6 半単純Lie代数

$\mathfrak{g}$が可解イデアル$\mathfrak{r}\neq 0$をもつとする．$\mathscr{D}^{p}(\mathfrak{r})\neq 0$を満たす最大の$p\in\mathbb{N}$をとると，$\mathscr{D}^{p}(\mathfrak{r})$は$\mathfrak{g}$の$0$でないイデアルであり，$[\mathscr{D}^{p}(\mathfrak{r}),\mathscr{D}^{p}(\mathfrak{r})]=\mathscr{D}^{p+1}(\mathfrak{r})=0$だから$\mathscr{D}^{p}(\mathfrak{r})$は可換である．よって，$\mathfrak{g}$が半単純である（すなわち，$0$以外の可解イデアルをもたない）ことと，$0$以外の可換イデアルをもたないこととは同値である．∎

命題6.3から明らかである．∎

$\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$は$\mathfrak{g}$の可換イデアルだから，$0$である．$\mathfrak{g}$の随伴表現の核は$\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$に等しいから，これは，$\mathfrak{g}$の随伴表現が忠実であることを意味する．∎

$\mathfrak{a}$を$\mathfrak{g}$のイデアルとし，等化準同型を$f\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}/\mathfrak{a}$と書く．$f(\operatorname{rad}(\mathfrak{g}))\subseteq\operatorname{rad}(\mathfrak{g}/\mathfrak{a})$だから（命題5.6），$\mathfrak{g}/\mathfrak{a}$が可解ならば$f(\operatorname{rad}(\mathfrak{g}))=0$であり，これは$\operatorname{rad}(\mathfrak{g})\subseteq\mathfrak{a}$を意味する．一方で，準同型定理より$f^{-1}(\operatorname{rad}(\mathfrak{g}/\mathfrak{a}))\cong\operatorname{rad}(\mathfrak{g}/\mathfrak{a})$だから，$\mathfrak{a}$が可解ならば$f^{-1}(\operatorname{rad}(\mathfrak{g}/\mathfrak{a}))$も可解であり（命題5.3 (3)），$f^{-1}(\operatorname{rad}(\mathfrak{g}/\mathfrak{a}))\subseteq\operatorname{rad}(\mathfrak{g})$となる．特に，$\mathfrak{a}=\operatorname{rad}(\mathfrak{g})$と置けば，$\operatorname{rad}(\mathfrak{g}/\operatorname{rad}(\mathfrak{g}))=0$を得る．すなわち，$\mathfrak{g}/\operatorname{rad}(\mathfrak{g})$は半単純である．∎

$\operatorname{rad}(\mathfrak{g})=\bigoplus_{i\in I}\operatorname{rad}(\mathfrak{g}_{i})$であること（命題5.8）から従う．∎

$\operatorname{rad}(\mathfrak{a})=\operatorname{rad}(\mathfrak{g})\cap\mathfrak{a}$であること（系5.27）から従う．∎

$\text{(a)}\Longrightarrow\text{(b)}$，最後の主張 $\mathfrak{g}$が半単純であるとする．まず，$\mathbf{Z}(\mathfrak{g})=0$であることは，命題6.5ですでに示した．次に，$\rho$を$\mathfrak{g}$の忠実な有限次元表現とし，そのトレース形式$B_{\rho}$に関する$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の直交空間を$\mathfrak{a}$と置く．すると，$\mathfrak{a}$は$\mathfrak{g}$のイデアルである（系3.24 (1)）．さらに，$B_{\rho}([\mathfrak{a},\mathfrak{a}],\mathfrak{a})\subseteq B_{\rho}([\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{a})=0$だから，可解性に関するCartanの判定法（定理5.23）より，$\mathfrak{a}$は可解である．したがって，$\mathfrak{g}$が半単純であることより，$\mathfrak{a}=0$を得る．よって，$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=\mathfrak{g}$が成り立ち，$B_{\rho}$は非退化である．

$\text{(b)}\Longrightarrow\text{(c)}$ $\mathbf{Z}(\mathfrak{g})=0$ならば$\mathfrak{g}$の随伴表現は忠実だから，主張は明らかである．

$\text{(c)}\Longrightarrow\text{(a)}$ $\mathfrak{g}$のKilling形式を$B_{\mathfrak{g}}$と書く．$\mathfrak{a}$を$\mathfrak{g}$の可換イデアルとすると，$\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})=0$だから，$B_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a},\mathfrak{g})=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{g}))=0$である．よって，$B_{\mathfrak{g}}$が非退化ならば，$\mathfrak{g}$は$0$以外の可換イデアルをもたず，これは$\mathfrak{g}$が半単純であることを意味する（命題6.3）． ∎

