4 コンパクトLie群の表現 | コンパクトLie群

本節を通して，群の表現は，複素ベクトル空間上のものとする．

4.1 ウェイト

$G$ をLie群とし， $\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$ と置く． $(\pi,V)$ を $G$ の有限次元連続表現とすると，その微分 $\operatorname{Lie}(\pi)$ は， $V$ に $\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}$ 加群の構造を定める．以下，特に断らなくても，この方法で $V$ を $\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}$ 加群とみなす．

定義4.1 (ウェイト)

$G$ をコンパクトなLie代数をもつ連結Lie群， $T$ をそのCartan部分群とし， $\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$ ， $\mathfrak{t}=\operatorname{Lie}(T)$ と置く． $(\pi,V)$ を $G$ の有限次元連続表現とする． $\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}$ 加群 $V$ の $\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}$ に関するウェイト，ウェイトベクトル，ウェイト空間を，それぞれ， $\pi$ の $T$ に関するウェイト（weight），ウェイトベクトル（weight vector），ウェイト空間（weight space）という．ウェイトの重複度（multiplicity）についても，同様に定める．

命題4.2

$G$ をコンパクトなLie代数をもつ連結Lie群， $T$ をそのCartan部分群とし， $\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$ ， $\mathfrak{t}=\operatorname{Lie}(T)$ と置く． $(\pi,V)$ を $G$ の有限次元連続表現とする．

(1)

$\pi$ の $T$ に関する任意のウェイトは， $X_{\mathbb{C}}(T)$ に属する．
(2)

さらに， $V$ が内積空間であり， $\pi$ がユニタリ連続表現であるとする．このとき， $\pi$ の $T$ に関する任意のウェイトは， $X(T)$ に属する．

このとき， $\pi$ の $T$ に関する任意のウェイトは， $T$ に関して積分可能である．

証明

(1) $\lambda\in(\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})^{*}$ を $\pi$ の $T$ に関するウェイトとし，対応するウェイトベクトル $v\in V\setminus\{0\}$ を一つ固定する．任意の $h\in\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}$ に対して $\operatorname{Lie}(\pi)(h)v=\lambda(h)v$ だから， $\pi|_{T}$ は $\mathbb{C}v$ 上の $1$ 次元部分表現を定め，これが $\lambda|_{\mathfrak{t}}$ の持ち上げとなる．よって， $\lambda\in X_{\mathbb{C}}(T)$ である．

(2) (1)の記号を用いる． $\pi$ がユニタリ連続表現ならば， $\pi|_{T}$ が定める $\mathbb{C}v$ 上の $1$ 次元部分表現もユニタリである．よって， $\lambda\in X(T)$ である． ∎

定義4.3 (ウェイト表現)

$G$ をコンパクトなLie代数をもつ連結Lie群とし， $T$ をそのCartan部分群とする． $G$ の有限次元連続表現 $(\pi,V)$ は， $V$ が $T$ に関するウェイト空間の直和に分解されるとき， $T$ に関するウェイト表現（weight representation）であるという．

すなわち， $G$ の有限次元連続表現 $(\pi,V)$ が $T$ に関するウェイト表現であるとは， $\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}$ 加群 $V$ が $\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}$ に関するウェイト加群であるということである．

命題4.4

$G$ をコンパクトなLie代数をもつ連結Lie群， $T$ をそのCartan部分群とし， $\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$ ， $\mathfrak{t}=\operatorname{Lie}(T)$ と置く． $V$ をウェイト $\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}$ 加群とする．

(1)

$\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}$ 加群 $V$ が $G$ の連続表現に持ち上がるための必要十分条件は， $V$ の $\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}$ に関するすべてのウェイトが $X_{\mathbb{C}}(T)$ に属することである．
(2)

$\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}$ 加群 $V$ が $G$ のユニタリ化可能な連続表現に持ち上がるための必要十分条件は， $V$ の $\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}$ に関するすべてのウェイトが $X(T)$ に属することである．

証明

(1) 命題3.17より， $\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}$ 加群 $V$ が $G$ の連続表現に持ち上がることは， $\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}$ 加群 $V$ が $T$ の連続表現に持ち上がることと同値である． $V$ はウェイト空間の直和に分解されるから，この条件は，各ウェイト空間が $T$ の連続表現に持ち上がることと同値である．すなわち， $V$ の $\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}$ に関するすべてのウェイトが $X_{\mathbb{C}}(T)$ に属することと同値である．

(2) 命題3.17より， $\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}$ 加群 $V$ が $G$ のユニタリ化可能な連続表現に持ち上がることは， $\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}$ 加群 $V$ が $T$ のユニタリ化可能な連続表現に持ち上がることと同値である． $V$ はウェイト空間の直和に分解されるから，この条件は，各ウェイト空間が $T$ のユニタリ化可能な連続表現に持ち上がることと同値である．すなわち， $V$ の $\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}$ に関するすべてのウェイトが $X(T)$ に属することと同値である． ∎

4.2 最高ウェイト表現

定義4.5 (極大ベクトル)

