3 表現

(1) $\rho$から$\sigma$への準同型$f\neq 0$が存在したとする．すると，$\operatorname{Ker}(f)$は$V$の$\rho(\mathfrak{g})$安定な部分ベクトル空間であり，$V$とは異なるから，$\rho$の既約性より，$\operatorname{Ker}(f)=0$である．また，$\operatorname{Im}(f)$は$W$の$\sigma(\mathfrak{g})$安定な部分ベクトル空間であり，$0$とは異なるから，$\sigma$の既約性より，$\operatorname{Im}(f)=W$である．よって，$f$は$\rho$から$\sigma$への同型である．対偶をとれば，主張が従う．

(2) $f$を$\rho$から自身への準同型とする．仮定より，$f$は固有値$\lambda\in\mathbb{K}$をもつ．$\operatorname{Ker}(f-\lambda\mathrm{id}_{V})$は$V$の$\rho(\mathfrak{g})$安定な部分ベクトル空間であり，$0$とは異なるから，$\rho$の既約性より，$\operatorname{Ker}(f-\lambda\mathrm{id}_{V})=V$である．すなわち，$f=\lambda\mathrm{id}_{V}$である． ∎

$V$の次元に関する帰納法で示す．$V=0$の場合は明らかである．$V\neq 0$とし，次元がより小さい場合には主張は正しいとする．$V$は有限次元だから，$V$の$0$でない$\rho(\mathfrak{g})$安定な部分ベクトル空間の中で極小なもの$W$がとれる．極小性より，$\rho$の$W$上の部分表現は既約である．等化線型写像を$\phi\colon V\to V/W$と書き，$\rho$の$V/W$上の商表現を$\overline{\rho}$と書く．すると，帰納法の仮定より，$\overline{\rho}$の組成列$(\overline{V_{0}},\dots,\overline{V_{n}})$がとれる．このとき，$(\phi^{-1}(\overline{V_{0}}),\dots,\phi^{-1}(\overline{V_{n}}),0)$は$\rho$の組成列である．これで，帰納法が完成した．∎

$\rho$が完全可約であるとする．完全可約表現$\rho$の任意の商表現は$\rho$のある部分表現に同型だから，部分表現に関する主張だけを示せば十分である．$(\rho^{\prime},V^{\prime})$を$(\rho,V)$の部分表現とし，$V^{\prime}$の$V$における$\rho(\mathfrak{g})$安定な補空間$V^{\prime\prime}$をとる．$W^{\prime}$を$V^{\prime}$の$\rho^{\prime}(\mathfrak{g})$安定な部分ベクトル空間とすると，$W^{\prime}\oplus V^{\prime\prime}$は$V$の$\rho(\mathfrak{g})$安定な部分ベクトル空間だから，$\rho$の完全可約性より，$W^{\prime}\oplus V^{\prime\prime}$の$V$における$\rho(\mathfrak{g})$安定な補空間$M$がとれる．ここで，直和分解$V=V^{\prime}\oplus V^{\prime\prime}$に関する$V^{\prime}$の上への射影を$p\colon V\to V^{\prime}$と書くと，容易に確かめられるように，$p(M)$は$W^{\prime}$の$V^{\prime}$における$\rho^{\prime}(\mathfrak{g})$安定な補空間となる．よって，$\rho^{\prime}$は完全可約である．∎