系3.24 (2)より$\mathfrak{a}^{\perp}$は$\mathfrak{g}$のイデアルであり，双線型形式の一般論より$\dim\mathfrak{a}+\dim\mathfrak{a}^{\perp}\geq\dim\mathfrak{g}$である．また，$\mathfrak{g}$, $\mathfrak{a}$のKilling形式をそれぞれ$B_{\mathfrak{g}}$, $B_{\mathfrak{a}}$と書くと，$B_{\mathfrak{a}}$は$B_{\mathfrak{g}}$の制限だから（命題3.25），

が成り立つ．半単純性に関するCartanの判定法（定理6.10）より$B_{\mathfrak{a}}$は非退化だから，$\mathfrak{a}\cap\mathfrak{a}^{\perp}=0$である．以上より，$\mathfrak{g}$はベクトル空間として$\mathfrak{a}$と$\mathfrak{a}^{\perp}$に直和分解され，これらは$\mathfrak{g}$のイデアルだから，これはLie代数としての直和分解でもある．∎

$\text{(a)}\Longrightarrow\text{(b)}$ 命題6.12より，$\mathfrak{g}$の随伴表現は完全可約だから，既約分解$\mathfrak{g}=\bigoplus_{i\in I}\mathfrak{g}_{i}$がとれる（命題3.18）．このとき，各$\mathfrak{g}_{i}$は$\mathfrak{g}$の$0$でないイデアルの中で極小なものであり，Lie代数として$\mathfrak{g}=\bigoplus_{i\in I}\mathfrak{g}_{i}$が成り立つ．各$\mathfrak{g}_{i}$が単純であることを示す．$\mathfrak{g}$は$0$以外の可換イデアルをもたないから，$\mathfrak{g}_{i}$は可換ではない．また，$\mathfrak{a}$を$\mathfrak{g}_{i}$のイデアルとすると，$\mathfrak{a}$は$\mathfrak{g}$のイデアルでもあるから，$\mathfrak{g}_{i}$の極小性より，$\mathfrak{a}$は$0$または$\mathfrak{g}_{i}$である．よって，$\mathfrak{g}_{i}$は単純である．

$\text{(b)}\Longrightarrow\text{(a)}$ 単純Lie代数は半単純であり（系6.4），有限個の半単純Lie代数の直和は半単純だから（命題6.8），主張が成り立つ．

最後の主張 $\mathfrak{g}$が単純Lie代数の有限族$(\mathfrak{g}_{i})_{i\in I}$の直和Lie代数であるとして，$\mathfrak{g}$のイデアル$\mathfrak{a}$を任意にとる．各$i\in I$に対して，$\mathfrak{a}\cap\mathfrak{g}_{i}$は単純Lie代数$\mathfrak{g}_{i}$のイデアルだから，$\mathfrak{a}\cap\mathfrak{g}_{i}$は$\mathfrak{g}_{i}$または$0$である．前者の場合，$\mathfrak{g}_{i}\subseteq\mathfrak{a}$である．後者の場合，$[\mathfrak{a},\mathfrak{g}_{i}]\subseteq\mathfrak{a}\cap\mathfrak{g}_{i}=0$であり，これは，$\mathfrak{g}$から$\mathfrak{g}_{i}$への射影による$\mathfrak{a}$の像が$\mathbf{Z}(\mathfrak{g}_{i})$に含まれることを意味する．ところが，$\mathfrak{g}_{i}$は単純だから$\mathbf{Z}(\mathfrak{g}_{i})=0$であり，このとき，$\mathfrak{a}\subseteq\bigoplus_{j\in I\setminus\{i\}}\mathfrak{g}_{j}$となる．以上より，$J=\{i\in I\mid\mathfrak{a}\cap\mathfrak{g}_{i}=\mathfrak{g}_{i}\}$と置けば，$\mathfrak{a}=\bigoplus_{i\in J}\mathfrak{g}_{i}$が成り立つ． ∎

