2 ルート系の基底

基底の定義より$\beta-\alpha\notin\Delta\cup\{0\}$だから，主張は系1.26 (1)の対偶から従う．∎

$I^{\prime}$, $I^{\prime\prime}\subseteq I$を互いに交わらない有限部分集合とし，各$i\in I^{\prime}$に対して$a_{i}\geq 0$，各$j\in I^{\prime\prime}$に対して$b_{j}\geq 0$を任意にとる．もし$\sum_{i\in I^{\prime}}a_{i}v_{i}=\sum_{j\in I^{\prime\prime}}b_{j}v_{j}$ならば，これを$v$と置くと，条件(ii)より

だから，

である．条件(i)の$w\in V\setminus\{0\}$と上式の各辺との内積をとれば，$a_{i}=0$および$b_{j}=0$を得る．よって，$(v_{i})_{i\in I}$は線型独立である．∎

$V$上の$\mathbf{W}(\Delta)$不変な内積$\langle\blank,\blank\rangle$を一つ固定する（系1.8）．$\alpha\in\Delta$と$v\in V$に対して，$\alpha^{\vee}(v)=2\langle v,\alpha\rangle/\langle\alpha,\alpha\rangle$だから，$\alpha^{\vee}(v)$と$\langle v,\alpha\rangle$は同符号である．

(1) 内積を用いると，

と書ける．$\Pi$は$V$の基底だから，$C(\Pi)$は連結である．$C(\Pi)$の元と$\Pi$に関する正ルートとの内積は正であり，$\Pi$に関する負ルートとの内積は負だから，$C(\Pi)$は

に含まれる．さらに，$v^{\prime}\in V\setminus\bigcup_{\alpha\in\Delta}\Sigma_{\alpha}$が$C(\Pi)$と同じ連結成分に含まれるならば，任意の$\alpha\in\Delta$に対して$\langle v^{\prime},\alpha\rangle$と$\langle v,\alpha\rangle$（$v\in C(\Pi)$）は同符号だから，$v^{\prime}\in C(\Pi)$である．よって，$C(\Pi)$は$V\setminus\bigcup_{\alpha\in\Delta}\Sigma_{\alpha}$の一つの連結成分，すなわちWeylチャンバーである．

(2) $\alpha^{\vee}$の符号は各Weylチャンバー上で一定だから，$v_{0}\in C$を一つ固定すると

と書ける．$\alpha\in\Delta_{+}(C)$とすると，それが$\Pi(C)$に属していない限り$\alpha=\alpha_{1}+\dots+\alpha_{k}$（$k\geq 2$，$\alpha_{1}$, $\dots$, $\alpha_{k}\in\Delta_{+}(C)$）と分解でき，各$\alpha_{i}$に対しても同じことがいえる．各$i$に対して$\langle v_{0},\alpha_{i}\rangle<\langle v_{0},\alpha\rangle$だから，この操作は有限回で終了する．よって，$\Delta_{+}(C)$に属するルートは，$\Pi(C)$の元の$0$以上の整数を係数とする線型結合で書ける．$\Delta=\Delta_{+}(C)\cup(-\Delta_{+}(C))$だから，残りのルートは，$\Pi(C)$の元の$0$以下の整数を係数とする線型結合で書ける．

前段の結果から，$\Pi(C)$が$V$を張ることもわかる．あとは，$\Pi(C)$が線型独立であることを示せばよい．そのためには，$\Pi(C)$が補題2.4の条件を満たすことをいえばよい．条件(i)は，2.1節より満たされる．条件(ii)が満たされないとすると，ある$\alpha$, $\beta\in\Pi(C)$に対して$\langle\alpha,\beta\rangle\leq 0$となるが，このとき系1.26より$\beta-\alpha\in\Delta$である．したがって，$\beta-\alpha$または$\alpha-\beta$が$\Delta_{+}(C)$に属することになるが，いずれにしても$\alpha$, $\beta\in\Pi(C)$に矛盾する．よって，背理法より，条件(ii)は満たされる．