$\text{(a)}\Longrightarrow\text{(b)}$ $(\rho,V)$が既約表現の族$((\rho_{i},V_{i}))_{i\in I}$に直和分解されるとする．$W$を$V$の$\rho(\mathfrak{g})$安定な部分ベクトル空間とする．すると，Zornの補題より，$I^{\prime}\subseteq I$であって$W\cap\bigoplus_{i\in I^{\prime}}V_{i}=0$を満たすものの中で極大なものがとれる．このような$I^{\prime}$をとると，$W\oplus\bigoplus_{i\in I^{\prime}}V_{i}=V$となることを示す．そうでないと仮定すると，ある$j\in I\setminus I^{\prime}$が存在して，$V_{j}$は$W\oplus\bigoplus_{i\in I^{\prime}}V_{i}$に含まれない．$\rho_{j}$は既約だから，$V_{j}\cap(W\oplus\bigoplus_{i\in I^{\prime}}V_{i})=0$となり，したがって，$W\cap\bigoplus_{i\in I^{\prime}\cup\{j\}}V_{i}=0$となる．ところが，これは，$I^{\prime}$の極大性に反する．よって，$W\oplus\bigoplus_{i\in I^{\prime}}V_{i}=V$が成り立つ．これで，$\rho$が完全可約であることが示された．

$\text{(b)}\Longrightarrow\text{(a)}$（$V$が有限次元である場合） $V$の次元に関する帰納法で示す．$V=0$の場合は明らかである．$V\neq 0$とし，次元がより小さい場合には主張は正しいとする．$V$は有限次元だから，$V$の$\rho(\mathfrak{g})$安定な部分ベクトル空間$W\neq 0$の中で極小なものがとれる．極小性より，$\rho$の$W$上の部分表現は既約である．また，$\rho$は完全可約だから，$W$の$V$における$\rho(\mathfrak{g})$安定な補空間$V^{\prime}$がとれる．$\rho$の$V^{\prime}$上の部分表現はまた完全可約だから（命題3.17），帰納法の仮定より，それは既約表現の族に直和分解できる．よって，$\rho$も既約表現の族に直和分解できる．これで，帰納法が完成した． ∎

(1) $D$を$\mathfrak{g}$上の内部導分とする．$\mathfrak{a}$が$D$安定であることより$B(D(\mathfrak{a}),\mathfrak{a}^{\prime})\subseteq B(\mathfrak{a},\mathfrak{a}^{\prime})=0$だから，$B(\mathfrak{a},D(\mathfrak{a}^{\prime}))=B(\mathfrak{a},\mathfrak{a}^{\prime})=0$である．すなわち，$\mathfrak{a}^{\prime}$は$D$安定である．よって，$\mathfrak{a}^{\prime}$は$\mathfrak{g}$のイデアルである．同様に，$\mathfrak{a}^{\prime\prime}$は$\mathfrak{g}$のイデアルである．

(2) (1)の証明において「内部導分」を「導分」に置き換えれば，(2)の証明となる． ∎

(1) $\rho$のトレース形式を$B_{\rho}$と書く．トレースの性質より，$B_{\rho}$は対称である．また，任意の$x$, $y$, $z\in\mathfrak{g}$に対して

だから，$B_{\rho}$は不変である．

(2) $\mathfrak{g}$のKilling形式を$B_{\mathfrak{g}}$と書く．$B_{\mathfrak{g}}$が対称であることは，(1)の主張に含まれる．また，$\mathfrak{g}$上の任意の導分$D$と任意の$x\in\mathfrak{g}$に対して，命題1.9 (1)より

だから，$B_{\mathfrak{g}}$は完全不変である． ∎

命題3.23と命題3.21から従う．∎

一般に，$V$を有限次元ベクトル空間，$W$をその部分ベクトル空間，$u$を$V$上の線型変換であって$W$を安定にするものとし，$u$が誘導する$W$, $V/W$上の線型変換をそれぞれ$u^{\prime}$, $u^{\prime\prime}$と書くと，$\operatorname{tr}_{V}(u)=\operatorname{tr}_{W}(u^{\prime})+\operatorname{tr}_{V/W}(u^{\prime\prime})$が成り立つ．さらに，$u(V)\subseteq W$ならば，$u^{\prime\prime}=0$だから，$\operatorname{tr}_{V}(u)=\operatorname{tr}_{W}(u^{\prime})$が成り立つ．そこで，$\mathfrak{g}$, $\mathfrak{a}$のKilling形式をそれぞれ$B_{\mathfrak{g}}$, $B_{\mathfrak{a}}$と書くと，任意の$x$, $y\in\mathfrak{a}$に対して，