$\text{(a)}\Longrightarrow\text{(b)}$ $\mathfrak{g}$が半単純であるとする．このとき，定理6.13より，単純Lie代数の有限族$(\mathfrak{g}_{i})_{i\in I}$と$J\subseteq I$を用いて，Lie代数として$\mathfrak{g}=\bigoplus_{i\in I}\mathfrak{g}_{i}$，$\mathfrak{a}=\bigoplus_{i\in J}\mathfrak{g}_{i}$と書けているとしてよい．このとき，$\mathfrak{a}=\bigoplus_{i\in J}\mathfrak{g}_{i}$と$\mathfrak{g}/\mathfrak{a}\cong\bigoplus_{i\in I\setminus J}\mathfrak{g}_{i}$は，有限個の単純Lie代数の直和として書けているから，半単純である（系6.4，命題6.8）．

$\text{(b)}\Longrightarrow\text{(a)}$ $\mathfrak{a}$と$\mathfrak{g}/\mathfrak{a}$がともに半単純であるとする．このとき，$\mathfrak{g}$のKilling形式に関する$\mathfrak{a}$の直交空間を$\mathfrak{a}^{\perp}$と書くと，Lie代数として$\mathfrak{g}=\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{a}^{\perp}$が成り立つ（命題6.12）．よって，$\mathfrak{g}=\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{a}^{\perp}\cong\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{g}/\mathfrak{a}$は半単純である（命題6.8）． ∎

命題6.6で示したように，根基$\operatorname{rad}(\mathfrak{g})$は，$\mathfrak{g}$のイデアル$\mathfrak{a}$であって$\mathfrak{g}/\mathfrak{a}$が半単純となるものの中で最小のものである．また，系6.14より，標数$0$の可換体$\mathbb{K}$上の半単純Lie代数の商は，また半単純である．これらのことから，主張が従う．∎

まず，$f(\operatorname{rad}(\mathfrak{g}))\subseteq\operatorname{rad}(\mathfrak{h})$であることは，命題5.6ですでに示した．次に，命題5.6より$\mathfrak{g}/rad\mathfrak{g}$は半単純だから，その商Lie代数に同型な$\mathfrak{h}/f(\operatorname{rad}(\mathfrak{g}))$も半単純であり（系6.14），したがって，ふたたび命題5.6より$\operatorname{rad}(\mathfrak{h})\subseteq f(\operatorname{rad}(\mathfrak{g}))$である．よって，$f(\operatorname{rad}(\mathfrak{g}))=\operatorname{rad}(\mathfrak{h})$が成り立つ．∎

$\mathfrak{g}$の随伴表現が忠実であることは，命題6.5ですでに示した．あとは，$\operatorname{ad}(\mathfrak{g})=\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$であることを示せばよい．$\operatorname{ad}(\mathfrak{g})$は$\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$の半単純イデアルだから（命題1.9 (1)），$\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$のKilling形式に関する$\operatorname{ad}(\mathfrak{g})$の直交空間を$\operatorname{ad}(\mathfrak{g})^{\perp}$と書くと，Lie代数として$\operatorname{Der}(\mathfrak{g})=\operatorname{ad}(\mathfrak{g})\oplus\operatorname{ad}(\mathfrak{g})^{\perp}$が成立する（命題6.12）．$D\in\operatorname{ad}(\mathfrak{g})^{\perp}$とすると，命題1.9 (1)より

であり，すでに述べたように$\operatorname{ad}$は忠実だから，$D=0$である．よって，$\operatorname{ad}(\mathfrak{g})^{\perp}=0$であり，上記の直和分解と合わせて，$\operatorname{Der}(\mathfrak{g})=\operatorname{ad}(\mathfrak{g})$を得る．∎

$\text{(a)}\Longrightarrow\text{(b)}$ 明らかである．

$\text{(b)}\Longrightarrow\text{(a)}$ (b)が成り立つとする．$\mathfrak{g}$の有限次元表現$(\sigma,M)$を任意にとり，$N\neq 0$を$M$の$\sigma(\mathfrak{g})$安定な部分ベクトル空間として，$N$の$M$における$\sigma(\mathfrak{g})$安定な補空間が存在することを示す．$\mathfrak{g}$の$\operatorname{End}(M)$上の表現$\rho=\mathord{\operatorname{ad}_{\mathfrak{gl}(M)}}\circ\sigma$を考え，$\operatorname{End}(M)$の部分ベクトル空間$V$, $W$を

