SOCCULUS

UNIT:ルート系@

4 ルート系の分類

4.1 Cartan行列とDynkin図形

定義4.1 (Cartan行列)

Δ\Deltaをルート系とし，Π\Piをその基底とする．行列(n⁢(β,α))(β,α)∈Π×Π(n(\beta,\alpha))_{(\beta,\alpha)\in\Pi\times\Pi}を，(Δ,Π)(\Delta,\Pi)のCartan行列（Cartan matrix）という．

命題4.2

ルート系Δ\Deltaとその基底Π\Piに対して，(Δ,Π)(\Delta,\Pi)のCartan行列は正則である．

証明

𝐖⁢(Δ)\mathbf{W}(\Delta)不変な非退化対称双線型形式⟨–,–⟩\langle\blank,\blank\rangleを固定すると，α\alpha, β∈Δ\beta\in\Deltaに対してn⁢(β,α)=2⁢⟨β,α⟩/⟨α,α⟩n(\beta,\alpha)=2\langle\beta,\alpha\rangle/\langle\alpha,\alpha\rangleである（系1.8）．Π\PiがVVの基底であることより，行列(⟨β,α⟩)(β,α)∈Π×Π(\langle\beta,\alpha\rangle)_{(\beta,\alpha)\in\Pi\times\Pi}は正則だから，Cartan行列(n⁢(β,α))(β,α)∈Π×Π(n(\beta,\alpha))_{(\beta,\alpha)\in\Pi\times\Pi}も正則である．∎

Cartan行列を視覚的に表すものとして，Dynkin図形を導入する．そのための準備として，次の用語を定義する．

定義4.3 (不等号付き多重グラフ)

不等号付き多重グラフ44 4 「不等号付き多重グラフ」は，本稿だけの用語である． とは，次の条件を満たす組(Γ,c)(\Gamma,c)をいう．

  1. (i)

    Γ\Gammaは多重グラフである．

  2. (ii)

    ccは，Γ\Gammaにおいて22重以上の辺で結ばれている2頂点の集合{α,β}\{\alpha,\beta\}に対して，α\alphaとβ\betaのいずれかを対応させる写像である．

不等号付き多重グラフ(Γ,c)(\Gamma,c)は，多重グラフΓ\Gammaを表す図において，22重以上の辺に，ccによって選ばれた頂点のほうが「大きい」とする不等号を書き込むことで表される．たとえば，頂点α\alphaとβ\betaがΓ\Gammaにおいて22重辺で結ばれており，c⁢({α,β})=βc(\{\alpha,\beta\})=\betaであるとき，不等号付き多重グラフ(Γ,c)(\Gamma,c)における頂点α\alphaとβ\betaは，次のように表される．

α\alphaβ\beta

Δ\Deltaをルート系とし，Π\Piをその基底とする．異なる二つの単純ルートα\alpha, β∈Π\beta\in\Piに対して，(n⁢(α,β),n⁢(β,α))(n(\alpha,\beta),n(\beta,\alpha))は(0,0)(0,0), (−1,−1)(-1,-1), (−1,−2)(-1,-2), (−2,−1)(-2,-1), (−1,−3)(-1,-3), (−3,−1)(-3,-1)のいずれかだから（定理1.23，命題2.2），n⁢(α,β)⁢n⁢(β,α)n(\alpha,\beta)n(\beta,\alpha)は0, 11, 22, 33のいずれかである．また，定理1.23と注意1.24 (1)より，

α\alphaとβ\betaが直交しない ⇔n⁢(α,β)⁢n⁢(β,α)≥1,\displaystyle\iff n(\alpha,\beta)n(\beta,\alpha)\geq 1,
α\alphaとβ\betaが直交せず，異なる長さをもつ ⇔n⁢(α,β)⁢n⁢(β,α)≥2\displaystyle\iff n(\alpha,\beta)n(\beta,\alpha)\geq 2

である（「異なる長さをもつ」の意味については，注意1.22を参照のこと）．以上を踏まえて，次のように定義する．

定義4.4 (Dynkin図形)

ルート系Δ\Deltaとその基底Π\Piに対して，次のように定まる不等号付きグラフ(Γ,c)(\Gamma,c)を，(Δ,Π)(\Delta,\Pi)のDynkin図形（Dynkin diagram）という（表3も参照のこと）．

  1. (i)

    Γ\Gammaは，Π\Piを頂点集合とし，異なる二つの単純ルートα\alpha, β∈Π\beta\in\Piをn⁢(α,β)⁢n⁢(β,α)n(\alpha,\beta)n(\beta,\alpha)本の辺で結んで得られる多重グラフである．

  2. (ii)

    ccは，Γ\Gammaにおいて22重以上の辺で結ばれている2頂点の集合{α,β}\{\alpha,\beta\}に対して，α\alphaとβ\betaのうち長いほうを対応させる写像である．

表 3: Dynkin図形の辺と不等号
n⁢(α,β)n(\alpha,\beta) n⁢(β,α)n(\beta,\alpha) 頂点α\alpha（左）とβ\beta（右）を結ぶ辺と不等号
0 0
−1-1 −1-1
−1-1 −2-2
−2-2 −1-1
−1-1 −3-3
−3-3 −1-1
命題4.5

ルート系Δ\Deltaとその基底Π\Piに対して，次の条件は同値である．

  1. (a)

    Δ\Deltaは既約である．

  2. (b)

    (Δ,Π)(\Delta,\Pi)のDynkin図形は連結である．

証明

命題2.12のいいかえにすぎない．∎

定理2.10と系2.11より，被約なルート系の同型類はCartan行列の同型類と一対一に対応し，したがって，Dynkin図形の同型類とも一対一に対応する．さらに，命題4.5より，その中で，被約な既約ルート系の同型類と連結Dynkin図形の同型類が一対一に対応する．よって，被約な既約ルート系を分類するためには，連結Dynkin図形としてありうるものを絞り込んだ上で，それらの連結Dynkin図形に対応する既約ルート系が構成できるかどうかを考えればよい．

