根基 5.3 冪零根基 5.4 Lieの定理 5.5 可解性に関するCartanの判定法 5.6 根基・冪零根基と係数体の変更 6 半単純Lie代数 6.1 単純Lie代数と半単純Lie代数 6.2 半単純性に関するCartanの判定法 6.3 半単純Lie代数の分解 6.4 Weylの完全可約性定理 6.5 簡約Lie代数 6.6 単純性・半単純性・簡約性と係数体の変更 6.7 半単純Lie代数の半単純元と冪零元 6.8 半単純Lie代数の例 参考文献