1 コンパクトLie代数

$\text{(a)}\Longrightarrow\text{(b)}$ $\mathfrak{g}$がコンパクトLie群$G$のLie代数であるとする．このとき，$\operatorname{Ad}(G)\subseteq\mathit{GL}(\mathfrak{g})$は$\operatorname{ad}(\mathfrak{g})$をLie代数にもつ$\mathit{GL}(\mathfrak{g})$の部分Lie群だから，$\operatorname{Int}(\mathfrak{g})=\operatorname{Ad}(G)_{0}$である．$G$はコンパクトだから，$\operatorname{Int}(\mathfrak{g})$もコンパクトである．

$\text{(b)}\Longrightarrow\text{(c)}$ $\operatorname{Int}(\mathfrak{g})$がコンパクトであるとすると，$\mathfrak{g}$上には$\operatorname{Int}(\mathfrak{g})$不変な内積が存在し，これは$\mathfrak{g}$上の不変な内積である．

$\text{(c)}\Longrightarrow\text{(d)}$ $\mathfrak{g}$上に不変な内積が存在するとして，それを一つ固定して$\mathfrak{g}$を内積空間とみなす．すると，任意の$x\in\mathfrak{g}$に対して，$\operatorname{ad}(x)$は歪自己随伴だから，半単純かつその複素固有値はすべて純虚数である．また，$\mathfrak{g}$のイデアル$\mathfrak{a}$に対してその直交補空間$\mathfrak{a}^{\perp}$も$\mathfrak{g}$のイデアルとなるから，$\mathfrak{g}$は簡約である．

$\text{(d)}\Longrightarrow\text{(e)}$ 条件(d)が成り立つとする．任意の$x\in\mathfrak{g}$に対して，仮定より$B_{\mathfrak{g}}(x,x)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}(x)^{2})\leq 0$だから，$B_{\mathfrak{g}}$は負値である．よって，条件(e)が成り立つ．

$\text{(e)}\Longrightarrow\text{(a)}$ 条件(e)が成り立つとする．$\mathfrak{g}$は簡約だから，半単純Lie代数$\mathfrak{g}^{\prime}$と可換Lie代数$\mathfrak{z}$に直和分解される（参照）．$\mathfrak{z}$は適当なトーラス$T$のLie代数に同型である．一方で，$\mathfrak{g}^{\prime}$は$\operatorname{Aut}(\mathfrak{g}^{\prime})$のLie代数に同型であり，$\operatorname{Aut}(\mathfrak{g}^{\prime})$は$\mathit{GL}(\mathfrak{g}^{\prime})$の閉部分群であってKilling形式$B_{\mathfrak{g}^{\prime}}=B_{\mathfrak{g}}|_{\mathfrak{g}^{\prime}}$を不変にする．半単純性に関するCartanの判定法と仮定より$B_{\mathfrak{g}^{\prime}}$は非退化負値だから，$\operatorname{Aut}(\mathfrak{g}^{\prime})$はコンパクトである．よって，$\mathfrak{g}$はコンパクトLie群$\operatorname{Aut}(\mathfrak{g}^{\prime})\times T$のLie代数に同型である． ∎

(1) 不変な内積の部分Lie代数への制限はまた不変な内積だから，主張は，命題1.2の$\text{(a)}\Longleftrightarrow\text{(c)}$から従う．

(2) (1)より，$\mathfrak{g}$がコンパクトならば，すべての$\mathfrak{g}_{i}$もコンパクトである．また，各$\mathfrak{g}_{i}$がコンパクトLie群$G_{i}$のLie代数に同型ならば，$\mathfrak{g}$はコンパクトLie群$G=\prod_{i\in I}G_{i}$のLie代数に同型である．よって，すべての$\mathfrak{g}_{i}$がコンパクトならば，$\mathfrak{g}$もコンパクトである． ∎