と定める．$V$は$\rho(\mathfrak{g})$安定であり，$W$は$V$の余次元$1$の部分ベクトル空間であり，$\rho(\mathfrak{g})V\subseteq W$が満たされるから，仮定より，$W$は$V$において$\rho(\mathfrak{g})$安定な補空間$\mathbb{K}u$をもつ．$u\in V\setminus W$であることより$u|_{N}$は$0$でないスカラー倍だから，必要ならば$u$を適当にスカラー倍することで，$u|_{N}=\mathrm{id}_{N}$であるとしてよい．また，$N=u(N)\subseteq u(M)$であり，一方で$u\in V$より$u(M)\subseteq N$だから，$u(M)=N$である．したがって，$u$は$N$の上への射影だから，$\operatorname{Ker}(u)$は$N$の$M$における補空間である．さらに，任意の$x\in\mathfrak{g}$に対して，$\rho(x)u\in\rho(x)V\subseteq W$かつ$\rho(x)\mathbb{K}u\subseteq\mathbb{K}u$であることより$\rho(x)u=0$だから，$\sigma(x)\circ u=u\circ\sigma(x)$が成り立つ．したがって，$\operatorname{Ker}(u)$は$\sigma(\mathfrak{g})$安定である．これで，主張が示された． ∎

補題6.19より，$(\rho,V)$を$\mathfrak{g}$の有限次元表現，$W$を$V$の余次元$1$の部分ベクトル空間とし，これらが$\rho(\mathfrak{g})V\subseteq W$を満たすとして，$W$が$V$において$\rho(\mathfrak{g})$安定な補空間をもつことを示せばよい．以下，$\rho$の$W$上の部分表現を，$\rho^{\prime}$と書く．

$\rho^{\prime}=0$である場合，任意の$x$, $y\in\mathfrak{g}$に対して$\rho(x)\rho(y)V\subseteq\rho^{\prime}(x)W=0$より$\rho(x)\rho(y)=0$だから，$\rho(\mathfrak{g})=\rho([\mathfrak{g},\mathfrak{g}])=0$である（定理6.10）．よって，$\rho$は明らかに完全可約である．以下，$\rho^{\prime}\neq 0$である場合を考える．

まず，$\rho^{\prime}$が既約である場合を考える．$\rho^{\prime}$のトレース形式を$B_{\rho^{\prime}}$と書く．$\operatorname{Ker}(\rho^{\prime})$は$\mathfrak{g}$の半単純イデアルだから（系6.14），$\mathfrak{g}$のKilling形式に関する$\operatorname{Ker}(\rho^{\prime})$の直交空間を$\mathfrak{a}$と置くと，$\mathfrak{a}$は$\mathfrak{g}$における$\operatorname{Ker}(\rho^{\prime})$の補イデアルとなる（命題6.12）．そこで，$\mathfrak{a}$の$W$上の表現$\rho^{\prime}|_{\mathfrak{a}}$を考えると，これは忠実だから，そのトレース形式$B_{\rho^{\prime}}|_{\mathfrak{a}\times\mathfrak{a}}$は非退化である（定理6.10）．したがって，Casimir元$c\in\mathbf{Z}(\mathbf{U}(\mathfrak{g}))$が定まり，$\rho^{\prime}(c)=\rho(c)|_{W}$は$W$の$\mathfrak{g}$自己同型となる（命題3.29 (3)．$\rho^{\prime}\neq 0$より$\mathfrak{a}\neq 0$であり，係数体$\mathbb{K}$の標数が$0$であることに注意する）．さらに，仮定$\rho(\mathfrak{g})V\subseteq W$より，$\rho(c)V\subseteq W$が成り立つ．以上より，$\operatorname{Ker}(\rho(c))$は$W$の$V$における$\rho(\mathfrak{g})$安定な補空間である．

次に，一般の場合を，$V$の次元に関する帰納法で示す．$\dim V=1$ならば$W=0$であり，主張は明らかである．$\dim V\geq 2$であるとし，次元がより小さい場合には主張が正しいとする．このとき，$W\neq 0$だから，$W$の$0$でない$\rho(\mathfrak{g})$安定な部分ベクトル空間の中で極小なもの$M$がとれる．$\rho$の$V/M$上の商表現を$\overline{\rho}$と書くと，$W/M$は$V/M$の余次元$1$の部分ベクトル空間であり，これらは$\overline{\rho}(\mathfrak{g})(W/M)\subseteq V/M$を満たすから，帰納法の仮定より，$W/M$の$V/M$における$\overline{\rho}(\mathfrak{g})$安定な補空間$L/M$がとれる．ここで，$L$は$V$の$\mathfrak{g}$安定な部分ベクトル空間であり，$M$を余次元$1$の部分ベクトル空間として含み，$L\cap W=M$を満たす．$\rho(\mathfrak{g})L\subseteq L\cap W=M$であり，$M$の極小性より$\rho$の$M$上の部分表現は既約だから，前段の結果より，$M$は$L$における$\rho(\mathfrak{g})$安定な補空間をもつ．この補空間は，$W$の$V$における補空間でもある．これで，帰納法が完成した．∎

