2 極大トーラス

(1) 指数写像$\exp_{T}$は，点$0\in\mathfrak{t}$において局所微分同相であり，$T$が可換であることより準同型である．したがって，$\exp_{T}$はLie群の被覆準同型であり，その核$\operatorname{Ker}(\exp_{T})$は$\mathfrak{t}$の離散部分群である．さらに，$\mathfrak{t}$は単連結であり$T$は連結だから，$(\mathfrak{t},\exp_{T})$は$T$の普遍被覆Lie群である．

(2) (1)より$\operatorname{Ker}(\exp_{T})$は$\mathfrak{t}$の離散部分群であり，$\mathfrak{t}/\mathord{\operatorname{Ker}(\exp_{T})}\cong T$はコンパクトだから，$\operatorname{Ker}(\exp_{T})$は$\mathfrak{t}$上の格子である． ∎

$\text{(a)}\Longleftrightarrow\text{(b)}$ $G$の連結可換部分Lie群の閉包はまた連結可換部分Lie群だから（閉部分群定理を用いた），$T$が連結可換部分Lie群の中で極大ならば$T$は閉である．よって，$T$が$G$の連結閉可換部分Lie群の中で極大であることと，連結可換部分Lie群の中で極大であることとは同値である．

$\text{(b)}\Longleftrightarrow\text{(c)}$ $G$の連結可換部分Lie群と$\mathfrak{g}$の可換部分空間とは，Lie代数をとる操作によって一対一に対応し，この対応は包含関係を保つ．よって，$T$が$G$の連結可換部分Lie群の中で極大であることと，$\mathfrak{t}$が$\mathfrak{g}$の極大可換部分空間であることとは同値である．

$\text{(c)}\Longleftrightarrow\text{(d)}$ 系1.6ですでに示した． ∎

コンパクトLie代数$\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$は，$\operatorname{Ad}(G)$の下の共役を除いて一意なCartan部分代数をもつ（定理1.10，注意1.11）．よって，主張は，命題2.2の条件(d)から従う．∎

$\operatorname{Lie}(S)$は$\operatorname{Lie}(G)$の可換部分Lie代数だから，それを含む極大可換部分空間$\mathfrak{t}\subseteq\operatorname{Lie}(G)$がとれる．$G$の連結部分Lie群であって$\mathfrak{t}$をLie代数にもつものを$T$と置くと，$T$は$G$のCartan部分群であり（命題2.2の条件(c)），$S$を含む．∎

$g\in G$を任意にとる．$T$と$gTg^{-1}$はともに$G_{0}$の連結Cartan部分群だから，連結Cartan部分群の共役性（命題2.4）より，ある$g_{0}\in G_{0}$が存在して$g_{0}gTg^{-1}g_{0}^{-1}=T$となる．このとき，$g_{0}g\in\mathbf{N}_{G}(T)$だから，$g=g_{0}^{-1}(g_{0}g)\in G_{0}\mathbf{N}_{G}(T)$である．よって，$G=G_{0}\mathbf{N}_{G}(T)$であり，逆元をとる写像を考えれば，$G=\mathbf{N}_{G}(T)G_{0}$も得られる．∎

$\operatorname{Ad}_{\mathfrak{g}}(G)$はコンパクトだから，$\mathfrak{g}$上の$\operatorname{Ad}_{\mathfrak{g}}(G)$不変な内積がとれる．$\operatorname{Ad}_{\mathfrak{g}}(G)$の任意の元は，この内積に関する直交変換だから，半単純である．∎

$\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$と置く．$\phi$の点$(e,t)$における微分$d\phi_{(e,t)}\colon\mathfrak{g}\times t\mathfrak{g}\to t\mathfrak{g}$は

	$\displaystyle d\phi_{(e,t)}(x,0)=\frac{d}{{dr}}|_{r=0}e^{rx}te^{-rx}=\frac{d}{{dr}}|_{r=0}te^{r\operatorname{Ad}_{\mathfrak{g}}(t^{-1})x}e^{-rx}=t(\operatorname{Ad}_{\mathfrak{g}}(t^{-1})x-x),$
	$\displaystyle d\phi_{(e,t)}(0,ty)=\frac{d}{{dr}}|_{r=0}te^{ty}=ty$

で与えられるから，

$$d\phi_{(e,t)}(\mathfrak{g}\times t\mathbf{Z}_{\mathfrak{g}}(t))=t((\operatorname{Ad}_{\mathfrak{g}}(t^{-1})-\mathrm{id}_{\mathfrak{g}})(\mathfrak{g})+\mathbf{Z}_{\mathfrak{g}}(t))$$