コンパクトLie代数は簡約だから（命題1.2），はじめから$\mathfrak{g}$は簡約であるとしてよい．このとき，Lie代数としての直和分解$\mathfrak{g}=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]\oplus\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$が成り立つ（参照）．Lie代数$\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$は可換だから，コンパクトである．よって，主張は，系1.3 (2)から従う．∎

半単純性に関するCartanの判定法と命題1.2の$\text{(a)}\Longleftrightarrow\text{(e)}$から従う．∎

一般に，標数$0$の可換体上の簡約Lie代数$\mathfrak{g}$の部分Lie代数$\mathfrak{h}$がCartan部分代数であるための必要十分条件は，$\mathfrak{h}$が$\mathfrak{g}$において極大可換であり，かつ$\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h})$の任意の元が半単純であることである（参照）．よって，前半の主張は，コンパクトLie代数$\mathfrak{g}$が簡約であり，$\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{g})$の任意の元が半単純であること（命題1.2）から従う．

任意の$x\in\mathfrak{g}$に対してそれを含む$\mathfrak{g}$の極大可換部分空間が存在するから，前半の主張より，$\mathfrak{g}$のすべてのCartan部分代数の合併は$\mathfrak{g}$全体となる．∎

任意のルート$\alpha\in\Delta(\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})},\mathfrak{h}_{(\mathbb{C})})$と$h\in\mathfrak{t}$に対して，$\alpha(h)$は$\operatorname{ad}(h)$の複素固有値だから，命題1.2より$\alpha(h)$は純虚数である．∎

系1.7より，$\mathfrak{t}\subseteq i\mathfrak{h}_{0}$である．$\mathfrak{t}$と$\mathfrak{h}_{0}$はともに$\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}$の実形だから，$\mathfrak{t}=i\mathfrak{h}_{0}$が成り立つ．∎

系1.7より，各ルート$\alpha\in\Delta(\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})},\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})$に対して，$i\alpha|_{\mathfrak{t}}$は$\mathfrak{t}$上の$0$でない実線型形式である．ルート系$\Delta(\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})},\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})$は有限だから，$h\in\mathfrak{t}$を任意の$\alpha\in\Delta(\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})},\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})$に対して$\alpha(h)\neq 0$を満たすようにとれる．$h$のとり方より$\operatorname{Ker}(\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}}(h))=\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}$だから，$\mathbf{Z}_{\mathfrak{g}}(h)=\mathbf{Z}_{\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}}(h)\cap\mathfrak{g}=\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}\cap\mathfrak{g}=\mathfrak{t}$となる．∎

存在 系1.6から従う．

共役性 $\mathfrak{t}$と$\mathfrak{t}^{\prime}$を$\mathfrak{g}$のCartan部分代数とする．補題1.9より，ある$h\in\mathfrak{t}$が存在して$\mathfrak{t}=\mathbf{Z}_{\mathfrak{g}}(h)$と書け，ある$h^{\prime}\in\mathfrak{t}^{\prime}$が存在して$\mathfrak{t}^{\prime}=\mathbf{Z}_{\mathfrak{g}}(h^{\prime})$と書ける．$\mathfrak{g}$上の不変な内積$\langle\blank,\blank\rangle$を一つ固定する（命題1.2）．$\operatorname{Int}(\mathfrak{g})$はコンパクトだから（命題1.2），$\langle\phi(h),h^{\prime}\rangle$を最大にする$\phi\in\operatorname{Int}(\mathfrak{g})$がとれる．この$\phi$について，任意の$x\in\mathfrak{g}$に対して

$$0=\frac{d}{dt}|_{t=0}\langle e^{t\operatorname{ad}(x)}\phi(h),h^{\prime}\rangle=\langle[x,\phi(h)],h^{\prime}\rangle=\langle x,[\phi(h),h^{\prime}]\rangle$$