$\text{(a)}\Longrightarrow\text{(b)}$ $\mathfrak{g}$が簡約であるとすると，$\mathfrak{g}$の随伴表現の既約分解$\mathfrak{g}=\bigoplus_{i\in I}\mathfrak{g}_{i}$がとれる（命題3.18）．このとき，各$\mathfrak{g}_{i}$は$\mathfrak{g}$の$0$でないイデアルの中で極小なものであり，Lie代数として$\mathfrak{g}=\bigoplus_{i\in I}\mathfrak{g}_{i}$が成り立つ．各$i\in I$について，$\mathfrak{a}$を$\mathfrak{g}_{i}$のイデアルとすると，$\mathfrak{a}$は$\mathfrak{g}$のイデアルでもあるから，$\mathfrak{g}_{i}$の極小性より，$\mathfrak{a}$は$0$または$\mathfrak{g}_{i}$である．したがって，$\mathfrak{g}_{i}$は可換または単純である．$\mathfrak{g}_{i}$が可換ならば$[\mathfrak{g}_{i},\mathfrak{g}_{i}]=0$であり，単純ならば$[\mathfrak{g}_{i},\mathfrak{g}_{i}]=\mathfrak{g}_{i}$だから，$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$は単純な$\mathfrak{g}_{i}$全体の直和となる．よって，$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$は半単純である（系6.4，命題6.8）．

$\text{(b)}\Longrightarrow\text{(c)}$ $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$が半単純であるとすると，$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$の$\mathfrak{g}$における補イデアル$\mathfrak{z}$がとれ，Lie代数として$\mathfrak{g}=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]\oplus\mathfrak{z}$が成り立つ（命題6.12）．このとき，$\mathfrak{z}\cong\mathfrak{g}/[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$だから，$\mathfrak{z}$は可換である．

$\text{(c)}\Longrightarrow\text{(d)}$ $\mathfrak{g}$が半単純Lie代数$\mathfrak{s}$と可換Lie代数$\mathfrak{z}$の直和Lie代数であるとする．$\mathfrak{z}$の基底$(e_{1},\dots,e_{n})$を一つ固定し，$\mathfrak{g}$の$\mathfrak{s}\oplus\mathbb{K}^{n}$上の表現$\rho$を

によって定めると，$\rho$のトレース形式$B_{\rho}$は

で与えられる（ここで，$B_{\mathfrak{s}}$は$\mathfrak{s}$のKilling形式を表す）．半単純性に関するCartanの判定法（定理6.10）より，$B_{\mathfrak{s}}$は非退化だから，$B_{\rho}$も非退化である．

$\text{(d)}\Longrightarrow\text{(e)}$ $\mathfrak{g}$の有限次元表現$(\rho,V)$が非退化なトレース形式$B_{\rho}$をもつとする．$\rho$の組成列$(V_{0},\dots,V_{n})$をとり（命題3.15），各$i\in\{0,\dots,n-1\}$に対して，$\rho$が誘導する$\mathfrak{g}$の$V_{i}/V_{i+1}$上の既約表現を$\rho_{i}$と書く．$\rho^{\prime}=\rho_{0}\oplus\dots\oplus\rho_{n-1}$と置くと，$\rho^{\prime}$は$\mathfrak{g}$の有限次元完全可約表現である．$\rho^{\prime}$が忠実であることを示す．$x\in\operatorname{Ker}(\rho^{\prime})$とすると，各$i$に対して$\rho(x)V_{i}\subseteq V_{i+1}$である．さらに，各$V_{i}$は$\rho(\mathfrak{g})$安定だから，$\rho(x)\rho(\mathfrak{g})V_{i}\subseteq V_{i+1}$である．したがって，$\rho(x)\rho(\mathfrak{g})$の任意の元は冪零だから，$B_{\rho}(x,\mathfrak{g})=\operatorname{tr}(\rho(x)\rho(\mathfrak{g}))=0$であり，$B_{\rho}$が非退化であることより$x=0$を得る．よって，$\rho^{\prime}$は忠実である．