である．ここで，$\operatorname{Ad}_{\mathfrak{g}}(t^{-1})$は半単純だから（補題2.9），$\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}$は$\operatorname{Ad}_{\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}}(t^{-1})$の固有空間に直和分解される．$(\operatorname{Ad}_{\mathfrak{g}}(t^{-1})-\mathrm{id}_{\mathfrak{g}})(\mathfrak{g})$の複素化は$1$以外の固有値の固有空間の直和に等しく，$\mathbf{Z}_{\mathfrak{g}}(t)$の複素化は固有値$1$の固有空間に等しいから，これらの和は$\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}$全体となる．したがって，$(\operatorname{Ad}_{\mathfrak{g}}(t^{-1})-\mathrm{id}_{\mathfrak{g}})(\mathfrak{g})+\mathbf{Z}_{\mathfrak{g}}(t)=\mathfrak{g}$である．よって，$d\phi_{(e,t)}(\mathfrak{g}\times t\mathbf{Z}_{\mathfrak{g}}(t))=t\mathfrak{g}$だから，$\phi(G\times t\mathbf{Z}_{G}(t)_{0})$は$t$の近傍である．∎

写像$\phi\colon G\times G\to G$を，$\phi(g,t)=gtg^{-1}$と定める．$G$と$T$はコンパクトだから，$\phi(G\times T)$はコンパクトであり，したがって，$G$において閉である．あとは，$\phi(G\times T)$が$G$において開であることを示せば，$\phi(G\times T)=G$であることがわかる．$\phi(G\times T)$は$G$の共役による作用に関して安定だから，$\phi(G\times T)$が$G$において開であることを示すためには，$\phi(G\times T)$が任意の点$t\in T$の近傍であることを示せば十分である．このことを，$G$の次元に関する帰納法で示す．$\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$と置く．

まず，$t\in\mathbf{Z}(G)$である場合を考える．任意の$x\in\mathfrak{g}$は$\mathfrak{g}$のある極大可換部分空間$\mathfrak{t}^{\prime}$に含まれ，これをLie代数にもつ$G$の連結部分Lie群を$T^{\prime}$と書くと，$e^{x}\in T^{\prime}$である．$T^{\prime}$は$G$の極大トーラスだから，ある$g\in G$が存在して$ge^{x}g^{-1}\in gT^{\prime}g^{-1}=T$となる（命題2.4）．この$g$について，$t\in\mathbf{Z}(G)$より$te^{x}=g^{-1}tge^{x}g^{-1}g=\phi(g^{-1},tge^{x}g^{-1})\in\phi(G\times T)$が成り立つ．よって，$t\exp(\mathfrak{g})\subseteq\phi(G\times T)$だから，$\phi(G\times T)$は$t$の近傍である．

次に，$t\notin\mathbf{Z}(G)$である場合を考える．$\mathbf{Z}_{G}(t)$の主連結成分$\mathbf{Z}_{G}(t)_{0}$は，コンパクト連結Lie群である．$T\subseteq\mathbf{Z}_{G}(t)$であり，$T$は連結だから，$T\subseteq\mathbf{Z}_{G}(t)_{0}$である．$T$は$G$の極大トーラスだから，$\mathbf{Z}_{G}(t)_{0}$の極大トーラスでもある．また，$t\notin\mathbf{Z}(G)$より$\operatorname{Lie}(\mathbf{Z}_{G}(t)_{0})=\mathbf{Z}_{\mathfrak{g}}(t)\subsetneq\mathfrak{g}$だから，$\dim\mathbf{Z}_{G}(t)_{0}<\dim G$である．したがって，帰納法の仮定より

$$\mathbf{Z}_{G}(t)_{0}=\phi(\mathbf{Z}_{G}(t)_{0}\times T)\subseteq\phi(G\times T)$$

だから，

$$\phi(G\times\mathbf{Z}_{G}(t)_{0})=\phi(G\times T)$$

を得る．一方で，補題2.10より，$\phi(G\times\mathbf{Z}_{G}(t)_{0})=\phi(G\times t\mathbf{Z}_{G}(t)_{0})$（$t\in T\subseteq\mathbf{Z}_{G}(t)_{0}$であることを用いた）は$t$の近傍である．よって，$\phi(G\times T)$は$t$の近傍である．これで，帰納法が完成した．∎

