1 ルート系

$\sigma$と$\tau$の共通の固有値$-1$の固有空間を，$W$と置く．$v\in V$とすると，$\sigma(v)-v$, $\tau(v)-v\in W$より$\sigma\tau(v)-v=\sigma(\tau(v)-\sigma(v))=\sigma((\tau(v)-v)-(\sigma(v)-v))\in W$であり，$\sigma\tau$は$W$上では恒等写像だから，任意の$n\in\mathbb{N}$に対して

	$\displaystyle(\sigma\tau)^{n}(v)-v$	$\displaystyle=\sum_{i=0}^{n-1}((\sigma\tau)^{i+1}(v)-(\sigma\tau)^{i}(v))$
		$\displaystyle=\sum_{i=0}^{n-1}(\sigma\tau)^{i}(\sigma\tau(v)-v)$
		$\displaystyle=n(\sigma\tau(v)-v)$

が成り立つ．一方で，$G=\{T\in\mathit{GL}(V)\mid T(\Delta)=\Delta\}$は$\mathit{GL}(V)$の有限部分群であり，仮定より$\sigma\tau\in G$だから，$\sigma\tau$の位数は有限である．そのためには，$\sigma\tau(v)-v=0$でなければならない．よって，$\sigma=\tau$である．∎

$v$を$s$の鏡映面上の点とすると

$$\langle\alpha,v\rangle=\langle\alpha,s(v)\rangle=\langle s(\alpha),v\rangle=-\langle\alpha,v\rangle$$

より$\langle\alpha,v\rangle=0$であり，$\langle\blank,\blank\rangle$に関する$\mathbb{K}\alpha$の直交空間$(\mathbb{K}\alpha)^{\perp}$は$\dim V-1$次元だから，$s$の鏡映面は$(\mathbb{K}\alpha)^{\perp}$に等しい．$\alpha$は$s$の鏡映面上にはないから，$\langle\alpha,\alpha\rangle\neq 0$である．$s_{\alpha,f}$は，$\alpha$を$-\alpha$に移し$(\mathbb{K}\alpha)^{\perp}$の点は動かさないから，$s$に一致する．∎

任意の$g\in V^{*}$と$v\in V$に対して

	$\displaystyle s_{\alpha,f}^{*}(g)(v)$	$\displaystyle=g(s_{\alpha,f}(v))$
		$\displaystyle=g(v-f(v)\alpha)$
		$\displaystyle=g(v)-f(v)g(\alpha)$
		$\displaystyle=(g-g(\alpha)f)(v)$
		$\displaystyle=s_{f,\alpha}(g)(v)$

だから，$s_{\alpha,f}^{*}=s_{f,\alpha}$である．∎

$V_{\mathbb{Q}}$と$\Delta$が(RS1)と(RS4)を満たすことは明らかである．また，$\alpha\in\Delta$とすると，$V$と$\Delta$が(RS3)を満たすことより$\alpha^{\vee}(V_{\mathbb{Q}})\subseteq\mathbb{Q}$だから，$\alpha^{\vee}|_{V_{\mathbb{Q}}}\in(V_{\mathbb{Q}})^{*}$であり，$s_{\alpha}|_{V_{\mathbb{Q}}}$は$V_{\mathbb{Q}}$上の鏡映$s_{\alpha,\alpha^{\vee}|_{V_{\mathbb{Q}}}}$である．この鏡映は，明らかに(RS2)と(RS3)の条件を満たす．よって，$\Delta$は$V_{\mathbb{Q}}$上のルート系である．

包含写像$V_{\mathbb{Q}}\to V$が誘導する（$\mathbb{K}$上の）線型写像$i\colon V_{\mathbb{Q}}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{K}\to V$が同型であることを示す．まず，$V=\operatorname{span}_{\mathbb{K}}\Delta$だから，$i$は全射である．次に，$i$が単射であることを示す．そのためには，$i$の双対線型写像

$$i^{*}\colon V^{*}\to(V_{\mathbb{Q}}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{K})^{*}\cong(V_{\mathbb{Q}})^{*}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{K}$$

