SOCCULUS

UNIT:ルート系@

3 整ベクトルと優整ベクトル

3.1 整ベクトルと優整ベクトル

定義3.1 (整ベクトル，優整ベクトル)

Δ\Deltaを有限次元ベクトル空間VV上の被約ルート系とする．

  1. (1)

    λ∈V\lambda\in VがΔ\Deltaに関する整ベクトル（integral vector）であるとは，任意のルートα∈Δ\alpha\in\Deltaに対してα∨⁢(λ)∈ℤ\alpha^{\vee}(\lambda)\in\mathbb{Z}であることをいう．

  2. (2)

    さらに，Π\PiをΔ\Deltaの基底とする．このとき，λ∈V\lambda\in Vが(Δ,Π)(\Delta,\Pi)に関する優整ベクトル（dominant integral vector）であるとは，任意の単純ルートα∈Π\alpha\in\Piに対してα∨⁢(λ)∈ℤ≥0\alpha^{\vee}(\lambda)\in\mathbb{Z}_{\geq 0}であることをいう．

Δ\Deltaを有限次元ベクトル空間VV上の被約ルート系とし，Π\Piをその基底とする．このとき，Π∨={α∨∣α∈Π}\Pi^{\vee}=\{\alpha^{\vee}\mid\alpha\in\Pi\}は双対ルート系Δ∨\Delta^{\vee}の基底である（命題2.17）．したがって，λ∈V\lambda\in VがΔ\Deltaに関する整ベクトルであるためには，任意の単純ルートα∈Π\alpha\in\Piに対してα∨⁢(λ)∈ℤ\alpha^{\vee}(\lambda)\in\mathbb{Z}であれば十分である．また，V∗V^{*}の基底Π∨\Pi^{\vee}の双対基底をΠ∨∗\Pi^{\vee*}と書くと，Δ\Deltaに関する整ベクトル全体のなす集合はspanℤ⁡Π∨∗\operatorname{span}_{\mathbb{Z}}\Pi^{\vee*}であり，(Δ,Π)(\Delta,\Pi)に関する優整ベクトル全体のなす集合はspanℤ≥0⁡Π∨∗\operatorname{span}_{\mathbb{Z}_{\geq 0}}\Pi^{\vee*}である．

補題3.2

VVを有限次元実内積空間（その内積を⟨–,–⟩\langle\blank,\blank\rangleと書く），Π\Piをその基底とし，VVの内積に関するΠ\Piの双対基底をΠ′\Pi^{\prime}と書く．任意の異なる二つの元α\alpha, β∈Π\beta\in\Piに対して，⟨α,β⟩≤0\langle\alpha,\beta\rangle\leq 0であるとする．このとき，spanℝ≥0⁡Π′⊆spanℝ≥0⁡Π\operatorname{span}_{\mathbb{R}_{\geq 0}}\Pi^{\prime}\subseteq\operatorname{% span}_{\mathbb{R}_{\geq 0}}\Piが成り立つ．

証明

v∈spanℝ≥0⁡Π′v\in\operatorname{span}_{\mathbb{R}_{\geq 0}}\Pi^{\prime}を基底Π\Piの元の線型結合として表すとき，あるα∈Π\alpha\in\Piの係数が負となるとする．このとき，線型形式f∈V∗f\in V^{*}を，f⁢(α)=1f(\alpha)=1かつβ∈Π∖{α}\beta\in\Pi\setminus\{\alpha\}に対してf⁢(β)f(\beta)が十分小さい正の実数となるようにとれば，f⁢(Π∪{−v})⊆ℝ>0f(\Pi\cup\{-v\})\subseteq\mathbb{R}_{>0}となる．したがって，Π∪{−v}\Pi\cup\{-v\}は一つの半開空間に含まれる．また，v∈spanℝ≥0⁡Π′v\in\operatorname{span}_{\mathbb{R}_{\geq 0}}\Pi^{\prime}より任意のβ∈Π\beta\in\Piに対して⟨v,α⟩≥0\langle v,\alpha\rangle\geq 0だから，仮定と合わせて，Π∪{−v}\Pi\cup\{-v\}の任意の異なる二つの元の内積が0以下であることを得る．これらのことと補題2.4より，Π∪{−v}\Pi\cup\{-v\}は線型独立となるが，これは矛盾である．よって，背理法より，spanℝ≥0⁡Π′⊆spanℝ≥0⁡Π\operatorname{span}_{\mathbb{R}_{\geq 0}}\Pi^{\prime}\subseteq\operatorname{% span}_{\mathbb{R}_{\geq 0}}\Piである．∎

命題3.3

Δ\Deltaを有限次元ベクトル空間VV上の被約ルート系とする．

  1. (1)

    Δ\Deltaに関する任意の整ベクトルは，Vℚ=spanℚ⁡ΔV_{\mathbb{Q}}=\operatorname{span}_{\mathbb{Q}}\Deltaに含まれる．

  2. (2)

    さらに，Π\PiをΔ\Deltaの基底とする．このとき，(Δ,Π)(\Delta,\Pi)に関する任意の優整ベクトルは，spanℚ≥0⁡Π\operatorname{span}_{\mathbb{Q}_{\geq 0}}\Piに含まれる．

証明

Π\PiをΔ\Deltaの基底とする．

(1) VVの基底Π∨∗\Pi^{\vee*}からΠ\Piへの基底変換行列は(Δ,Π)(\Delta,\Pi)のCartan行列であり，Π\PiからΠ∨∗\Pi^{\vee*}への基底変換行列はその逆行列である．特に，Π\PiからΠ∨∗\Pi^{\vee*}への基底変換行列の各成分は有理数である．よって，Δ\Deltaに関する整ベクトル全体のなす集合spanℤ⁡Π∨∗\operatorname{span}_{\mathbb{Z}}\Pi^{\vee*}は，VℚV_{\mathbb{Q}}に含まれる．