(3) $\Pi$を$\Delta$の基底とすると，容易にわかるように$\Delta_{+}(\Pi)\subseteq\Delta_{+}(C(\Pi))$だが，$\Delta_{+}(\Pi)$と$\Delta_{-}(\Pi)=-\Delta_{+}(\Pi)$，$\Delta_{+}(C(\Pi))$と$-\Delta_{+}(C(\Pi))$はともに$\Delta$の分割を与えるから，$\Delta_{+}(\Pi)=\Delta_{+}(C(\Pi))$である．したがって，$\Pi(C(\Pi))$は$\Delta_{+}(\Pi)$の元のうち$\Delta_{+}(\Pi)$の重複を許す二つ以上の元の和としては書けないもの全体だが，正ルートの定義よりこれは$\Pi$に等しい．また，$C$を$\Delta$のWeylチャンバーとすると，容易にわかるように$C\subseteq C(\Pi(C))$であり，$C$と$C(\Pi(C))$はともに$V\setminus\bigcup_{\alpha\in\Delta}\Sigma_{\alpha}$の連結成分だから$C=C(\Pi(C))$である．よって，(1)と(2)の対応は互いに他の逆であり，$\Delta$の基底とWeylチャンバーとの間の一対一対応を与える．

$t\in\operatorname{Aut}(\Delta)$とすると，$\Delta$の基底$\Pi$に対して，

である（補題1.12）．よって，上記の対応は，自己同型群$\operatorname{Aut}(\Delta)$の作用を保つ． ∎

一般性を失わず，$\mathbb{K}=\mathbb{R}$と仮定する（命題1.7）．このとき基底の存在は，定理2.5から従う．∎

$\beta\in\Delta_{+}(\Pi)\setminus\mathbb{K}\alpha$とする．$s_{\alpha}(\beta)\notin\mathbb{K}\alpha$は明らかである．$\beta=\sum_{\gamma\in\Pi}a_{\gamma}\gamma$（各$a_{\gamma}$は$0$以上の整数）と表すと，ある$\gamma\in\Pi\setminus\{\alpha\}$が存在して$a_{\gamma}>0$となる．ここで，

だから，$s_{\alpha}(\gamma)$を$\Pi$の元の線型結合で表すときの$\gamma$の係数も$a_{\gamma}>0$である．これより，$s_{\alpha}(\beta)\in\Delta_{+}(\Pi)$である．よって，$s_{\alpha}$は，$\Delta_{+}(\Pi)\setminus\mathbb{K}\alpha$上の置換を引き起こす．∎

$\Pi$に関する割れない正ルート全体のなす集合を，$\Delta_{+}(\Pi)^{\prime}$と置く．$s_{\alpha}$は，$\Delta_{+}(\Pi)\setminus\mathbb{K}\alpha$上の置換を引き起こし（補題2.7），割れないルートを割れないルートに移すから，$\Delta_{+}(\Pi)^{\prime}\setminus\{\alpha\}$上の置換を引き起こす．よって，

である．∎

$s(\alpha_{k})=-s_{\alpha_{1}}\dotsm s_{\alpha_{k-1}}(\alpha_{k})$が正ルートであると仮定すると，$s_{\alpha_{1}}\dotsm s_{\alpha_{k-1}}(\alpha_{k})$は負ルートだから，$1\leq i\leq k-1$を適当にとって，$\beta=s_{\alpha_{i+1}}\dotsm s_{\alpha_{k-1}}(\alpha_{k})$は負ルートだが$s_{\alpha_{i}}(\beta)=s_{\alpha_{i}}\dotsm s_{\alpha_{k-1}}(\alpha_{k})$は正ルートであるようにできる．一方で，$s_{\alpha_{i}}$は$\mathbb{K}\alpha_{i}$に属さない正ルートを正ルートに移す（補題2.7）．したがって，$\beta\in\mathbb{K}\alpha_{i}$でなければならないから，

となり（補題1.12），移項すれば

を得る．これより$s=s_{\alpha_{1}}\dotsm s_{\alpha_{k}}=s_{\alpha_{1}}\dotsm s_{\alpha_{i-1}}s_{\alpha_{i+1}}\dotsm s_{\alpha_{k-1}}$となるが，これは$k$の最小性に矛盾する．よって，背理法より，$s(\alpha_{k})$は負ルートである．∎