が全射であることをいえばよい．各$\alpha\in\Delta$に対して

$$i^{*}(\alpha^{\vee})=\alpha^{\vee}|_{V_{\mathbb{Q}}}\otimes 1$$

だから，$(V_{\mathbb{Q}})^{*}=\operatorname{span}_{\mathbb{Q}}\{\alpha^{\vee}|_{V_{\mathbb{Q}}}\mid\alpha\in\Delta\}$をいえばよい．以下，これを示す．$V_{\mathbb{Q}}$上の$\mathbf{W}(\Delta)$不変な非退化対称双線型形式$\langle\blank,\blank\rangle$を一つ固定すると（任意にとった$V_{\mathbb{Q}}$上の内積を$\mathbf{W}(\Delta)$の作用に関して平均すればよい），$\alpha\in\Delta$に対して命題1.3より$\langle\alpha,\alpha\rangle\neq 0$かつ

$$\alpha^{\vee}|_{V_{\mathbb{Q}}}=\frac{2\langle\blank,\alpha\rangle}{\langle\alpha,\alpha\rangle}$$

であり，これは$\langle\blank,\blank\rangle$が定める有理線型同型$V_{\mathbb{Q}}\cong(V_{\mathbb{Q}})^{*}$を通して$2\alpha/\langle\alpha,\alpha\rangle\in V_{\mathbb{Q}}$に対応する．$\alpha\in\Delta$が動くときこれら全体は$V_{\mathbb{Q}}$を張るから，$\alpha^{\vee}|_{V_{\mathbb{Q}}}$の全体は$(V_{\mathbb{Q}})^{*}$を張る．これで，主張が示された．∎

(1) $\mathbb{K}$が$\mathbb{R}$の部分体である場合，任意に固定した$V$上の内積を$\operatorname{Aut}(\Delta)$の作用に関して平均すれば，$V$上の$\operatorname{Aut}(\Delta)$不変な内積が得られる．$\mathbb{K}$が一般の場合，$V_{\mathbb{Q}}$上の$\operatorname{Aut}(\Delta)$不変な内積を一つとって係数拡大すれば，条件を満たす$V$上の非退化対称双線型形式が得られる．

(2) ルート鏡映$s_{\alpha}=s_{\alpha,\alpha^{\vee}}$は$\langle\blank,\blank\rangle$を不変にし，$\alpha$を$-\alpha$に移すから，命題1.3より$\langle\alpha,\alpha\rangle\neq 0$かつ$\alpha^{\vee}=2\langle\blank,\alpha\rangle/\langle\alpha,\alpha\rangle$である．また，これより，$n(\beta,\alpha)=\alpha^{\vee}(\beta)=2\langle\beta,\alpha\rangle/\langle\alpha,\alpha\rangle$である． ∎

系1.8 (2)より，$\operatorname{span}_{\mathbb{K}}\{\alpha^{\vee}\mid\alpha\in\Delta\}=V^{*}$である．よって，任意の$\alpha\in\Delta$に対して$s_{\alpha}(v)=v$，すなわち$\alpha^{\vee}(v)=0$であるとすると，$v=0$である．∎

(1), (2) $\Delta^{\prime}$が(RS1)を満たすことと，$\Delta$が(RS4)を満たすならば$\Delta^{\prime}$もそうであることは明らかである．$\alpha\in\Delta^{\prime}$とすると，任意の$v\in V^{\prime}$に対して$s^{\Delta}_{\alpha}(v)=v-\alpha_{\Delta}^{\vee}(v)\alpha\in V^{\prime}$だから，$V^{\prime}$は$s^{\Delta}_{\alpha}$安定である．したがって，制限$s^{\Delta}_{\alpha}|_{V^{\prime}}$は$V^{\prime}$上の鏡映となる．この鏡映は，明らかに(RS2), (RS3)の条件を満たす．よって，$\Delta^{\prime}$は$V^{\prime}$上のルート系であり，(2)が成り立つ．