4.2 Dynkin図形の分類

Δ\Deltaは有限次元実内積空間VV上のルート系であり，その内積は𝐖⁢(Δ)\mathbf{W}(\Delta)不変であるとする．Π\PiをΔ\Deltaの基底とすると，

  • •

    Π\PiはVVの基底だから，特に線型独立である．

  • •

    任意のα\alpha, β∈Π\beta\in\Piに対して，⟨α,β⟩≤0\langle\alpha,\beta\rangle\leq 0である（命題2.2）．

  • •

    (Δ,Π)(\Delta,\Pi)のDynkin図形において，α\alphaとβ\betaを結ぶ辺の本数は

    n⁢(α,β)⁢n⁢(β,α)=2⁢⟨α,β⟩⟨β,β⟩⋅2⁢⟨β,α⟩⟨α,α⟩=4⁢⟨α‖α‖,β‖β‖⟩2n(\alpha,\beta)n(\beta,\alpha)=\frac{2\langle\alpha,\beta\rangle}{\langle\beta% ,\beta\rangle}\cdot\frac{2\langle\beta,\alpha\rangle}{\langle\alpha,\alpha% \rangle}=4\left\langle\frac{\alpha}{\lVert\alpha\rVert},\frac{\beta}{\lVert% \beta\rVert}\right\rangle^{2}

    であり（系1.8 (2)），これは0, 11, 22, 33のいずれかである（定理1.23）．

これを踏まえて，次のように定義する．

定義4.6 (許容可能なベクトルの集合)

VVを有限次元実内積空間とする．単位ベクトルの集合SSが許容可能（admissible）であるとは，次の条件を満たすことをいう．

  1. (i)

    SSは線型独立である．

  2. (ii)

    任意の異なる二つの元vv, w∈Sw\in Sに対して，⟨v,w⟩≤0\langle v,w\rangle\leq 0かつ4⁢⟨v,w⟩2∈{0,1,2,3}4\langle v,w\rangle^{2}\in\{0,1,2,3\}である（あるいは同値だが，∠⁢(v,w)∈{90⁢°,120⁢°,135⁢°,150⁢°}\angle(v,w)\in\{90\tcdegree,120\tcdegree,135\tcdegree,150\tcdegree\}である）．

定義4.7 (許容可能な多重グラフ)

許容可能な単位ベクトルの集合SSに対して，多重グラフΓ⁢(S)\Gamma(S)を，SSを頂点集合とし，異なる2頂点vv, w∈Sw\in Sが4⁢⟨v,w⟩24\langle v,w\rangle^{2}本の辺で結ばれるものとして定める．多重グラフΓ\Gammaは，ある許容可能な単位ベクトルの集合SSに対するΓ⁢(S)\Gamma(S)に同型であるとき，許容可能（admissible）であるという．

注意4.8

Δ\Deltaを有限次元ベクトル空間VV上のルート系，Π\Piをその基底とし，(Γ,c)(\Gamma,c)を(Δ,Π)(\Delta,\Pi)のDynkin図形とする．Δ\Deltaを有限次元実ベクトル空間Vℝ=Vℚ⊗ℚℝV_{\mathbb{R}}=V_{\mathbb{Q}}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}（Vℚ=spanℚ⁡ΔV_{\mathbb{Q}}=\operatorname{span}_{\mathbb{Q}}\Delta）上のルート系とみなし（命題1.7），VℝV_{\mathbb{R}}上の𝐖⁢(Δ)\mathbf{W}(\Delta)不変な内積⟨–,–⟩\langle\blank,\blank\rangleを一つ固定する（系1.8 (1)）．このとき，

S={α‖α‖|α∈Π}S=\left\{\frac{\alpha}{\lVert\alpha\rVert}\mathrel{}\middle|\mathrel{}\alpha% \in\Pi\right\}

は許容可能な単位ベクトルの集合であり，対応する多重グラフΓ⁢(S)\Gamma(S)はΓ\Gammaに等しい．よって，Γ\Gammaは許容可能である．

以下，許容可能な連結多重グラフを分類する．

補題4.9

許容可能な多重グラフは，（長さ33以上の）サイクルを含まない．

証明

SSを許容可能な単位ベクトルの集合とし，Γ⁢(S)\Gamma(S)においてS0⊆SS_{0}\subseteq Sがサイクルをなすとする．vv, w∈S0w\in S_{0}を異なる2頂点とすると⟨v,w⟩≤0\langle v,w\rangle\leq 0だが，S0S_{0}に属する頂点どうしを結ぶ辺は少なくとも#⁢S0\#S_{0}本あるから，このうち少なくとも2⁢#⁢S02\#S_{0}組の(v,w)(v,w)（順序を考慮するため22倍になる）に対して⟨v,w⟩≤−1/2\langle v,w\rangle\leq-1/2である．したがって，

‖∑v∈S0v‖2=#⁢S0+∑v,w∈S0,v≠w⟨v,w⟩≤#⁢S0+2⁢#⁢S0⋅(−12)=0\left\lVert\sum_{v\in S_{0}}v\right\rVert^{2}=\#S_{0}+\sum_{v,w\in S_{0},\ v% \neq w}\langle v,w\rangle\leq\#S_{0}+2\#S_{0}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=0

であり，∑v∈S0v=0\sum_{v\in S_{0}}v=0を得るが，これはSSが線型独立であることに反する．よって，背理法より，Γ⁢(S)\Gamma(S)はサイクルを含まない．∎