だから，$[\phi(h),h^{\prime}]=0$である．すなわち，$\phi(h)\in\mathbf{Z}_{\mathfrak{g}}(h^{\prime})=\mathfrak{t}^{\prime}$である．$\mathfrak{t}^{\prime}$は可換だから

$$\mathfrak{t}^{\prime}\subseteq\mathbf{Z}_{\mathfrak{g}}(\phi(h))=\phi(\mathbf{Z}_{\mathfrak{g}}(h))=\phi(\mathfrak{t})$$

となるが，$\phi(\mathfrak{t})$と$\mathfrak{t}^{\prime}$はともに$\mathfrak{g}$のCartan部分代数だから，$\mathfrak{t}^{\prime}=\phi(\mathfrak{t})$が成り立つ．よって，$\mathfrak{g}$のCartan部分代数は，$\operatorname{Int}(\mathfrak{g})$の下の共役を除いて一意である． ∎

一般性を失わず，$(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$は分裂半単純Lie代数であると仮定する．ルート系$\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$の基底$\Pi$を一つ固定して，各正ルート$\alpha$に対して，$X_{\alpha}\in\mathfrak{g}_{\alpha}$と$X_{-\alpha}\in\mathfrak{g}_{-\alpha}$を$(H_{\alpha},X_{\alpha},-X_{-\alpha})$が$\mathfrak{sl}_{2}$三対となるようにとる（参照）．$(X_{\alpha})_{\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})}$は条件(C1)と(C2)を満たす．以下，各$X_{\alpha}$をスカラー倍だけ調整することで，Chevalley系を構成する．

同型定理より，$\psi\in\operatorname{Aut}(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$であって

$$\psi|_{\mathfrak{h}}=-\mathrm{id}_{\mathfrak{h}},\qquad\psi(X_{\alpha})=X_{-\alpha}\qquad(\alpha\in\Pi)$$

を満たすものが（一意に）存在する．$\psi|_{\mathfrak{h}}=-\mathrm{id}_{\mathfrak{h}}$より各$\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$に対して$\psi(\mathfrak{g}_{\alpha})=\mathfrak{g}_{-\alpha}$だから，

$$\psi(X_{\alpha})=c(\alpha)X_{-\alpha}\qquad(c(\alpha)\in\mathbb{K}^{\times})$$

と置ける．任意の$\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$に対して，

	$\displaystyle[\psi(X_{\alpha}),\psi(X_{-\alpha})]=[c(\alpha)X_{-\alpha},c(-\alpha)X_{\alpha}]=c(\alpha)c(-\alpha)H_{\alpha},$
	$\displaystyle\psi([X_{\alpha},X_{-\alpha}])=-\psi(H_{\alpha})=H_{\alpha}$

であり，これらは等しいから，$c(\alpha)c(-\alpha)=1$である．そこで，各$\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$に対して$d(\alpha)\in\mathbb{K}^{\times}$をとり，任意の$\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$に対して$d(\alpha)^{-2}=c(\alpha)$かつ$d(\alpha)d(-\alpha)=1$を満たすようにできる（係数体$\mathbb{K}$が代数閉であることを用いた）．$X^{\prime}_{\alpha}=d(\alpha)X_{\alpha}$と置くと，$(H_{\alpha},X^{\prime}_{\alpha},-X^{\prime}_{-\alpha})$も$\mathfrak{sl}_{2}$三対であり，

$$\psi(X^{\prime}_{\alpha})=d(\alpha)\psi(X_{\alpha})=d(\alpha)c(\alpha)X_{-\alpha}=d(\alpha)c(\alpha)d(-\alpha)^{-1}X^{\prime}_{-\alpha}=X^{\prime}_{-\alpha}$$

が成り立つ．よって，$(X^{\prime}_{\alpha})_{\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})}$はChevalley系である．∎

(1) $N_{\beta,\alpha}X_{\alpha+\beta}=[X_{\beta},X_{\alpha}]=-[X_{\alpha},X_{\beta}]=-N_{\alpha,\beta}X_{\alpha+\beta}$だから，$N_{\beta,\alpha}=-N_{\alpha,\beta}$である．