(3) (2)より$s^{\Delta^{\prime}}_{\alpha}=s^{\Delta}_{\alpha}|_{V^{\prime}}=s_{\alpha,\alpha_{\Delta}^{\vee}|_{V^{\prime}}}$だから，$\alpha_{\Delta^{\prime}}^{\vee}=\alpha_{\Delta}^{\vee}|_{V^{\prime}}$である．

(4) $V$上の$\mathbf{W}(\Delta)$不変な非退化対称双線型形式$\langle\blank,\blank\rangle$の$V^{\prime}$への制限が$\mathbf{W}(\Delta^{\prime})$不変であることは，(2)から明らかである．次に，$v\in V^{\prime}$が任意の$w\in V^{\prime}$に対して$\langle v,w\rangle=0$を満たすとする．すると，任意の$\alpha\in\Delta^{\prime}$に対して

$$s^{\Delta^{\prime}}_{\alpha}(v)=s^{\Delta}_{\alpha}(v)=v-\frac{2\langle v,\alpha\rangle}{\langle\alpha,\alpha\rangle}\alpha=v$$

だから（系1.8），系1.9より$v=0$である．よって，$\langle\blank,\blank\rangle$は$V^{\prime}$上で非退化である．

(5) 条件を満たす$\iota$の一意性は，$s^{\Delta^{\prime}}_{\alpha}$の全体が$\mathbf{W}(\Delta^{\prime})$を生成することから明らかである．条件を満たす$\iota$の存在を示す．$V$上の$\mathbf{W}(\Delta)$不変な非退化対称双線型形式$\langle\blank,\blank\rangle$を一つ固定する．(4)で示したように，$\langle\blank,\blank\rangle$は$V^{\prime}$上で非退化だから，これに関する$V^{\prime}$の直交空間$V^{\prime}{}^{\perp}$は，$V^{\prime}$の$V$における補空間である．したがって，単射群準同型$\iota\colon\mathit{GL}(V^{\prime})\to\mathit{GL}(V)$を，$\iota(T)=T\oplus\mathrm{id}_{V^{\prime}{}^{\perp}}$と定義できる．この$\iota$は，明らかに，各$\alpha\in\Delta^{\prime}$に対して$s^{\Delta^{\prime}}_{\alpha}$を$s^{\Delta}_{\alpha}$に移し，したがって，$\mathbf{W}(\Delta^{\prime})$を$\mathbf{W}(\Delta)$の中に移す． ∎

$ts_{\alpha}t^{-1}$は$t(\alpha)$を$-t(\alpha)$に移し$\Delta$を安定にする鏡映だから，ルート鏡映の一意性より，$ts_{\alpha}t^{-1}=s_{t(\alpha)}$である．また，任意の$v\in V$に対して

	$\displaystyle s_{t(\alpha)}(v)=ts_{\alpha}t^{-1}(v)$	$\displaystyle=t(t^{-1}(v)-\alpha^{\vee}(t^{-1}(v))\alpha)$
		$\displaystyle=v-\alpha^{\vee}(t^{-1}(v))t(\alpha)$
		$\displaystyle=v-t^{*-1}(\alpha^{\vee})(v)t(\alpha)$
		$\displaystyle=s_{t(\alpha),t^{*-1}(\alpha^{\vee})}(v)$

だから，$t(\alpha)^{\vee}=t^{*-1}(\alpha^{\vee})$である．∎

(1), (2), (3) 系1.8 (2)より，$\Delta^{\vee}$は(RS1)を満たし，$\Delta$が(RS4)を満たすことと$\Delta^{\vee}$が(RS4)を満たすこととは同値である．各$\alpha^{\vee}\in\Delta^{\vee}$に対して，$\alpha^{\vee}(\alpha)=2$だから

$$s_{\alpha^{\vee}}=s_{\alpha^{\vee},\alpha}\colon V^{*}\to V^{*},\quad f\mapsto f-f(\alpha)\alpha^{\vee}$$

は$V^{*}$上の鏡映であり，$s_{\alpha^{\vee}}=s_{\alpha}^{*}=s_{\alpha}^{*-1}$である（命題1.4）．$\beta^{\vee}\in\Delta^{\vee}$に対して

$$s_{\alpha^{\vee}}(\beta^{\vee})=s_{\alpha}^{*-1}(\beta^{\vee})=s_{\alpha}(\beta)^{\vee}\in\Delta^{\vee}$$