補題4.10

許容可能な多重グラフにおいて，各頂点の次数（その頂点から伸びている辺の本数）は33以下である．

証明

SSを許容可能な単位ベクトルの集合とする．v∈Sv\in Sとし，Γ⁢(S)\Gamma(S)においてvvと辺で結ばれている頂点全体の集合をSvS_{v}と置く．補題4.9より，SvS_{v}に属するどの2頂点も辺で結ばれていないから，SvS_{v}は正規直交系をなす．SSが線型独立であることよりv∉spanℝ⁡Svv\notin\operatorname{span}_{\mathbb{R}}S_{v}だから，

4⁢∑w∈Sv⟨v,w⟩2<4⁢‖v‖2=44\sum_{w\in S_{v}}\langle v,w\rangle^{2}<4\lVert v\rVert^{2}=4

である．頂点vvとwwは4⁢⟨v,w⟩24\langle v,w\rangle^{2}本の辺で結ばれているから，上式は，頂点vvの次数が33以下であることを示す．∎

補題4.11

Γ\Gammaを許容可能な多重グラフとする．v0v_{0}, …\dots, vkv_{k}（k∈ℕk\in\mathbb{N}）はΓ\Gammaの異なる頂点の列であり，各1≤i≤k−11\leq i\leq k-1に対して，viv_{i}はvi−1v_{i-1}およびvi+1v_{i+1}とそれぞれちょうど11本の辺で結ばれ，それ以外の頂点とは辺で結ばれていないとする．このとき，v0v_{0}, …\dots, vkv_{k}を一つの頂点に潰して得られる多重グラフΓ′\Gamma^{\prime}は，また許容可能である．

証明

Γ\Gammaは，許容可能な単位ベクトルの集合SSに対応する多重グラフΓ⁢(S)\Gamma(S)であるとしてよい．v=v0+⋯+vkv=v_{0}+\dots+v_{k}，S′=(S∖{v0,…,vk})∪{v}S^{\prime}=(S\setminus\{v_{0},\dots,v_{k}\})\cup\{v\}と置く（SSは線型独立だから，v∉Sv\notin Sである）．すると，

  • •

    SSは線型独立だから，S′S^{\prime}も線型独立である．

  • •

    ‖v‖2=∑0≤i,j≤k⟨vi,vj⟩=k−(k−1)=1\lVert v\rVert^{2}=\sum_{0\leq i,j\leq k}\langle v_{i},v_{j}\rangle=k-(k-1)=1である．

  • •

    任意のw∈S′∖{v}w\in S^{\prime}\setminus\{v\}について，仮定より⟨vi,w⟩=0\langle v_{i},w\rangle=0（1≤i≤k−11\leq i\leq k-1）であり，補題4.9より⟨v0,w⟩\langle v_{0},w\rangleと⟨vk,w⟩\langle v_{k},w\rangleのうち少なくとも一方は0である．したがって，⟨v,w⟩=∑i=0k⟨vk,w⟩\langle v,w\rangle=\sum_{i=0}^{k}\langle v_{k},w\rangleは0または⟨v0,w⟩\langle v_{0},w\rangleまたは⟨vk,w⟩\langle v_{k},w\rangleに等しく，いずれにしても⟨v,w⟩≤0\langle v,w\rangle\leq 0かつ4⁢⟨v,w⟩2∈{0,1,2,3}4\langle v,w\rangle^{2}\in\{0,1,2,3\}である．

よって，S′S^{\prime}は許容可能な単位ベクトルの集合であり，対応する多重グラフΓ⁢(S′)\Gamma(S^{\prime})はΓ′\Gamma^{\prime}に同型である．よって，Γ′\Gamma^{\prime}は許容可能である．∎

定理4.12 (許容可能な連結多重グラフの分類)

許容可能な連結多重グラフは，表4に挙げたもののいずれかただ一つに同型である．

表 4: 許容可能な連結多重グラフの分類
型（llは頂点数） 多重グラフ
Al\mathrm{A}_{l} (l≥1l\geq 1)
Bl=Cl\mathrm{B}_{l}=\mathrm{C}_{l} (l≥2l\geq 2)
Dl\mathrm{D}_{l} (l≥4l\geq 4)
E6\mathrm{E}_{6}
E7\mathrm{E}_{7}
E8\mathrm{E}_{8}
F4\mathrm{F}_{4}
G2\mathrm{G}_{2}
証明

SSを許容可能な単位ベクトルの集合とし，Γ=Γ⁢(S)\Gamma=\Gamma(S)と置く．Γ\Gammaは連結であるとする．

(I) Γ\Gammaが33重辺をもつ場合，補題4.10より，Γ\GammaはG2\mathrm{G}_{2}に同型である．

(II) Γ\Gammaが33重辺をもたず22重辺をもつ場合，22重辺はただ一つであり，22重辺の両端以外に次数33以上の頂点は存在しない（存在するとすると，補題4.11の操作により次数44以上の頂点を作ることができ，補題4.10に反する）．したがって，Γ\Gammaは次の形である（1≤p≤q1\leq p\leq q）．

u1u_{\mathrlap{1}}u2u_{\mathrlap{2}}upu_{\mathrlap{p}}vqv_{\mathrlap{q}}v2v_{\mathrlap{2}}v1v_{\mathrlap{1}}

ここで，

u=∑i=1pi⁢ui,v=∑i=1qi⁢viu=\sum_{i=1}^{p}iu_{i},\qquad v=\sum_{i=1}^{q}iv_{i}

と置くと，

‖u‖2=∑i=1pi2−∑i=1p−1i⁢(i+1)=p⁢(p+1)2,同様に⁢‖v‖2=q⁢(q+1)2,\displaystyle\lVert u\rVert^{2}=\sum_{i=1}^{p}i^{2}-\sum_{i=1}^{p-1}i(i+1)=% \frac{p(p+1)}{2},\qquad\text{同様に}\lVert v\rVert^{2}=\frac{q(q+1)}{2},
⟨u,v⟩2=p2⁢q22\displaystyle\langle u,v\rangle^{2}=\frac{p^{2}q^{2}}{2}