定理2.11より，$G$はその極大トーラス全体の合併に等しい．トーラスの指数写像は全射だから（命題2.1 (1)），$G$の指数写像も全射である．∎

定理2.11より$G$はその極大トーラス全体の合併に等しいから，$z\in G$が$G$のすべての極大トーラスに含まれるとすると，$z\in\mathbf{Z}(G)$である．一方で，$T$を$G$の極大トーラスとすると，定理2.11より，任意の$z\in\mathbf{Z}(G)$に対してある$g\in G$が存在して$z=gzg^{-1}\in T$となる．よって，$G$のすべての極大トーラスの交叉は，中心$\mathbf{Z}(G)$に等しい．∎

任意の$g\in\mathbf{Z}_{G}(S)$に対して，$G$の極大トーラスであって$g$と$S$を含むものが存在することを示せばよい．$\mathbf{Z}_{G}(g)$の主連結成分$\mathbf{Z}_{G}(g)_{0}$は，コンパクト連結Lie群である．$S\subseteq\mathbf{Z}_{G}(g)$であり，$S$は連結だから，$S\subseteq\mathbf{Z}_{G}(g)_{0}$である．また，定理2.11より$G$の極大トーラスであって$g$を含むものが存在するから，$g\in\mathbf{Z}_{G}(g)_{0}$である．$\mathbf{Z}_{G}(g)_{0}$の極大トーラス$T$であって$S$を含むものをとると（命題2.5），系2.13より$g\in\mathbf{Z}(\mathbf{Z}_{G}(g)_{0})\subseteq T$である．$g$を含むトーラスは必ず$\mathbf{Z}_{G}(g)_{0}$に含まれるから，$T$は$G$の極大トーラスでもある．これで，主張が示された．∎

系2.14から従う．∎

仮定より，$\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\mathfrak{a}$は$\mathfrak{g}$の可換部分Lie代数である．これをLie代数にもつ$G$の連結部分Lie群を$A$と置くと，$\mathbf{Z}_{G}(\mathfrak{a})=\mathbf{Z}_{G}(\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\mathfrak{a})=\mathbf{Z}_{G}(A)$だから，主張は系2.15 (1)から従う．∎

有限次元実ベクトル空間の閉部分群の分類定理より，$V$の基底$(e_{1},\dots,e_{n})$と$k$, $l\in\mathbb{N}$（$k+l\leq n$）が存在して，$\Gamma=\mathbb{R}e_{1}\oplus\dots\mathbb{R}e_{k}\oplus\mathbb{Z}e_{k+1}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}e_{k+l}$と書ける．非退化双線型形式$\langle\blank,\blank\rangle$に関する$(e_{1},\dots,e_{n})$の双対基底を$(e^{\prime}_{1},\dots,e^{\prime}_{n})$と書くと，

$$\Gamma^{\vee}=\mathbb{Z}e^{\prime}_{k+1}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}e^{\prime}_{k+l}\oplus\mathbb{R}e^{\prime}_{k+l+1}\oplus\dots\oplus\mathbb{R}e^{\prime}_{n}$$

である．示すべき等式の右辺を$\Gamma^{\vee\vee}$と置くと，

$$\Gamma^{\vee\vee}=\mathbb{R}e_{1}\oplus\dots\mathbb{R}e_{k}\oplus\mathbb{Z}e_{k+1}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}e_{k+l}=\Gamma$$

となり，主張が成り立つ．∎

$P(\Delta)$と$P(2\pi i\Delta^{\vee})$に関する等式は，これらの定義からただちに従う．また，これらの等式と補題2.17から，それぞれ$Q(2\pi i\Delta^{\vee})$と$Q(\Delta)$に関する等式が従う．∎

$\lambda\in(\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})^{*}_{\mathrm{u}}$とする．$T$の$1$次元連続表現$\chi\colon T\to U(1)$が$\lambda|_{\mathfrak{t}}$の持ち上げであるための必要十分条件は，図式

が可換であることである．指数写像$\exp_{T}$はLie群の全射被覆準同型だから（命題2.1 (1)），このような$\chi$が存在するための必要十分条件は，$\lambda(\operatorname{Ker}(\exp_{T}))\subseteq 2\pi i\mathbb{Z}$であることである．よって，$X(T)$に関する等式が成り立つ．また，この等式と補題2.17から，$\operatorname{Ker}(\exp_{T})$に関する等式が従う．∎

$T$はコンパクトだから，連続指標$\chi\colon T\to\mathbb{C}^{\times}$は必ずユニタリである．したがって，$X(T)=X_{\mathbb{C}}(T)$である．また，$\operatorname{Ker}(\exp_{T})$は$\mathfrak{t}$上の格子だから（命題2.1 (2)），命題2.21より，$X(T)$は$(\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})^{*}_{\mathrm{u}}$上の格子である．∎