だから（最後の等号で補題1.12を用いた），$s_{\alpha^{\vee}}$は(RS2)の条件を満たす．また，このとき$\alpha^{\vee\vee}=\alpha$であり，任意の$\alpha^{\vee}$, $\beta^{\vee}\in\Delta^{\vee}$に対して$\alpha^{\vee\vee}(\beta^{\vee})=\beta^{\vee}(\alpha)\in\mathbb{Z}$だから，(RS3)も満たされる．よって，$\Delta^{\vee}$は$V^{*}$上のルート系であり，(2), (3)が成り立つ．

(4) 補題1.12より，$t\in\operatorname{Aut}(\Delta)$ならば$t^{*-1}\in\operatorname{Aut}(\Delta^{\vee})$であり，(3)よりその逆も成り立つ．よって，群同型$t\mapsto t^{*-1}$は，$\operatorname{Aut}(\Delta)$から$\operatorname{Aut}(\Delta^{\vee})$への群同型を与える．また，(2)よりこの群同型は$s_{\alpha}$を$s_{\alpha^{\vee}}$に移すから，$\mathbf{W}(\Delta)$から$\mathbf{W}(\Delta^{\vee})$への群同型も与える． ∎

明らかである．∎

$\text{(a)}\Longrightarrow\text{(b)}$ 明らかである．

$\text{(b)}\Longrightarrow\text{(a)}$ $\sum_{i\in I}V_{i}$が直和ならば，各$i\in I$に対して$\Delta_{i}=\Delta\cap V_{i}$だから$\Delta_{i}$は$V_{i}$上のルート系であり（命題1.10），したがって$(\Delta_{i})_{i\in I}$はルート系$\Delta$の直和分解である．

$\text{(a)}\Longrightarrow\text{(c)}$ ルート系の直和におけるルート鏡映の式から従う．

$\text{(c)}\Longrightarrow\text{(b)}$ 一般性を失わず，$\mathbb{K}=\mathbb{R}$であり，$V$に$\mathbf{W}(\Delta)$不変な内積$\langle\blank,\blank\rangle$が定まっていると仮定する（命題1.7，系1.8）．このとき，(c)が成り立つとすると，どの異なる二つの$\Delta_{i}$も内積に関して直交するから，$(V_{i})_{i\in I}$は内積空間$V$における直交族であり，したがって，$\sum_{i\in I}V_{i}$は直和である． ∎

$\Delta$をルート系とする．$\Delta$が可約である限り$\Delta$は二つの空でないルート系$\Delta^{\prime}$と$\Delta^{\prime\prime}$の直和に分解でき，$\Delta^{\prime}$, $\Delta^{\prime\prime}$に対しても同じことがいえる．$\Delta$は有限集合だから，この操作は有限回で終了する．よって，$\Delta$の既約分解は存在する．

$(\Delta_{i})_{i\in I}$と$(\Delta^{\prime}_{j})_{j\in J}$がともに$\Delta$の既約分解であるとする．各$i\in I$と$j\in J$に対して，$\{\Delta_{i}\cap\Delta^{\prime}_{j},\Delta_{i}\setminus\Delta^{\prime}_{j}\}$は$\Delta_{i}$の直和分解だから，$\Delta_{i}$の既約性より$\Delta_{i}\cap\Delta^{\prime}_{j}=\Delta_{i}$または$\Delta_{i}\setminus\Delta^{\prime}_{j}=\Delta_{i}$，すなわち$\Delta_{i}\supseteq\Delta^{\prime}_{j}$または$\Delta_{i}\cap\Delta^{\prime}_{j}=\emptyset$である．$\Delta_{i}$と$\Delta^{\prime}_{j}$を逆にしても同じことがいえるから，結局$\Delta_{i}=\Delta^{\prime}_{j}$または$\Delta_{i}\cap\Delta^{\prime}_{j}=\emptyset$である．これが任意の$i\in I$と$j\in J$に対して成り立つから，$(\Delta_{i})_{i\in I}$と$(\Delta^{\prime}_{j})_{j\in J}$は順序を除いて一致する．よって，$\Delta$の既約分解は順序を除いて一意である．∎