一般性を失わず，$\mathbb{K}=\mathbb{R}$であり，$V$に$\mathbf{W}(\Delta)$不変な内積$\langle\blank,\blank\rangle$が定まっていると仮定する（命題1.7，系1.8）．$\Delta$の基底$\Pi$を一つ固定し（系2.6より存在する），$\{s_{\alpha}\mid\alpha\in\Pi\}$が生成する$\mathbf{W}(\Delta)$の部分群を$\mathbf{W}^{\prime}(\Delta)$と置く．まず(1), (2)で$\mathbf{W}(\Delta)$を$\mathbf{W}^{\prime}(\Delta)$に置き換えた主張(1^′), (2^′)を示し，次に(2^′)を用いて(3)を示す．

(1^′) $\mathbf{W}^{\prime}(\Delta)$の$\Delta$の基底全体のなす集合への作用が推移的であることを示す．定理2.5より，$\mathbf{W}^{\prime}(\Delta)$の$\Delta$のWeylチャンバー全体の集合への作用が推移的であることを示せばよい．$\Pi$に関する正ルートであって割れないもの全体の和の$1/2$倍を，$\rho$と置く．点$v\in V\setminus\bigcup_{\alpha\in\Delta}\Sigma_{\alpha}$を任意にとり，これに対して，$s\in\mathbf{W}^{\prime}(\Delta)$を$\langle s(v),\rho\rangle$が最大となるようにとる．すると，任意の$\alpha\in\Pi$に対して，

（最後の等号で系2.8を用いた）より$\langle s(v),\alpha\rangle\geq 0$であり，また$v\notin\Sigma_{s^{-1}(\alpha)}$より$\langle s(v),\alpha\rangle=\langle v,s^{-1}(\alpha)\rangle\neq 0$だから，$\langle s(v),\alpha\rangle>0$である．したがって，$s(v)\in C(\Pi)$であり，これは$v$を含むWeylチャンバーが$s$の作用で$C(\Pi)$に移ることを意味する．よって，$\mathbf{W}^{\prime}(\Delta)$の$\Delta$のWeylチャンバー全体のなす集合への作用は推移的である．

次に，$\mathbf{W}^{\prime}(\Delta)$の$\Delta$の基底全体のなす集合への作用が自由であることを示す．前段で推移性を示したから，$s\in\mathbf{W}^{\prime}(\Delta)\setminus\{\mathrm{id}_{V}\}$として$s(\Pi)\neq\Pi$を示せば十分である．$s=s_{\alpha_{1}}\dotsm s_{\alpha_{k}}$（$k\geq 1$，$\alpha_{1}$, $\dots$, $\alpha_{k}\in\Pi$）と$k$が最小になる方法で表示すると，補題2.9より$s(\alpha_{k})$は負ルートだから，特に$s(\Pi)\neq\Pi$である．これで，主張が示された．

(2^′) (1^′)より，$\Delta$のすべての基底の合併が$\Delta$の割れないルート全体に等しいことを示せばよい．$\Delta$の基底の元がすべて割れないルートであることは，基底の定義から明らかである．任意の割れないルート$\alpha\in\Delta$が$\Delta$のある基底に含まれることを示す．点$v_{0}\in V$を

となるようにとり，さらに$\epsilon>0$を十分小さくとって

が成り立つようにする．すると，$v_{0}+\epsilon\alpha\in V\setminus\bigcup_{\beta\in\Delta}\operatorname{Ker}\Sigma_{\beta}$だから，$v_{0}+\epsilon\alpha$を含むWeylチャンバー$C$がとれる．以下，定理2.5の記号$\Delta_{+}(C)$, $\Pi(C)$を用いる．$\langle v_{0}+\epsilon\alpha,\alpha\rangle>0$だから，$\alpha\in\Delta_{+}(C)$である．また，$\alpha=\beta_{1}+\dots+\beta_{k}$（$k\geq 1$，$\beta_{1}$, $\dots$, $\beta_{k}\in\Delta_{+}(C)$）とすると，$\langle v_{0}+\epsilon\alpha,\alpha\rangle=\langle v_{0}+\epsilon\alpha,\beta_{1}\rangle+\dots+\langle v_{0}+\epsilon\alpha,\beta_{k}\rangle$だが，任意の$\beta\in\Delta_{+}(C)\setminus\mathbb{R}\alpha$に対して$\langle v_{0}+\epsilon\alpha,\beta\rangle>\langle v_{0}+\epsilon\alpha,\alpha\rangle$だから，$\beta_{1}$, $\dots$, $\beta_{k}\in\Delta_{+}(C)\cap\mathbb{R}\alpha$でなければならない．さらに，$\alpha$は割れないルートだから，$k=1$かつ$\beta_{1}=\alpha$でなければならない．よって，$\alpha\in\Pi(C)$である．これで，主張が示された．