である．uuとvvが線型独立であることとCauchy–Schwarzの不等式より⟨u,v⟩2<‖u‖2⁢‖v‖2\langle u,v\rangle^{2}<\lVert u\rVert^{2}\lVert v\rVert^{2}だから，

p2⁢q22<p⁢(p+1)2⋅q⁢(q+1)2\frac{p^{2}q^{2}}{2}<\frac{p(p+1)}{2}\cdot\frac{q(q+1)}{2}

である．これを整理するとp⁢q<p+q+1pq<p+q+1となり，これを満たす(p,q)(p,q)は，(1,l−1)(1,l-1)（l≥2l\geq 2は任意）と(2,2)(2,2)のみである．それぞれの場合，Γ\GammaはBl=Cl\mathrm{B}_{l}=\mathrm{C}_{l}とF4\mathrm{F}_{4}に同型である．

(III) Γ\Gammaが11重辺のみをもつ場合，次数33以上の頂点はたかだか一つである（二つ以上あるとすると，補題4.11の操作により次数44以上の頂点を作ることができ，補題4.10に反する）．次数33の頂点が存在しなければ，Γ\GammaはあるAl\mathrm{A}_{l}（l≥1l\geq 1）に同型である．次数33の頂点が存在すれば，Γ\Gammaは次の形である（2≤p≤q≤r2\leq p\leq q\leq r）．

xxup−1u_{\mathrlap{p-1}}u2u_{\mathrlap{2}}u1u_{\mathrlap{1}}vq−1v_{\mathrlap{q-1}}v2v_{\mathrlap{2}}v1v_{\mathrlap{1}}wr−1w_{\mathrlap{r-1}}w2w_{\mathrlap{2}}w1w_{\mathrlap{1}}

ここで，

u=∑i=1p−1i⁢ui,v=∑i=1q−1i⁢vi,w=∑i=1r−1i⁢wiu=\sum_{i=1}^{p-1}iu_{i},\qquad v=\sum_{i=1}^{q-1}iv_{i},\qquad w=\sum_{i=1}^{% r-1}iw_{i}

と置くと，uu, vv, wwは直交系であり，(II)と同じ計算により

‖u‖2\displaystyle\lVert u\rVert^{2} =p⁢(p−1)2,\displaystyle=\frac{p(p-1)}{2}, ‖v‖2\displaystyle\qquad\lVert v\rVert^{2} =q⁢(q−1)2,\displaystyle=\frac{q(q-1)}{2}, ‖w‖2\displaystyle\qquad\lVert w\rVert^{2} =r⁢(r−1)2,\displaystyle=\frac{r(r-1)}{2},
⟨u,x⟩2\displaystyle\langle u,x\rangle^{2} =(p−1)24,\displaystyle=\frac{(p-1)^{2}}{4}, ⟨v,x⟩2\displaystyle\qquad\langle v,x\rangle^{2} =(q−1)24,\displaystyle=\frac{(q-1)^{2}}{4}, ⟨w,x⟩2\displaystyle\qquad\langle w,x\rangle^{2} =(r−1)24\displaystyle=\frac{(r-1)^{2}}{4}

を得る．したがって，x∉spanℝ⁡{u,v,w}x\notin\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\{u,v,w\}と合わせて，

1=‖x‖2\displaystyle 1=\lVert x\rVert^{2} >⟨u‖u‖,x⟩2+⟨v‖v‖,x⟩2+⟨w‖w‖,x⟩2\displaystyle>\left\langle\frac{u}{\lVert u\rVert},x\right\rangle^{2}+\left% \langle\frac{v}{\lVert v\rVert},x\right\rangle^{2}+\left\langle\frac{w}{\lVert w% \rVert},x\right\rangle^{2}
=(p−1)2/4p⁢(p−1)/2+(q−1)2/4q⁢(q−1)/2+(r−1)2/4r⁢(r−1)/2\displaystyle=\frac{(p-1)^{2}/4}{p(p-1)/2}+\frac{(q-1)^{2}/4}{q(q-1)/2}+\frac{% (r-1)^{2}/4}{r(r-1)/2}
=12⁢(3−1p−1q−1r)\displaystyle=\frac{1}{2}\left(3-\frac{1}{p}-\frac{1}{q}-\frac{1}{r}\right)

を得る．これを整理すると1/p+1/q+1/r>11/p+1/q+1/r>1となり，これを満たす(p,q,r)(p,q,r)は，(2,2,l−2)(2,2,l-2)（l≥4l\geq 4は任意），(2,3,3)(2,3,3), (2,3,4)(2,3,4), (2,3,5)(2,3,5)のみである．それぞれの場合，Γ\GammaはDl\mathrm{D}_{l}, E6\mathrm{E}_{6}, E7\mathrm{E}_{7}, E8\mathrm{E}_{8}に同型である． ∎

定理4.13 (連結Dynkin図形の分類)

許容可能な連結多重グラフは，表5に挙げたもののいずれかただ一つに同型である．

表 5: 連結Dynkin図形の分類
型（llは頂点数） Dynkin図形
Al\mathrm{A}_{l} (l≥1l\geq 1)
Bl\mathrm{B}_{l} (l≥2l\geq 2)
Cl\mathrm{C}_{l} (l≥3l\geq 3)
Dl\mathrm{D}_{l} (l≥4l\geq 4)
E6\mathrm{E}_{6}
E7\mathrm{E}_{7}
E8\mathrm{E}_{8}
F4\mathrm{F}_{4}
G2\mathrm{G}_{2}
証明

(Γ,c)(\Gamma,c)を連結Dynkin図形とすると，Γ\Gammaは許容可能な連結多重グラフである（注意4.8）．許容可能な連結多重グラフΓ\Gammaは定理4.12で分類されており，対応するccとしてありうるものは，同型を除いて，表5に挙げたもので尽くされる．よって，連結Dynkin図形は，表5に挙げたもののいずれかただ一つに同型である．∎