一般性を失わず，$\mathfrak{g}$が半単純であると仮定する．系1.24より，$(\mathfrak{g},\mathfrak{t})$は$(\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})},\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})$に対するあるChevalley系$(X_{\alpha})_{\alpha\in\Delta(\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})},\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})}$に伴うコンパクト実形である．そこで，

$$x_{\alpha}=\frac{1}{2}(X_{\alpha}+X_{-\alpha}),\qquad y_{\alpha}=\frac{i}{2}(X_{\alpha}-X_{-\alpha}),\qquad z_{\alpha}=\frac{i}{2}H_{\alpha}$$

と置くと，$x_{\alpha}$, $y_{\alpha}\in\mathfrak{g}$かつ$z_{\alpha}\in\mathfrak{t}$であり，これらは線型独立であり，

	$\displaystyle[x_{\alpha},y_{\alpha}]=\frac{i}{4}[X_{\alpha}+X_{-\alpha},X_{\alpha}-X_{-\alpha}]=\frac{i}{2}H_{\alpha}=z_{\alpha},$
	$\displaystyle[y_{\alpha},z_{\alpha}]=-\frac{1}{4}[X_{\alpha}-X_{-\alpha},H_{\alpha}]=\frac{1}{2}(X_{\alpha}+X_{-\alpha})=x_{\alpha},$
	$\displaystyle[z_{\alpha},x_{\alpha}]=\frac{i}{4}[H_{\alpha},X_{\alpha}+X_{-\alpha}]=\frac{i}{2}(X_{\alpha}-X_{-\alpha})=y_{\alpha}$

を満たす．一方で，$\mathfrak{su}(2)$の基底

$$\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0&1\\ -1&0\end{pmatrix},\qquad\frac{i}{2}\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix},\qquad\frac{i}{2}\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}$$

も同じ交換関係を満たす．よって，主張の条件を満たすLie代数の単射準同型が一意に存在する．∎

$G$の随伴表現の$T$への制限$\operatorname{Ad}_{\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}}|_{T}$の微分表現は，$\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}$の随伴表現の$\mathfrak{t}$への制限$\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}}|_{\mathfrak{t}}$であり，$h\in\mathfrak{t}$は各ルート空間$(\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})})_{\alpha}$に$\alpha(h)$倍写像として作用する．したがって，$\operatorname{Ad}_{\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}}|_{T}$は各ルート空間$(\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})})_{\alpha}$上の$1$次元部分表現を定め，これが$\alpha|_{\mathfrak{t}}$の持ち上げとなる．よって，$\Delta\subseteq X(T)$だから，$Q(\Delta)\subseteq X(T)$が成り立つ．このことと命題2.18と命題2.21より，$\operatorname{Ker}(\exp_{T})\subseteq P(2\pi i\Delta^{\vee})$も成り立つ．

補題2.23より，各ルート$\alpha\in\Delta(\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})},\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})$に対して，Lie代数の単射準同型$\phi_{\alpha}\colon\mathfrak{su}(2)\to\mathfrak{g}$であって

$$\phi_{\alpha}\left(i\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}\right)=iH_{\alpha}$$

を満たすものがとれる．さらに，$\mathit{SU}(2)$は$\mathfrak{su}(2)$をLie代数にもつ単連結Lie群だから，$\phi_{\alpha}$はLie群の準同型$f_{\alpha}\colon\mathit{SU}(2)\to G$に持ち上がる．したがって，

$$\exp(2\pi iH_{\alpha})=\exp\left(\phi_{\alpha}\left(2\pi i\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}\right)\right)=f_{\alpha}\left(\exp\left(2\pi i\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}\right)\right)=f_{\alpha}\left(\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\right)=1$$

であり，$2\pi iH_{\alpha}\in\operatorname{Ker}(\exp_{T})$を得る．よって，$Q(2\pi i\Delta^{\vee})\subseteq\operatorname{Ker}(\exp_{T})$が成り立つ．このことと命題2.18，命題2.21より，$X(T)\subseteq P(\Delta)$も成り立つ．∎