である．∎

(1) $\rho$, $\rho_{(\mathbb{K}^{\prime})}$のトレース形式を，それぞれ$B_{\rho}$, $B_{\rho_{(\mathbb{K}^{\prime})}}$と書く．任意の$x$, $y\in\mathfrak{g}$に対して

だから，$B_{\rho_{(\mathbb{K}^{\prime})}}$は$B_{\rho}$の$\mathbb{K}^{\prime}$への係数拡大に等しい．

(2) (1)の特別な場合である． ∎

$\phi\colon\operatorname{End}(\mathfrak{a})\to\mathfrak{a}\otimes\mathfrak{a}^{*}$を自然な線型同型，$\psi\colon\mathfrak{a}\to\mathfrak{a}^{*}$を$B$が定める線型同型$y\mapsto B(\blank,y)$，$\iota\colon\mathfrak{a}\otimes\mathfrak{a}\to\mathbf{T}(\mathfrak{g})$を包含線型写像，$\pi\colon\mathbf{T}(\mathfrak{g})\to\mathbf{U}(\mathfrak{g})$を等化準同型とする．すると，$c\in\mathbf{U}(\mathfrak{g})$は，線型写像

による$\mathrm{id}_{\mathfrak{a}}\in\operatorname{End}(\mathfrak{a})$の像にほかならないから，$\mathfrak{a}$の基底$(e_{1},\dots,e_{n})$のとり方によらない．さらに，$\mathfrak{a}$の随伴表現から定まる$\operatorname{End}(\mathfrak{a})$, $\mathfrak{a}\otimes\mathfrak{a}^{*}$, $\mathfrak{a}\otimes\mathfrak{a}$上の表現と，$\mathfrak{g}$の随伴表現の$\mathfrak{a}$への制限から定まる$\mathbf{T}(\mathfrak{g})$, $\mathbf{U}(\mathfrak{g})$上の表現を考えると，容易に確かめられるように，上記の線型写像はすべて$\mathfrak{g}$準同型である．これらの表現に関して，$\mathrm{id}_{\mathfrak{a}}\in\operatorname{End}(\mathfrak{a})$は不変だから，$c\in\mathbf{U}(\mathfrak{g})$も不変である．これは，$c$が包絡代数の中心$\mathbf{Z}(\mathbf{U}(\mathfrak{g}))$に属することを意味する．∎

(1) $c\in\mathbf{Z}(\mathbf{U}(\mathfrak{g}))$だから，$\rho(c)$は任意の$x\in\mathfrak{g}$に対する$\rho(x)$と可換である．すなわち，$\rho(c)$は$V$の$\mathfrak{g}$自己準同型である．

(2) $\rho$のトレース形式を$B_{\rho}$と書く．$\mathfrak{a}$の基底$(e_{1},\dots,e_{n})$を一つとり，$(e_{1}^{*},\dots,e_{n}^{*})$を$\mathfrak{a}$の基底であって$B(e_{i},e_{j}^{*})=\delta_{ij}$を満たすものとする．すると，$c=\sum_{i=1}^{n}e_{i}e_{i}^{*}$だから，

である．

(3) $\dim\mathfrak{a}$が$\mathbb{K}$の標数の倍数ではないことと(2)より，$\rho(c)\neq 0$である．(1)より$\operatorname{Ker}(\rho(c))$は$V$の$\rho(\mathfrak{g})$安定な部分ベクトル空間だから，$\rho$が既約であることと$\rho(c)\neq 0$であることより，$\operatorname{Ker}(\rho(c))=0$である．また，(1)より$\operatorname{Im}(\rho(c))$は$V$の$\rho(\mathfrak{g})$安定な部分ベクトル空間だから，$\rho$が既約であることと$\rho(c)\neq 0$であることより，$\operatorname{Im}(\rho(c))=V$である．よって，$\rho(c)$は$V$の$\mathfrak{g}$自己同型である． ∎