表5に従って，Al\mathrm{A}_{l} (l≥1l\geq 1), Bl\mathrm{B}_{l} (l≥2l\geq 2), Cl\mathrm{C}_{l} (l≥3l\geq 3), Dl\mathrm{D}_{l} (l≥4l\geq 4), E6\mathrm{E}_{6}, E7\mathrm{E}_{7}, E8\mathrm{E}_{8}, F4\mathrm{F}_{4}, G2\mathrm{G}_{2}型のDynkin図形を定める．便宜上，A1\mathrm{A}_{1}型をB1\mathrm{B}_{1}型やC1\mathrm{C}_{1}型，B2\mathrm{B}_{2}型をC2\mathrm{C}_{2}型，A1\mathrm{A}_{1}型の二つの直和をD2\mathrm{D}_{2}型，A3\mathrm{A}_{3}型をD3\mathrm{D}_{3}型ともいう．Al\mathrm{A}_{l} (l≥1l\geq 1), Bl\mathrm{B}_{l} (l≥1l\geq 1), Cl\mathrm{C}_{l} (l≥1l\geq 1), Dl\mathrm{D}_{l} (l≥2l\geq 2), E6\mathrm{E}_{6}, E7\mathrm{E}_{7}, E8\mathrm{E}_{8}, F4\mathrm{F}_{4}, G2\mathrm{G}_{2}型のルート系とは，被約なルート系であって，対応する型のDynkin図形をもつものをいう．これらは，D2\mathrm{D}_{2}型のルート系を除いては，既約である．

4.3 被約な既約ルート系の構成と分類

本小節では，定理4.13で示した連結Dynkin図形に対応する被約な既約ルート系を，具体的に構成する．以下，𝕂n\mathbb{K}^{n}の標準基底を(ϵ1,…,ϵn)(\epsilon_{1},\dots,\epsilon_{n})と書く．構成は，𝕂n\mathbb{K}^{n}あるいはその部分ベクトル空間上で行い，標準的な対称双線型形式(∑i=1nai⁢ϵi,∑i=1nbi⁢ϵi)↦∑i=1nai⁢bi(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\epsilon_{i},\sum_{i=1}^{n}b_{i}\epsilon_{i})\mapsto\sum_{% i=1}^{n}a_{i}b_{i}がWeyl群𝐖⁢(Δ)\mathbf{W}(\Delta)に関して不変となるようにする．

Al\mathrm{A}_{l}型（l≥1l\geq 1）の既約ルート系

V={∑i=1l+1ti⁢ϵi∈𝕂l+1∣ti∈𝕂, ∑i=1l+1ti=0}V=\{\sum_{i=1}^{l+1}t_{i}\epsilon_{i}\in\mathbb{K}^{l+1}\mid\text{$t_{i}\in% \mathbb{K}$, $\sum_{i=1}^{l+1}t_{i}=0$}\}の部分集合

Δ={±(ϵi−ϵj)∣1≤i<j≤l+1}\Delta=\{\pm(\epsilon_{i}-\epsilon_{j})\mid 1\leq i<j\leq l+1\}

は，l⁢(l+1)l(l+1)個のルートからなるVV上のルート系である．Δ\Deltaは，Al\mathrm{A}_{l}型の既約ルート系である．実際，

Π={α1,…,αl},\displaystyle\Pi=\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{l}\},
αi=ϵi−ϵi+1(1≤i≤l)\displaystyle\alpha_{i}=\epsilon_{i}-\epsilon_{i+1}\qquad(1\leq i\leq l)

はΔ\Deltaの基底であり，対応するDynkin図形は次のとおりである．

α1\alpha_{\mathrlap{1}}α2\alpha_{\mathrlap{2}}αl−1\alpha_{\mathrlap{l-1}}αl\alpha_{\mathrlap{l}}

Bl\mathrm{B}_{l}型（l≥1l\geq 1）の既約ルート系

V=𝕂lV=\mathbb{K}^{l}の部分集合

Δ={±(ϵi±ϵj)∣1≤i<j≤l}∪{±ϵi∣1≤i≤l}\Delta=\{\pm(\epsilon_{i}\pm\epsilon_{j})\mid 1\leq i<j\leq l\}\cup\{\pm% \epsilon_{i}\mid 1\leq i\leq l\}

は，2⁢l22l^{2}個のルートからなるVV上のルート系である．Δ\Deltaは，Bl\mathrm{B}_{l}型の既約ルート系である．実際，

Π={α1,…,αl},\displaystyle\Pi=\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{l}\},
αi=ϵi−ϵi+1(1≤i≤l−1),αl=ϵl\displaystyle\alpha_{i}=\epsilon_{i}-\epsilon_{i+1}\quad(1\leq i\leq l-1),% \qquad\alpha_{l}=\epsilon_{l}

はΔ\Deltaの基底であり，対応するDynkin図形は次のとおりである．

α1\alpha_{\mathrlap{1}}α2\alpha_{\mathrlap{2}}αl−1\alpha_{\mathrlap{l-1}}αl\alpha_{\mathrlap{l}}

Cl\mathrm{C}_{l}型（l≥1l\geq 1）の既約ルート系

V=𝕂lV=\mathbb{K}^{l}の部分集合

Δ={±(ϵi±ϵj)∣1≤i<j≤l}∪{±2⁢ϵi∣1≤i≤l}\Delta=\{\pm(\epsilon_{i}\pm\epsilon_{j})\mid 1\leq i<j\leq l\}\cup\{\pm 2% \epsilon_{i}\mid 1\leq i\leq l\}

は，2⁢l22l^{2}個のルートからなるVV上のルート系である．Δ\Deltaは，Cl\mathrm{C}_{l}型の既約ルート系である．実際，

Π={α1,…,αl},\displaystyle\Pi=\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{l}\},
αi=ϵi−ϵi+1(1≤i≤l−1),αl=2⁢ϵl\displaystyle\alpha_{i}=\epsilon_{i}-\epsilon_{i+1}\quad(1\leq i\leq l-1),% \qquad\alpha_{l}=2\epsilon_{l}