(3) 任意の割れないルート$\alpha\in\Delta$に対して，(2^′)よりある$t\in\mathbf{W}^{\prime}(\Delta)$が存在して$t(\alpha)\in\Pi$となり，このとき，$s_{\alpha}=t^{-1}s_{t(\alpha)}t\in\mathbf{W}^{\prime}(\Delta)$である（補題1.12）．よって，$\mathbf{W}^{\prime}(\Delta)=\mathbf{W}(\Delta)$である． ∎

$\Pi_{1}$と$\Pi_{2}$はそれぞれ$V_{1}$と$V_{2}$の基底だから，$\phi$は線型同型写像$\Phi\colon V_{1}\to V_{2}$に一意に拡張される．仮定より，任意の$\alpha$, $\beta\in\Pi_{1}$に対して

だから，任意の$\alpha\in\Pi_{1}$に対して

である．したがって，線型同型写像$\Phi$を通してWeyl群$\mathbf{W}(\Delta_{1})$と$\mathbf{W}(\Delta_{2})$が対応するから（定理2.5 (3)），定理2.10 (2)と合わせて，

を得る．よって，$\Phi$はルート系$\Delta_{1}$から$\Delta_{2}$への同型である．∎

明らかに，$\Delta=\emptyset$と$\Pi=\emptyset$とは同値である．以下，これ以外の場合を考える．

$\text{(b)}\Longrightarrow\text{(a)}$ 対偶を示す．$\Delta$が可約であるとして，ルート系の直和分解$\Delta=\Delta_{1}\sqcup\Delta_{2}$であって$\Delta_{1}$, $\Delta_{2}$が空でないものをとる．$i\in\{1,2\}$に対して$\Pi_{i}=\Pi\cap\Delta_{i}$と置くと，これらは空でなく，$\Delta_{1}$と$\Delta_{2}$は直交する（命題1.17）から$\Pi_{1}$と$\Pi_{2}$も直交する．これで，主張の対偶が示された．

$\text{(a)}\Longrightarrow\text{(b)}$ 対偶を示す．$\Pi$が互いに直交する二つの空でない部分$\Pi_{1}$, $\Pi_{2}$に分割されているとする．$i\in\{1,2\}$に対して$\Delta_{i}=\mathbf{W}(\Delta)\Pi_{i}\neq\emptyset$と置く．すると，定理2.10 (2)より$\Delta=\Delta_{1}\cup\Delta_{2}$である．また，$\alpha\in\Pi_{1}$に対して$s_{\alpha}$は$\operatorname{span}_{\mathbb{K}}\Pi_{1}$を安定にし，$\beta\in\Pi_{2}$に対して$s_{\beta}$は$\operatorname{span}_{\mathbb{K}}\Pi_{1}$の点を動かさないから（$\Pi_{1}$と$\Pi_{2}$が直交することによる），定理2.10 (3)と合わせて$\Delta_{1}\subseteq\operatorname{span}_{\mathbb{K}}\Pi_{1}$を得る．同様に，$\Delta_{2}\subseteq\operatorname{span}_{\mathbb{K}}\Pi_{2}$である．よって，$\Delta=\Delta_{1}\sqcup\Delta_{2}$はルート系の直和分解である．これで，主張の対偶が示された． ∎