$\text{(e)}\Longrightarrow\text{(f)}$ $\operatorname{nil}(\mathfrak{g})=0$であるとすると，$\mathfrak{g}$の有限個の有限次元既約表現$\rho_{1}$, $\dots$, $\rho_{n}$が存在して，$\bigcap_{i=1}^{n}\operatorname{Ker}(\rho_{i})=0$となる．このとき，$\rho=\rho_{1}\oplus\dots\oplus\rho_{n}$は$\mathfrak{g}$の忠実な有限次元完全可約表現である（命題3.18）．

$\text{(f)}\Longrightarrow\text{(g)}$ 定理5.15より$[\mathfrak{g},\operatorname{rad}(\mathfrak{g})]\subseteq\operatorname{rad}(\mathfrak{g})\cap[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=\operatorname{nil}(\mathfrak{g})$だから，$\operatorname{nil}(\mathfrak{g})=0$ならば$[\mathfrak{g},\operatorname{rad}(\mathfrak{g})]=0$である．

$\text{(g)}\Longleftrightarrow\text{(h)}$ $\mathbf{Z}(\mathfrak{g})\subseteq\operatorname{rad}(\mathfrak{g})$は常に成り立つから，

である．

$\text{(h)}\Longrightarrow\text{(a)}$ $\mathfrak{g}$の随伴表現は，$\mathfrak{g}/\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$の$\mathfrak{g}$上の表現$\rho$を誘導する．ここで，$\mathbf{Z}(\mathfrak{g})=\operatorname{rad}(\mathfrak{g})$であるとすると，$\mathfrak{g}/\mathbf{Z}(\mathfrak{g})=\mathfrak{g}/\operatorname{rad}(\mathfrak{g})$は半単純だから（命題6.6），Weylの完全可約性定理（定理6.20）より，$\rho$は完全可約となる．よって，このとき，$\mathfrak{g}$の随伴表現も完全可約である．

最後の主張 $\mathfrak{g}$が半単純Lie代数$\mathfrak{s}$と可換Lie代数$\mathfrak{z}$の直和Lie代数であるとする．このとき，$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=[\mathfrak{s},\mathfrak{s}]\oplus[\mathfrak{c},\mathfrak{c}]=\mathfrak{s}$である（定理6.10）．また，$\mathbf{Z}(\mathfrak{g})=\mathbf{Z}(\mathfrak{s})\oplus\mathbf{Z}(\mathfrak{z})=\mathfrak{z}$であり（命題6.5），(h)よりこれは$\operatorname{rad}(\mathfrak{g})$にも等しい． ∎

$\operatorname{nil}(\mathfrak{g})=\operatorname{rad}(\mathfrak{g})\cap[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$であることは定理5.15ですでに示しており，$[\mathfrak{g},\operatorname{rad}(\mathfrak{g})]\subseteq\operatorname{rad}(\mathfrak{g})\cap[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$であることは明らかである．$\operatorname{nil}(\mathfrak{g})\subseteq[\mathfrak{g},\operatorname{rad}(\mathfrak{g})]$であることを示す．$\mathfrak{g}^{\prime}=\mathfrak{g}/[\mathfrak{g},\operatorname{rad}(\mathfrak{g})]$と置き，等化準同型を$f\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}^{\prime}$と書く．すると，命題5.12より，$f(\operatorname{nil}(\mathfrak{g}))\subseteq\operatorname{nil}(\mathfrak{g}^{\prime})$である．一方で，系6.17より

だから，定理6.23より$\operatorname{nil}(\mathfrak{g}^{\prime})=0$である．以上より，$f(\operatorname{nil}(\mathfrak{g}))=0$であり，これは$\operatorname{nil}(\mathfrak{g})\subseteq[\mathfrak{g},\operatorname{rad}(\mathfrak{g})]$を意味する．∎

命題6.24と系6.17より，

である．∎

(1) $\operatorname{rad}(\mathfrak{g}_{(\mathbb{K}^{\prime})})=(\operatorname{rad}(\mathfrak{g}))_{(\mathbb{K}^{\prime})}$であること（命題5.28 (1)）から従う．

(2) $\operatorname{rad}(\mathfrak{g}^{\prime}_{[\mathbb{K}]})=(\operatorname{rad}(\mathfrak{g}^{\prime}))_{[\mathbb{K}]}$であること（命題5.28 (2)）から従う． ∎