はΔ\Deltaの基底であり，対応するDynkin図形は次のとおりである．

α1\alpha_{\mathrlap{1}}α2\alpha_{\mathrlap{2}}αl−1\alpha_{\mathrlap{l-1}}αl\alpha_{\mathrlap{l}}

Dl\mathrm{D}_{l}型（l≥2l\geq 2）の（既約）ルート系

V=𝕂lV=\mathbb{K}^{l}の部分集合

Δ={±(ϵi±ϵj)∣1≤i<j≤l}\Delta=\{\pm(\epsilon_{i}\pm\epsilon_{j})\mid 1\leq i<j\leq l\}

は，2⁢l⁢(l−1)2l(l-1)個のルートからなるVV上のルート系である．Δ\Deltaは，Dl\mathrm{D}_{l}型の（l≥3l\geq 3ならば既約）ルート系である．実際，

Π={α1,…,αl},\displaystyle\Pi=\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{l}\},
αi=ϵi−ϵi+1(1≤i≤l−1),αl=ϵl−1+ϵl\displaystyle\alpha_{i}=\epsilon_{i}-\epsilon_{i+1}\quad(1\leq i\leq l-1),% \qquad\alpha_{l}=\epsilon_{l-1}+\epsilon_{l}

はΔ\Deltaの基底であり，対応するDynkin図形は次のとおりである．

α1\alpha_{\mathrlap{1}}α2\alpha_{\mathrlap{2}}αl−2\alpha_{\mathrlap{l-2}}αl−1\alpha_{\mathrlap{l-1}}αl\alpha_{\mathrlap{l}}

E6\mathrm{E}_{6}型の既約ルート系

V={∑i=18ti⁢ϵi∈𝕂8∣ti∈𝕂, t6+t8=t7+t8=0}V=\{\sum_{i=1}^{8}t_{i}\epsilon_{i}\in\mathbb{K}^{8}\mid\text{$t_{i}\in\mathbb% {K}$, $t_{6}+t_{8}=t_{7}+t_{8}=0$}\}の部分集合

Δ\displaystyle\Delta ={±(±ϵi+ϵj)∣1≤i<j≤5}\displaystyle=\{\pm(\pm\epsilon_{i}+\epsilon_{j})\mid 1\leq i<j\leq 5\}
∪{±12⁢(∑i=15(−1)ν⁢(i)⁢ϵi−ϵ6−ϵ7+ϵ8)|ν⁢(i)∈{0,1}, ∑i=15ν⁢(i)∈2⁢ℤ}\displaystyle\qquad\cup\left\{\pm\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{5}(-1)^{\nu(i)}% \epsilon_{i}-\epsilon_{6}-\epsilon_{7}+\epsilon_{8}\right)\mathrel{}\middle|% \mathrel{}\text{$\nu(i)\in\{0,1\}$, $\sum_{i=1}^{5}\nu(i)\in 2\mathbb{Z}$}\right\}

は，7272個のルートからなるVV上のルート系である．Δ\Deltaは，E6\mathrm{E}_{6}型の既約ルート系である．実際，

Π={α1,α2,α3,α4,α5,α6},\displaystyle\Pi=\{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5},% \alpha_{6}\},
α1=12⁢(ϵ1−ϵ2−ϵ3−ϵ4−ϵ5−ϵ6−ϵ7+ϵ8),\displaystyle\alpha_{1}=\frac{1}{2}(\epsilon_{1}-\epsilon_{2}-\epsilon_{3}-% \epsilon_{4}-\epsilon_{5}-\epsilon_{6}-\epsilon_{7}+\epsilon_{8}),
α2=ϵ1+ϵ2,α3=ϵ2−ϵ1,α4=ϵ3−ϵ2,α5=ϵ4−ϵ3,α6=ϵ5−ϵ4\displaystyle\alpha_{2}=\epsilon_{1}+\epsilon_{2},\quad\alpha_{3}=\epsilon_{2}% -\epsilon_{1},\quad\alpha_{4}=\epsilon_{3}-\epsilon_{2},\quad\alpha_{5}=% \epsilon_{4}-\epsilon_{3},\quad\alpha_{6}=\epsilon_{5}-\epsilon_{4}

はΔ\Deltaの基底であり，対応するDynkin図形は次のとおりである．

α1\alpha_{\mathrlap{1}}α2\alpha_{\mathrlap{2}}α3\alpha_{\mathrlap{3}}α4\alpha_{\mathrlap{4}}α5\alpha_{\mathrlap{5}}α6\alpha_{\mathrlap{6}}

E7\mathrm{E}_{7}型の既約ルート系

V={∑i=18ti⁢ϵi∈𝕂8∣ti∈𝕂, t7+t8=0}V=\{\sum_{i=1}^{8}t_{i}\epsilon_{i}\in\mathbb{K}^{8}\mid\text{$t_{i}\in\mathbb% {K}$, $t_{7}+t_{8}=0$}\}の部分集合

Δ\displaystyle\Delta ={±(±ϵi+ϵj)∣1≤i<j≤6}∪{±(−ϵ7+ϵ8)}\displaystyle=\{\pm(\pm\epsilon_{i}+\epsilon_{j})\mid 1\leq i<j\leq 6\}\cup\{% \pm(-\epsilon_{7}+\epsilon_{8})\}
∪{±12⁢(∑i=16(−1)ν⁢(i)⁢ϵi−ϵ7+ϵ8)|ν⁢(i)∈{0,1}, ∑i=16ν⁢(i)∈2⁢ℤ+1}\displaystyle\qquad\cup\left\{\pm\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{6}(-1)^{\nu(i)}% \epsilon_{i}-\epsilon_{7}+\epsilon_{8}\right)\mathrel{}\middle|\mathrel{}\text% {$\nu(i)\in\{0,1\}$, $\sum_{i=1}^{6}\nu(i)\in 2\mathbb{Z}+1$}\right\}