$\Delta$が空（したがって，$V=0$）ならば，どちらの条件も成り立たない．以下，$\Delta$が空でない（したがって，$V\neq 0$である）場合を考える．

$\text{(a)}\Longrightarrow\text{(b)}$ $0$と$V$以外の$\mathbf{W}(\Delta)$安定な部分ベクトル空間$V_{1}$がとれたとする．$\beta\in\Delta\setminus V_{1}$とすると，$V_{1}$は$s_{\beta}$安定だから，任意の$v\in V_{1}$に対して$s_{\beta}(v)=v-\beta^{\vee}(v)\beta$は$V_{1}$に属する．ところが，$v\in V_{1}$かつ$\alpha\notin V$だから，そのためには$\beta^{\vee}(v)=0$でなければならない．したがって，$\beta^{\vee}$は$V_{1}$上で$0$となる．特に，任意の$\alpha\in\Delta\cap V_{1}$に対して$n(\alpha,\beta)=\beta^{\vee}(\alpha)=0$である．よって，$\Delta\cap V_{1}$と$\Delta\setminus V_{1}$は直交する．

$V_{1}\neq V$かつ$\operatorname{span}_{\mathbb{K}}\Delta=V$だから，$\Delta$は$V_{1}$に含まれない．すなわち，$\Delta\setminus V_{1}$は空でない．また，$\Delta\cap V_{1}$が空であるとすると，前段の議論よりすべての$\alpha^{\vee}$（$\alpha\in\Delta$）が$V_{1}$上で$0$であることになるが，これは$V_{1}\neq 0$に反する（系1.8 (2)）．よって，$\Delta\cap V_{1}$は空でない．以上より，$\Delta$は可約である．対偶をとれば，主張が従う．

$\text{(b)}\Longrightarrow\text{(a)}$ $\Delta$が$V_{1}$上の空でないルート系$\Delta_{1}$と$V_{2}$上の空でないルート系$\Delta_{2}$に直和分解されるとすると，命題1.15より，$V_{1}$と$V_{2}$は$\mathbf{W}(\Delta)$安定である．対偶をとれば，主張が従う． ∎

$V$上の$\mathbf{W}(\Delta)$不変な双線型形式は，$\mathbf{W}(\Delta)$の自然表現からその反傾表現への同変作用素と同一視できる．よって，主張は，命題1.20とSchurの補題から従う．∎

一般性を失わず，$\mathbb{K}=\mathbb{R}$であり，$V$に$\mathbf{W}(\Delta)$不変な内積$\langle\blank,\blank\rangle$が定まっていると仮定する（命題1.7，系1.8）．

$n(\alpha,\beta)=2\langle\alpha,\beta\rangle/\langle\beta,\beta\rangle$かつ$n(\beta,\alpha)=2\langle\beta,\alpha\rangle/\langle\alpha,\alpha\rangle$だから（系1.8 (2)），

$$n(\alpha,\beta)n(\beta,\alpha)=\frac{4\langle\alpha,\beta\rangle^{2}}{\lVert\alpha\rVert^{2}\lVert\beta\rVert^{2}}=4(\cos\angle(\alpha,\beta))^{2}\leq 4$$

である．また，$n(\alpha,\beta)=0$と$n(\beta,\alpha)=0$とは同値であり，$n(\alpha,\beta)$, $n(\beta,\alpha)\neq 0$ならば

$$\frac{n(\beta,\alpha)}{n(\alpha,\beta)}=\frac{\lVert\beta\rVert^{2}}{\lVert\alpha\rVert^{2}}$$

である．よって，$n(\alpha,\beta)$と$n(\beta,\alpha)$の値の組としてありうるものは，表に挙げたもので尽くされる．

(x)–(xi^′)の場合，$\beta$は$\pm 2\alpha$または$\pm\alpha/2$となり被約性の条件(RS4)に反するから，$\Delta$が被約ならば，ありうるものは(i)–(ix)に限られる．∎