(1) $\mathfrak{g}_{(\mathbb{K}^{\prime})}$が単純であるとすると，命題6.26 (1)より$\mathfrak{g}$は半単純だから，$\mathfrak{g}$は有限個の単純Lie代数の直和として$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_{1}\oplus\dots\oplus\mathfrak{g}_{n}$と書ける（定理6.13）．このとき，$\mathfrak{g}_{(\mathbb{K}^{\prime})}=(\mathfrak{g}_{1})_{(\mathbb{K}^{\prime})}\oplus\dots\oplus(\mathfrak{g}_{n})_{(\mathbb{K}^{\prime})}$だが，$\mathfrak{g}_{(\mathbb{K}^{\prime})}$は単純だから，$n=1$である．よって，$\mathfrak{g}$は単純である．

(2) $\mathfrak{g}^{\prime}$のイデアルは$\mathfrak{g}^{\prime}_{[\mathbb{K}]}$のイデアルでもあるから，$\mathfrak{g}^{\prime}_{[\mathbb{K}]}$が単純ならば，$\mathfrak{g}^{\prime}$も単純である．逆に，$\mathfrak{g}^{\prime}$が単純であるとする．このとき，$\mathfrak{g}^{\prime}$は可換でないから，$\mathfrak{g}^{\prime}_{[\mathbb{K}]}$も可換でない．また，命題6.26 (2)より，$\mathfrak{g}^{\prime}_{[\mathbb{K}]}$は半単純である．そこで，$\mathfrak{a}$を$\mathfrak{g}^{\prime}_{[\mathbb{K}]}$のイデアルとすると，$\mathfrak{a}=[\mathfrak{a},\mathfrak{g}^{\prime}_{[\mathbb{K}]}]$が成り立つから（定理6.13），$\operatorname{span}_{\mathbb{K}^{\prime}}\mathfrak{a}=\mathfrak{a}$となり，$\mathfrak{a}$は$\mathfrak{g}^{\prime}$のイデアルでもある．したがって，$\mathfrak{a}$は$0$または$\mathfrak{g}^{\prime}$である．よって，$\mathfrak{g}^{\prime}_{[\mathbb{K}]}$は単純である． ∎

(1) 命題5.29の$\text{(a)}\Longleftrightarrow\text{(f)}$と，$\operatorname{nil}(\mathfrak{g}_{(\mathbb{K}^{\prime})})=(\operatorname{nil}(\mathfrak{g}))_{(\mathbb{K}^{\prime})}$であること（命題5.29 (1)）から従う．

(2) 命題5.29の$\text{(a)}\Longleftrightarrow\text{(f)}$と，$\operatorname{nil}(\mathfrak{g}^{\prime}_{[\mathbb{K}]})=(\operatorname{nil}(\mathfrak{g}^{\prime}))_{[\mathbb{K}]}$であること（命題5.29 (2)）から従う． ∎

命題6.26 (1)より，必要ならば代数閉包への係数拡大を考えることで，一般性を失わず，係数体$\mathbb{K}$は代数閉であると仮定する．

$x\in\mathfrak{gl}(V)$とし，そのJordan分解を$(x_{\mathrm{s}},x_{\mathrm{n}})$とする．すると，$\operatorname{ad}_{\mathfrak{gl}(V)}(x_{\mathrm{n}})$は$\operatorname{ad}_{\mathfrak{gl}(V)}(x)$の定数項をもたない$\mathbb{K}$係数多項式として表せるから（補題5.21），$\mathfrak{g}$が$\operatorname{ad}_{\mathfrak{gl}(V)}(x)$安定ならば，$\operatorname{ad}_{\mathfrak{gl}(V)}(x_{\mathrm{n}})$安定でもある．すなわち，$x\in\mathbf{N}_{\mathfrak{gl}(V)}(\mathfrak{g})$ならば$x_{\mathrm{n}}\in\mathbf{N}_{\mathfrak{gl}(V)}(\mathfrak{g})$である．次に，部分ベクトル空間$W\subseteq V$に対して，$\mathfrak{gl}(V)$の部分Lie代数$\mathfrak{h}_{W}$を，

と定める．すると，$x_{\mathrm{n}}$は$x$の定数項をもたない$\mathbb{K}$係数多項式として表せるから，$W$が$x$安定ならば，$x_{\mathrm{n}}$安定でもある．また，$x_{\mathrm{n}}$は常に冪零だから，$W$が$x_{\mathrm{n}}$安定ならば，$x_{\mathrm{n}}|_{W}$も冪零であり，したがって特に，$x_{\mathrm{n}}|_{W}\in\mathfrak{sl}(W)$である．よって，$x\in\mathfrak{h}_{W}$ならば$x_{\mathrm{n}}\in\mathfrak{h}_{W}$である．