$k$に関する帰納法で示す．$k=1$の場合は明らかである．$k\geq 2$とし，$k-1$に対する主張は正しいとする．$\beta=\alpha_{1}+\dots+\alpha_{k}$と置くと，$n(\alpha_{1},\beta)+\dots+n(\alpha_{k},\beta)=n(\beta,\beta)=2$だから，$n(\alpha_{i},\beta)>0$となる$1\leq i\leq k$が存在する．この$i$について，系1.26 (1)より，$\beta-\alpha_{i}\in\Delta$となる．そこで，$\alpha_{i}$を除く$k-1$個のルートに帰納法の仮定を適用すれば，$k$の場合の主張が示される．これで，帰納法が完成した．∎

$\Pi$を$\Delta$の基底とすると，ルート格子$\operatorname{span}_{\mathbb{Z}}\Delta$は$\Pi$を基底とする格子だから，$\Pi$上で$f$に一致する群準同型$\widetilde{f}\colon\operatorname{span}_{\mathbb{Z}}\Delta\to A$が一意に存在する．これが$f$の拡張であることを示そう．条件(i)より，正ルート$\beta$に対して$\widetilde{f}(\beta)=f(\beta)$を示せばよい．命題2.13より，単純ルートの列$\alpha_{1}$, $\dots$, $\alpha_{k}$を，$\alpha_{1}+\dots+\alpha_{k}=\beta$であり，かつ任意の$i\in\{1,\dots,k\}$に対して$\alpha_{1}+\dots+\alpha_{i}\in\Delta$であるようにとれる．よって，条件(ii)より

である．これで，主張が示された．∎

一般性を失わず，$\mathbb{K}=\mathbb{R}$であり，$V$に$\mathbf{W}(\Delta)$不変な内積$\langle\blank,\blank\rangle$が定まっていると仮定する（命題1.7，系1.8）．仮定より，$\mathbb{R}\lambda$はルートを含まないから，$v\in V$を，$\langle v,\lambda\rangle=0$かつ任意の$\alpha\in\Delta$に対して$\langle v,\alpha\rangle\neq 0$を満たすようにとれる．さらに，Weyl群$\mathbf{W}(\Delta)$はWeylチャンバー全体のなす集合に推移的に作用するから（定理2.5，定理2.10），$s\in\mathbf{W}(\Delta)$を，$s(v)\in C(\Pi)$（定理2.5の記号を用いた）を満たすようにとれる．ここで，$s(\lambda)=\sum_{\alpha\in\Pi}p_{\alpha}\alpha$（$p_{\alpha}\in\mathbb{Z}$）と表すと，

となるが，$s(v)\in C(\Pi)$より任意の$\alpha\in\Pi$に対して$\langle s(v),\alpha\rangle>0$だから，係数$p_{\alpha}$には正の整数と負の整数がともに現れる．∎

$(e_{i})_{e\in I}$から$(f_{j})_{j\in J}$への基底変換行列を$P=(p_{ij})_{(i,j)\in I\times J}$と置き，$(f_{j})_{j\in J}$から$(e_{i})_{i\in I}$への基底変換行列を$Q=(q_{ji})_{(j,i)\in J\times I}$と置く．仮定より，各成分$p_{ij}$と$q_{ji}$は$0$以上である．いま，$P$の一つの成分$p_{i_{0}j_{0}}$が正であるとする．$P$と$Q$は互いに他の逆行列だから，任意の$i\in I\setminus\{i_{0}\}$に対して$\sum_{j\in J}p_{i_{0}j}q_{ji}=0$だが，そのためには$q_{j_{0}i}=0$でなければならない．すなわち，$Q$の行ベクトル$(q_{j_{0}i})_{i\in I}$は，$i_{0}$成分を除いて$0$である．一方で，$Q$は正則だから，この性質を満たす$Q$の行ベクトルはたかだか一つである．以上より，任意の$i_{0}\in I$に対して，$p_{i_{0}j_{0}}>0$を満たす$j_{0}\in J$はたかだか一つである．このことと$P$の正則性より，全単射$\phi\colon I\to J$が存在して，