は，126126個のルートからなるVV上のルート系である．Δ\Deltaは，E7\mathrm{E}_{7}型の既約ルート系である．実際，

Π={α1,α2,α3,α4,α5,α6,α7},\displaystyle\Pi=\{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5},% \alpha_{6},\alpha_{7}\},
α1=12⁢(ϵ1−ϵ2−ϵ3−ϵ4−ϵ5−ϵ6−ϵ7+ϵ8),\displaystyle\alpha_{1}=\frac{1}{2}(\epsilon_{1}-\epsilon_{2}-\epsilon_{3}-% \epsilon_{4}-\epsilon_{5}-\epsilon_{6}-\epsilon_{7}+\epsilon_{8}),
α2=ϵ1+ϵ2,α3=ϵ2−ϵ1,α4=ϵ3−ϵ2,α5=ϵ4−ϵ3,α6=ϵ5−ϵ4,α7=ϵ6−ϵ5\displaystyle\alpha_{2}=\epsilon_{1}+\epsilon_{2},\quad\alpha_{3}=\epsilon_{2}% -\epsilon_{1},\quad\alpha_{4}=\epsilon_{3}-\epsilon_{2},\quad\alpha_{5}=% \epsilon_{4}-\epsilon_{3},\quad\alpha_{6}=\epsilon_{5}-\epsilon_{4},\quad% \alpha_{7}=\epsilon_{6}-\epsilon_{5}

はΔ\Deltaの基底であり，対応するDynkin図形は次のとおりである．

α1\alpha_{\mathrlap{1}}α2\alpha_{\mathrlap{2}}α3\alpha_{\mathrlap{3}}α4\alpha_{\mathrlap{4}}α5\alpha_{\mathrlap{5}}α6\alpha_{\mathrlap{6}}α7\alpha_{\mathrlap{7}}

E8\mathrm{E}_{8}型の既約ルート系

V=𝕂8V=\mathbb{K}^{8}の部分集合

Δ\displaystyle\Delta ={±(±ϵi+ϵj)∣1≤i<j≤8}\displaystyle=\{\pm(\pm\epsilon_{i}+\epsilon_{j})\mid 1\leq i<j\leq 8\}
∪{±12⁢(∑i=17(−1)ν⁢(i)⁢ϵi+ϵ8)|ν⁢(i)∈{0,1}, ∑i=17ν⁢(i)∈2⁢ℤ}\displaystyle\qquad\cup\left\{\pm\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{7}(-1)^{\nu(i)}% \epsilon_{i}+\epsilon_{8}\right)\mathrel{}\middle|\mathrel{}\text{$\nu(i)\in\{% 0,1\}$, $\sum_{i=1}^{7}\nu(i)\in 2\mathbb{Z}$}\right\}

は，240240個のルートからなるVV上のルート系である．Δ\Deltaは，E8\mathrm{E}_{8}型の既約ルート系である．実際，

Π={α1,α2,α3,α4,α5,α6,α7,α8},\displaystyle\Pi=\{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5},% \alpha_{6},\alpha_{7},\alpha_{8}\},
α1=12⁢(ϵ1−ϵ2−ϵ3−ϵ4−ϵ5−ϵ6−ϵ7+ϵ8),\displaystyle\alpha_{1}=\frac{1}{2}(\epsilon_{1}-\epsilon_{2}-\epsilon_{3}-% \epsilon_{4}-\epsilon_{5}-\epsilon_{6}-\epsilon_{7}+\epsilon_{8}),
α2=ϵ1+ϵ2,α3=ϵ2−ϵ1,α4=ϵ3−ϵ2,α5=ϵ4−ϵ3,\displaystyle\alpha_{2}=\epsilon_{1}+\epsilon_{2},\quad\alpha_{3}=\epsilon_{2}% -\epsilon_{1},\quad\alpha_{4}=\epsilon_{3}-\epsilon_{2},\quad\alpha_{5}=% \epsilon_{4}-\epsilon_{3},
α6=ϵ5−ϵ4,α7=ϵ6−ϵ5,α8=ϵ7−ϵ6\displaystyle\alpha_{6}=\epsilon_{5}-\epsilon_{4},\quad\alpha_{7}=\epsilon_{6}% -\epsilon_{5},\quad\alpha_{8}=\epsilon_{7}-\epsilon_{6}

はΔ\Deltaの基底であり，対応するDynkin図形は次のとおりである．

α1\alpha_{\mathrlap{1}}α2\alpha_{\mathrlap{2}}α3\alpha_{\mathrlap{3}}α4\alpha_{\mathrlap{4}}α5\alpha_{\mathrlap{5}}α6\alpha_{\mathrlap{6}}α7\alpha_{\mathrlap{7}}α8\alpha_{\mathrlap{8}}

F4\mathrm{F}_{4}型の既約ルート系

V=𝕂4V=\mathbb{K}^{4}の部分集合

Δ={±ϵi∣1≤i≤4}∪{±(ϵi±ϵj)∣1≤i<j≤4}∪{±12⁢(ϵ1±ϵ2±ϵ3±ϵ4)}\Delta=\{\pm\epsilon_{i}\mid 1\leq i\leq 4\}\cup\{\pm(\epsilon_{i}\pm\epsilon_% {j})\mid 1\leq i<j\leq 4\}\cup\left\{\pm\frac{1}{2}(\epsilon_{1}\pm\epsilon_{2% }\pm\epsilon_{3}\pm\epsilon_{4})\right\}