前段の結果より，主張を示すためには，

を示せばよい．上式の右辺を$\mathfrak{g}^{\prime}$と置くと，これは$\mathfrak{gl}(V)$の部分Lie代数である．また，$\mathfrak{g}$が$\mathfrak{gl}(V)$の部分Lie代数であることより$\mathfrak{g}\subseteq\mathbf{N}_{\mathfrak{gl}(V)}(\mathfrak{g})$であり，$\mathfrak{g}=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$（定理6.10）より$\mathfrak{g}$安定な部分ベクトル空間$W\subseteq V$に対して$\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{h}_{W}$だから，$\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{g}^{\prime}\subseteq\mathbf{N}_{\mathfrak{gl}(V)}(\mathfrak{g})$である．したがって，$\mathfrak{g}$は$\mathfrak{g}^{\prime}$の半単純イデアルだから，$\mathfrak{g}$の$\mathfrak{g}^{\prime}$における補イデアル$\mathfrak{a}$がとれる（命題6.12）．$\mathfrak{a}=0$を示す．$[\mathfrak{a},\mathfrak{g}]=0$だから，$\mathfrak{a}$の各元は，$\mathfrak{g}$の$V$上の自然表現に関して$\mathfrak{g}$同変である．また，係数体$\mathbb{K}$は代数閉だから，Schurの補題（命題3.13 (2)）より，$\mathfrak{a}$の各元は，$\mathfrak{g}$の自然表現の各既約部分表現上でスカラー倍である．一方で，$\mathfrak{g}$の自然表現の任意の既約部分表現に対応する$\mathfrak{g}$安定な部分ベクトル空間$W\subseteq V$に対して，$\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{g}^{\prime}\subseteq\mathfrak{h}_{W}$より$\mathfrak{a}$の各元の$W$への制限は$\mathfrak{sl}(W)$に属する．したがって，このスカラー倍は$0$である．Weylの完全可約性定理（定理6.20）より，$\mathfrak{g}$の自然表現は完全可約だから，上記のことと合わせて，$\mathfrak{a}=0$を得る．これで，主張が示された．∎

$V$上の線型写像$x\in\mathfrak{g}$のJordan分解を$(x_{\mathrm{s}},x_{\mathrm{n}})$とすると，定理6.30より，$x_{\mathrm{s}}$, $x_{\mathrm{n}}\in\mathfrak{g}$である．また，補題5.21より$\operatorname{ad}_{\mathfrak{gl}(V)}(x)$のJordan分解は$(\operatorname{ad}_{\mathfrak{gl}(V)}(x_{\mathrm{s}}),\operatorname{ad}_{\mathfrak{gl}(V)}(x_{\mathrm{n}}))$だから，その制限である$\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(x)$のJordan分解は$(\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(x_{\mathrm{s}}),\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(x_{\mathrm{n}}))$である．半単純Lie代数$\mathfrak{g}$の随伴表現が忠実であること（命題6.5）と合わせて，

および

を得る．∎

どちらも同様だから，(1)のみを示す．

$\text{(a)}\Longrightarrow\text{(b)}\Longrightarrow\text{(c)}$ 明らかである．

$\text{(c)}\Longrightarrow\text{(a)}$ $W$を有限次元ベクトル空間，$\mathfrak{g}$を$\mathfrak{gl}(W)$の半単純部分Lie代数，$x\in\mathfrak{g}$とし，$x$は（$W$上の線型写像として）半単純であるとする．$\mathfrak{g}$の任意の有限次元表現$(\rho,V)$に対して，$\rho(x)$が半単純であることを示せばよい．$\mathfrak{g}$は半単純であり，$\operatorname{Ker}(\rho)$はそのイデアルだから，その補イデアル$\mathfrak{a}$がとれ，Lie代数として$\mathfrak{g}=\operatorname{Ker}(\sigma)\oplus\mathfrak{a}$が成り立つ（定理6.13）．$p\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{a}$をこの直和分解に関する射影とする．いま，$x$は半単純だから，系6.31より$\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(x)$も半単純であり，したがって，その制限である$\operatorname{ad}_{\mathfrak{a}}(p(x))$も半単純である．$\rho|_{\mathfrak{a}}$は半単純Lie代数$\mathfrak{a}$の忠実な有限次元表現だから，ふたたび系6.31より，$\rho(x)=\rho(p(x))$も半単純である．これで，主張が示された． ∎