となる．すなわち，主張が成り立つ．∎

一般性を失わず，$\mathbb{K}=\mathbb{R}$であり，$V$に$\mathbf{W}(\Delta)$不変な内積$\langle\blank,\blank\rangle$が定まっていると仮定する（命題1.7，系1.8）．内積が定める線型同型によって，$V$と$V^{*}$を同一視する．すると，各ルート$\alpha\in R$に対して，$s_{\alpha}=s_{\alpha^{\vee}}$だから（命題1.13 (4)），$s_{\alpha}$の鏡映面と$s_{\alpha^{\vee}}$の鏡映面は等しい．したがって，$\Delta^{\vee}$の基底$\Pi^{\prime}$であって，$C(\Pi)=C(\Pi^{\prime})$（定理2.5の記号を用いた）を満たすものが存在する．$V$の内積に関する$\Pi$, $\Pi^{\prime}$の双対基底をそれぞれ$\Pi^{*}$, $\Pi^{\prime}{}^{*}$と書くと，$C(\Pi)=C(\Pi^{\prime})$は$\operatorname{span}_{\mathbb{R}_{\geq 0}}\Pi^{*}=\operatorname{span}_{\mathbb{R}_{\geq 0}}\Pi^{\prime}{}^{*}$を意味するから，補題2.16より，$\Pi^{\prime}{}^{*}$は$\Pi^{*}$の各元を適当に正のスカラー倍して得られる集合である．したがって，$\Pi$と$\Pi^{\prime}$についても同様である．ところが，各ルート$\alpha\in\Delta$に対して，$\Delta^{\vee}$のルートのうち$\alpha$の正のスカラー倍として書けるものは，$\alpha^{\vee}=2\alpha/\langle\alpha,\alpha\rangle$，$(2\alpha)^{\vee}=\alpha^{\vee}/2$（$2\alpha\in\Delta$のとき），$(\alpha/2)^{\vee}=2\alpha^{\vee}$（$\alpha/2\in\Delta$のとき）のみである（系1.25）．このうち，$\Delta^{\vee}$の割れないルートであるものは，$2\alpha\notin\Delta$ならば$\alpha^{\vee}$のみであり，$2\alpha\in\Delta$ならば$(2\alpha)^{\vee}$のみである．よって，$\Pi^{\vee}_{\mathrm{indiv}}=\Pi^{\prime}$であり，これは双対ルート系$\Delta^{\vee}$の基底である．

$\Delta$が被約ならば，任意の$\alpha\in\Delta$に対して$\alpha^{\vee}_{\mathrm{indiv}}=\alpha^{\vee}$だから，$\Pi^{\vee}=\{\alpha^{\vee}\mid\alpha\in\Pi\}$は双対ルート系$\Delta^{\vee}$の基底である．∎

$\text{(a)}\Longrightarrow\text{(b)}$ 基底の定義から明らかである．

$\text{(b)}\Longrightarrow\text{(a)}$ 基底$\Pi$を，$\#(P\cap\Delta_{+}(\Pi))$が最大となるようにとる．$\alpha\in\Pi$が$P$に属さないと仮定すると，$s_{\alpha}(\alpha)=-\alpha$は$P\cap\Delta_{+}(s_{\alpha}(\Pi))$に属する．次に，$\beta\in P\cap\Delta_{+}(\Pi)$を任意にとる．$\alpha$は割れないルートだから$\beta\neq\alpha/2$であり，また$\beta=2\alpha$とすると$-\alpha$, $2\alpha\in P$より$\alpha=2\alpha-\alpha\in P$となって仮定に反するから，$\beta\notin\mathbb{K}\alpha$である（系1.25）．したがって，補題2.7より$s_{\alpha}(\beta)\in\Delta_{+}(\Pi)$だから，$\beta\in P\cap\Delta_{+}(s_{\alpha}(\Pi))$である．以上より，$\#(P\cap\Delta_{+}(s_{\alpha}(\Pi)))>\#(P\cap\Delta_{+}(\Pi))$となるが，これは$\Pi$のとり方に反する．よって，背理法より，$\Pi\subseteq P$である．

$\Pi\subseteq P$より$\Delta_{+}(\Pi)\subseteq P$だが，$\Delta_{+}(\Pi)$と$\Delta_{-}(\Pi)$，$P$と$-P$はともに$\Delta$の分割を与えるから，$\Delta_{+}(\Pi)=P$が成り立つ．これで，主張が示された．

最後の主張 基底の定義から明らかである． ∎