は，4848個のルートからなるVV上のルート系である．Δ\Deltaは，F4\mathrm{F}_{4}型の既約ルート系である．実際，

Π={α1,α2,α3,α4},\displaystyle\Pi=\{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}\},
α1=ϵ2−ϵ3,α2=ϵ3−ϵ4,α3=ϵ4,α4=12⁢(ϵ1−ϵ2−ϵ3−ϵ4)\displaystyle\alpha_{1}=\epsilon_{2}-\epsilon_{3},\quad\alpha_{2}=\epsilon_{3}% -\epsilon_{4},\quad\alpha_{3}=\epsilon_{4},\quad\alpha_{4}=\frac{1}{2}(% \epsilon_{1}-\epsilon_{2}-\epsilon_{3}-\epsilon_{4})

はΔ\Deltaの基底であり，対応するDynkin図形は次のとおりである．

α1\alpha_{\mathrlap{1}}α2\alpha_{\mathrlap{2}}α3\alpha_{\mathrlap{3}}α4\alpha_{\mathrlap{4}}

G2\mathrm{G}_{2}型の既約ルート系

V={∑i=13ti⁢ϵi∈𝕂3∣ti∈𝕂, t1+t2+t3=0}V=\{\sum_{i=1}^{3}t_{i}\epsilon_{i}\in\mathbb{K}^{3}\mid\text{$t_{i}\in\mathbb% {K}$, $t_{1}+t_{2}+t_{3}=0$}\}の部分集合

Δ={±(ϵ1−ϵ2),±(−ϵ1+ϵ3),±(−ϵ2+ϵ3),±(−2⁢ϵ1+ϵ2+ϵ3),±(ϵ1−2⁢ϵ2+ϵ3),±(−ϵ1−ϵ2+2⁢ϵ3)}\Delta=\{\pm(\epsilon_{1}-\epsilon_{2}),\pm(-\epsilon_{1}+\epsilon_{3}),\pm(-% \epsilon_{2}+\epsilon_{3}),\pm(-2\epsilon_{1}+\epsilon_{2}+\epsilon_{3}),\pm(% \epsilon_{1}-2\epsilon_{2}+\epsilon_{3}),\pm(-\epsilon_{1}-\epsilon_{2}+2% \epsilon_{3})\}

は，1212個のルートからなるVV上のルート系である．Δ\Deltaは，G2\mathrm{G}_{2}型の既約ルート系である．実際，

Π={α1,α2},\displaystyle\Pi=\{\alpha_{1},\alpha_{2}\},
α1=ϵ1−ϵ2,α2=−2⁢ϵ1+ϵ2+ϵ3\displaystyle\alpha_{1}=\epsilon_{1}-\epsilon_{2},\qquad\alpha_{2}=-2\epsilon_% {1}+\epsilon_{2}+\epsilon_{3}

はΔ\Deltaの基底であり，対応するDynkin図形は次のとおりである．

α1\alpha_{\mathrlap{1}}α2\alpha_{\mathrlap{2}}

4.4 被約でない既約ルート系の構成と分類

Δ\Deltaを被約でない既約ルート系とすると，定理1.36より，次が成り立つ．

  1. (1)

    Δ\Deltaの各ルートの最短ルートに対する長さの比は，11, 2\sqrt{2}, 22のいずれかである．以下，最短ルートに対する長さの比が11, 2\sqrt{2}, 22であるルート全体のなす集合を，それぞれAA, BB, CCと書く．

  2. (2)

    2⁢A=C2A=Cである．

  3. (3)

    AAに属する異なる二つのルートは，直交する．

  4. (4)

    Δ′=A∪B\Delta^{\prime}=A\cup BとΔ′′=B∪C\Delta^{\prime\prime}=B\cup Cは，VV上の被約な既約ルート系である．

長さの比の条件と(3), (4)より，Δ′=A∪B\Delta^{\prime}=A\cup Bは，Bl\mathrm{B}_{l}型（l≥1l\geq 1）の既約ルート系でなければならない．したがって，Δ\Deltaは，線型同型を除いて，𝕂l\mathbb{K}^{l}の部分集合

{±(ϵi±ϵj)∣1≤i<j≤l}∪{±ϵi,±2⁢ϵi∣1≤i≤l}\{\pm(\epsilon_{i}\pm\epsilon_{j})\mid 1\leq i<j\leq l\}\cup\{\pm\epsilon_{i},% \pm 2\epsilon_{i}\mid 1\leq i\leq l\}

と同一視できる．

逆に，Δ\Deltaを上記のV=𝕂lV=\mathbb{K}^{l}の部分集合と定めると，容易に確かめられるように，これはVV上の2⁢l⁢(l+1)2l(l+1)個のルートからなる被約でないルート系である．さらに，割れないルートの全体

Δ′={±(ϵi±ϵj)∣1≤i<j≤l}∪{±ϵi∣1≤i≤l}\Delta^{\prime}=\{\pm(\epsilon_{i}\pm\epsilon_{j})\mid 1\leq i<j\leq l\}\cup\{% \pm\epsilon_{i}\mid 1\leq i\leq l\}

はBl\mathrm{B}_{l}型の既約ルート系だから，Δ\Deltaも既約である（命題1.33 (1)）．なお，Δ′′={α∈Δ∣2⁢α∉Δ}\Delta^{\prime\prime}=\{\alpha\in\Delta\mid 2\alpha\notin\Delta\}（注意1.34）は

Δ′′={±(ϵi±ϵj)∣1≤i<j≤l}∪{±2⁢ϵi∣1≤i≤l}\Delta^{\prime\prime}=\{\pm(\epsilon_{i}\pm\epsilon_{j})\mid 1\leq i<j\leq l\}% \cup\{\pm 2\epsilon_{i}\mid 1\leq i\leq l\}

となり，これはCl\mathrm{C}_{l}型の既約ルート系である．

以上より，各整数l≥1l\geq 1に対して，階数llの被約でない既約ルート系が同型を除いて一意に存在する．これを，BCl\mathrm{BC}_{l}型のルート系という．