(2) 一般性を失わず，𝕂=ℝ\mathbb{K}=\mathbb{R}であり，VVに𝐖⁢(Δ)\mathbf{W}(\Delta)不変な内積⟨–,–⟩\langle\blank,\blank\rangleが定まっていると仮定する（命題1.7，系1.8）．λ∈V\lambda\in Vを(Δ,Π)(\Delta,\Pi)に関する整ベクトルとすると，任意の単純ルートα∈Π\alpha\in\Piに対して⟨λ,α⟩≥0\langle\lambda,\alpha\rangle\geq 0である．Π\Piは補題3.2の仮定を満たすから（命題2.2），λ∈spanℝ≥0⁡Π\lambda\in\operatorname{span}_{\mathbb{R}_{\geq 0}}\Piである．このことと(1)を合わせて，λ∈spanℚ≥0⁡Π\lambda\in\operatorname{span}_{\mathbb{Q}_{\geq 0}}\Piを得る． ∎

3.2 優整ベクトルとWeyl群

命題3.4

Δ\Deltaを有限次元ベクトル空間VV上の被約ルート系とし，Π\Piをその基底とする．Δ\Deltaに関する任意の整ベクトルλ∈V\lambda\in Vに対して，あるs∈𝐖⁢(Δ)s\in\mathbf{W}(\Delta)が存在して，s⁢(λ)s(\lambda)が(Δ,Π)(\Delta,\Pi)に関する優整ベクトルとなる22 2 より強く，軌道𝐖⁢(Δ)⁢λ\mathbf{W}(\Delta)\lambdaがただ一つの優整ベクトルを含むことまでいえる．証明は，Humphreys [2, §10.3, Lemma B] を参照のこと．．

証明

一般性を失わず，𝕂=ℝ\mathbb{K}=\mathbb{R}であり，VVに𝐖⁢(Δ)\mathbf{W}(\Delta)不変な内積⟨–,–⟩\langle\blank,\blank\rangleが定まっていると仮定する（命題1.7，系1.8）．ρ=(1/2)⁢∑α∈Δ+⁢(Π)α\rho=(1/2)\sum_{\alpha\in\Delta_{+}(\Pi)}\alphaと置き，s∈𝐖⁢(Δ)s\in\mathbf{W}(\Delta)を⟨s⁢(λ),ρ⟩\langle s(\lambda),\rho\rangleが最大となるようにとる．すると，任意の単純ルートα∈Π\alpha\in\Piに対して，

⟨s⁢(v),ρ⟩≥⟨sα⁢s⁢(v),ρ⟩=⟨s⁢(v),sα⁢(ρ)⟩=⟨s⁢(v),ρ⟩−⟨s⁢(v),α⟩\langle s(v),\rho\rangle\geq\langle s_{\alpha}s(v),\rho\rangle=\langle s(v),s_% {\alpha}(\rho)\rangle=\langle s(v),\rho\rangle-\langle s(v),\alpha\rangle

（最後の等号で系2.8を用いた）より⟨s⁢(v),α⟩≥0\langle s(v),\alpha\rangle\geq 0，すなわちα∨⁢(s⁢(λ))≥0\alpha^{\vee}(s(\lambda))\geq 0である33 3 定理2.10の証明の(1′)でも，同じような議論をした．．よって，s⁢(λ)s(\lambda)は(Δ,Π)(\Delta,\Pi)に関する優整ベクトルである．∎

命題3.5

Δ\Deltaを有限次元ベクトル空間VV上のルート系とし，Π\Piをその基底とする．VVの部分集合𝔛\mathfrak{X}が，次の条件を満たすとする．

  1. (i)

    あるλ∈V\lambda\in Vが存在して，𝔛⊆λ−spanℤ≥0⁡Π\mathfrak{X}\subseteq\lambda-\operatorname{span}_{\mathbb{Z}_{\geq 0}}\Piとなる．

  2. (ii)

    𝔛\mathfrak{X}は𝐖⁢(Δ)\mathbf{W}(\Delta)安定である．

このとき，𝔛\mathfrak{X}は有限である．

証明

必要ならばΔ\Deltaの割れないルート全体のなす被約ルート系（命題1.33）を考えることで，一般性を失わず，Δ\Deltaは被約であると仮定する．μ∈𝔛\mu\in\mathfrak{X}とすると，任意のルートα∈Δ\alpha\in\Deltaに対して，条件(i)と(ii)より

μ−α∨⁢(μ)⁢α=sα⁢(μ)∈𝔛⊆μ+spanℤ⁡Π\mu-\alpha^{\vee}(\mu)\alpha=s_{\alpha}(\mu)\in\mathfrak{X}\subseteq\mu+% \operatorname{span}_{\mathbb{Z}}\Pi

だから，α∨⁢(μ)∈ℤ\alpha^{\vee}(\mu)\in\mathbb{Z}である．したがって，任意のμ∈𝔛\mu\in\mathfrak{X}は，Δ\Deltaに関する整ベクトルである．そこで，𝔛\mathfrak{X}の元であって(Δ,Π)(\Delta,\Pi)に関する優整ベクトルであるもの全体のなす集合を𝔛++\mathfrak{X}_{++}と置くと，命題3.4と条件(ii)より，𝔛=𝐖⁢(Δ)⁢𝔛++\mathfrak{X}=\mathbf{W}(\Delta)\mathfrak{X}_{++}が成り立つ．さらに，命題3.3 (2)と条件(i)より，𝔛++\mathfrak{X}_{++}は有限である．よって，𝔛\mathfrak{X}は有限である．∎