二つの点$t$, $t^{\prime}\in T$が$\mathbf{W}(G,T)$の作用で移り合うならば，ある$g\in\mathbf{N}_{G}(T)$が存在して$gtg^{-1}=t^{\prime}$となるから，$G$において共役である．したがって，$T$から$G$への包含写像は，連続写像$\iota\colon\mathbf{W}(G,T)\backslash T\to G^{\sharp}$を誘導する．$G$の任意の元は$T$のある元に共役だから（定理2.11），$\iota$は全射である．$\iota$の単射性を示す．そのためには，$t\in T$と$g\in G$が$gtg^{-1}\in T$を満たすとして，ある$g_{1}\in\mathbf{N}_{G}(T)$が存在して$g_{1}tg_{1}^{-1}=gtg^{-1}$となることを示せばよい．$\mathbf{Z}_{G}(gtg^{-1})$の主連結成分$\mathbf{Z}_{G}(gtg^{-1})_{0}$はコンパクト連結Lie群であり，$T$と$gTg^{-1}$をともに含む．$T$と$gTg^{-1}$は，$G$の極大トーラスだから，$\mathbf{Z}_{G}(gtg^{-1})_{0}$の極大トーラスでもある．したがって，極大トーラスの共役性（命題2.4）より，ある$z\in\mathbf{Z}_{G}(gtg^{-1})_{0}$が存在して$zgTg^{-1}z^{-1}=T$を満たす．よって，$g_{1}=zg$と置けば，$g_{1}\in\mathbf{N}_{G}(T)$かつ$g_{1}tg_{1}^{-1}=zgtg^{-1}z^{-1}=gtg^{-1}$となる．

$\mathbf{W}(G,T)\backslash T$と$G^{\sharp}$はともに，コンパクトHausdorff群のコンパクトHausdorff空間への（したがって，固有な）連続作用に関する軌道空間だから，コンパクトHausdorff空間である．前段で示したように，$\iota$は$\mathbf{W}(G,T)\backslash T$から$G^{\sharp}$への連続全単射だから，同相である．∎

$w\in W$を任意にとり，1点$x\in X$を固定する．$W^{\prime}$の$X$への作用が推移的であることより，ある$w^{\prime}\in W^{\prime}$が存在して$w\cdot x=w^{\prime}\cdot x$を満たす．$W$の$X$への作用は自由だから，$w=w^{\prime}\in W^{\prime}$を得る．よって，$W^{\prime}=W$である．∎

任意のルート$\alpha\in\Delta(\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})},\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})$に対して，ルート鏡映$s_{\alpha}$がある$g_{\alpha}\in\mathbf{N}_{G}(T)$を用いて$s_{\alpha}=\operatorname{Ad}_{\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}}(g_{\alpha})^{*-1}$と表せることを示せばよい．$x_{\alpha}$, $y_{\alpha}$, $z_{\alpha}$を補題2.23のようにとり，$t\in\mathbb{R}$とする．任意の$h\in\operatorname{Ker}(\alpha)$に対して，$\operatorname{ad}(x_{\alpha})h=0$より

$$\operatorname{Ad}(e^{tx_{\alpha}})h=e^{t\operatorname{ad}(x_{\alpha})}(h)=h$$

である．また，$\operatorname{ad}(x_{\alpha})z_{\alpha}=-y_{\alpha}$と$\operatorname{ad}(x_{\alpha})^{2}z_{\alpha}=-\operatorname{ad}(x_{\alpha})y_{\alpha}=-z_{\alpha}$より

	$\displaystyle\operatorname{Ad}(e^{tx_{\alpha}})z_{\alpha}$	$\displaystyle=e^{t\operatorname{ad}(x_{\alpha})}(z_{\alpha})$
		$\displaystyle=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}\operatorname{ad}(x_{\alpha})^{k}z_{\alpha}$
		$\displaystyle=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}t^{2k}}{(2k)!}z_{\alpha}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}t^{2k+1}}{(2k+1)!}y_{\alpha}$
		$\displaystyle=\cos(t)z_{\alpha}-\sin(t)y_{\alpha}$

である．$\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}=\mathbb{C}z_{\alpha}\oplus\operatorname{Ker}(\alpha)$だから，上式より，$\operatorname{Ad}(e^{tx_{\alpha}})$は$\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}$を安定にし，したがって，$\mathfrak{t}=\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}\cap\mathfrak{g}$も安定にする．これより，$e^{tx_{\alpha}}\in\mathbf{N}_{G}(T)$である．さらに，$t=\pi$のときは，

$$\operatorname{Ad}(e^{\pi x_{\alpha}})h=h\qquad(h\in\operatorname{Ker}(\alpha)),\qquad\operatorname{Ad}(e^{\pi x_{\alpha}})z_{\alpha}=-z_{\alpha}$$

となるから，$\operatorname{Ad}_{\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}}(e^{\pi x_{\alpha}})=s_{\alpha}^{*-1}$が成り立つ．よって，$g_{\alpha}=e^{\pi x_{\alpha}}$と置けばよい．∎