$G$ をコンパクトなLie代数をもつ連結Lie群， $T$ をそのCartan部分群とし， $\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$ ， $\mathfrak{t}=\operatorname{Lie}(T)$ と置く． $\Pi$ をルート系 $\Delta(\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})},\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})$ の基底とする． $(\pi,V)$ を $G$ の有限次元連続表現とする． $\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}$ 加群 $V$ の $\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}$ と $\Pi$ に関する極大ベクトルと極大生成ベクトルを，それぞれ， $\pi$ の $T$ と $\Pi$ に関する極大ベクトル（maximal vector）と極大生成ベクトル（maximal generating vector）という．

定義4.6 (最高ウェイト表現)

$G$ をコンパクトなLie代数をもつ連結Lie群， $T$ をそのCartan部分群とし， $\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$ ， $\mathfrak{t}=\operatorname{Lie}(T)$ と置く． $\Pi$ をルート系 $\Delta(\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})},\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})$ の基底とする． $(\pi,V)$ を $G$ の有限次元連続表現とする． $\pi$ が $T$ と $\Pi$ に関するウェイト $\lambda\in(\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})^{*}$ の極大生成ベクトルをもつとき， $\pi$ は $T$ と $\Pi$ に関する最高ウェイト $\lambda$ の最高ウェイト表現（highest weight representation of highest weight $\lambda$ ）であるという．

すなわち， $G$ の有限次元連続表現 $(\pi,V)$ が $T$ と $\Pi$ に関する最高ウェイト $\lambda$ の最高ウェイト表現であるとは， $\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}$ 加群 $V$ が $\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}$ と $\Pi$ に関する最高ウェイト $\lambda$ の最高ウェイト表現であるということである．

4.3 最高ウェイト理論

$\mathfrak{g}$ をコンパクトLie代数， $\mathfrak{t}$ をそのCartan部分代数とし， $\Delta=\Delta(\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})},\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})$ と置く． $\Pi$ をルート系 $\Delta$ の基底とする．このとき， $(\Delta,\Pi)$ に関する優整ベクトル全体のなす加法群を， $P_{++,\mathbb{C}}(\Delta,\Pi)$ と書く．すなわち，

P_{++,\mathbb{C}}(\Delta,\Pi)=\{\lambda\in(\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})^{*}% \mid\text{任意の$\alpha\in\Pi$に対して$\lambda(H_{\alpha})\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$}\}

とする．次の定理では，この記号を用いる．

定理4.7 (最高ウェイト理論)

$G$ をコンパクトなLie代数をもつ連結Lie群， $T$ をそのCartan部分群とし， $\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$ ， $\mathfrak{t}=\operatorname{Lie}(T)$ ， $\Delta=\Delta(\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})},\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})$ と置く． $\Pi$ をルート系 $\Delta$ の基底とする．

(1)

任意の $\lambda\in P_{++,\mathbb{C}}(\Delta,\Pi)\cap X_{\mathbb{C}}(T)$ に対して，最高ウェイト $\lambda$ をもつ $G$ の有限次元既約連続表現 $(\pi_{\lambda},V_{\lambda})$ が，同型を除いて一意に存在する．さらに， $G$ の有限次元既約連続表現は，これらで同型を除いて尽くされる．
(2)

(1)の $(\pi_{\lambda},V_{\lambda})$ がユニタリ化可能であるための必要十分条件は， $\lambda\in P_{++,\mathbb{C}}(\Delta,\Pi)\cap X(T)$ である．

証明

分裂簡約Lie代数に対する最高ウェイト理論より，任意の $\lambda\in P_{++,\mathbb{C}}(\Delta,\Pi)$ に対して最高ウェイト $\lambda$ をもつ有限次元既約 $\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}$ 加群 $V_{\lambda}$ が同型を除いて一意に存在し，有限次元既約 $\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}$ 加群はこれらで同型を除いて尽くされる．さらに，命題4.4より，

	$V_{\lambda}$ が $G$ の連続表現に持ち上がる
	$\displaystyle\iff\text{$V_{\lambda}$の$\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}$に関するすべてのウェイト% が$X_{\mathbb{C}}(T)$に属する}$
	$\displaystyle\iff\lambda\in X_{\mathbb{C}}(T),$
	$V_{\lambda}$ が $G$ のユニタリ化可能な連続表現に持ち上がる
	$\displaystyle\iff\text{$V_{\lambda}$の$\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}$に関するすべてのウェイト% が$X(T)$に属する}$
	$\displaystyle\iff\lambda\in X(T)$

である．ここで，それぞれの最後の同値性は， $V_{\lambda}$ のウェイト全体の集合が $\lambda$ を含み $\lambda-\mathbb{Z}_{\geq 0}\Pi$ に含まれること（参照）と $\mathbb{Z}_{\geq 0}\Pi\subseteq Q(\Delta)\subseteq X(T)\subseteq X_{\mathbb{C}% }(T)$ （命題2.24）から従う．よって，主張が成り立つ．∎