(2) Jacobiの恒等式より，

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=[[X_{\alpha},X_{\beta}],X_{\gamma}]+[[X_{\beta},X_{\gamma}],X_{\alpha}]+[[X_{\gamma},X_{\alpha}],X_{\beta}]$
		$\displaystyle=N_{\alpha,\beta}[X_{-\gamma},X_{\gamma}]+N_{\beta,\gamma}[X_{-\alpha},X_{\alpha}]+N_{\gamma,\alpha}[X_{-\beta},X_{\beta}]$
		$\displaystyle=N_{\alpha,\beta}H_{\gamma}+N_{\beta,\gamma}H_{\alpha}+N_{\gamma,\alpha}H_{\beta}$

である．$\mathbf{W}(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$不変な非退化対称双線型形式$\langle\blank,\blank\rangle$が定める線型同型$\mathfrak{h}\cong\mathfrak{h}^{*}$によって$H_{\alpha}$は$2\alpha/\langle\alpha,\alpha\rangle$に対応し（参照），$\beta$と$\gamma$についても同様だから，上式より

$$0=\frac{N_{\alpha,\beta}}{\langle\gamma,\gamma\rangle}\gamma+\frac{N_{\beta,\gamma}}{\langle\alpha,\alpha\rangle}\alpha+\frac{N_{\gamma,\alpha}}{\langle\beta,\beta\rangle}\beta$$

である．$\gamma=-\alpha-\beta$であり，$\alpha$と$\beta$は線型独立だから，上式から主張の等式を得る． ∎

$\mathfrak{h}^{*}$上の$\mathbf{W}(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$不変な非退化対称双線型形式$\langle\blank,\blank\rangle$を一つ固定する（参照）．以下では，$\operatorname{ad}(X_{-\alpha})\operatorname{ad}(X_{\alpha})X_{\beta}$を2通りの方法で計算する．まず，定義より

$$\operatorname{ad}(X_{-\alpha})\operatorname{ad}(X_{\alpha})X_{\beta}=N_{\alpha,\beta}N_{-\alpha,\alpha+\beta}X_{\beta}$$

であり，補題1.15より

$$N_{-\alpha,\alpha+\beta}=\frac{\langle\beta,\beta\rangle}{\langle\alpha+\beta,\alpha+\beta\rangle}N_{-\beta,-\alpha}=-\frac{\langle\beta,\beta\rangle}{\langle\alpha+\beta,\alpha+\beta\rangle}N_{-\alpha,-\beta}$$

だから，

$$\operatorname{ad}(X_{-\alpha})\operatorname{ad}(X_{\alpha})X_{\beta}=-\frac{\langle\beta,\beta\rangle}{\langle\alpha+\beta,\alpha+\beta\rangle}N_{\alpha,\beta}N_{-\alpha,-\beta}X_{\beta}$$

である．次に，$\mathfrak{sl}_{2}$三対$(H_{\alpha},X_{\alpha},-X_{-\alpha})$と随伴表現によって$\mathfrak{g}$を$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$加群とみなす．すると，$\bigoplus_{j=-q}^{p}\mathfrak{g}_{\beta+j\alpha}$は$\mathfrak{g}$の$p+q+1$次元既約部分$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$加群であり，各$\mathfrak{g}_{\beta+j\alpha}$はそのウェイト$-(p-q)+2j$のウェイト空間である（証明を参照）．したがって，有限次元既約$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$加群の構造より，

$$\operatorname{ad}(X_{-\alpha})\operatorname{ad}(X_{\alpha})X_{\beta}=-p(q+1)X_{\beta}$$

である．1.3節と1.3節を比較して，$\langle\alpha+\beta,\alpha+\beta\rangle/\langle\beta,\beta\rangle=(q+1)/p$（参照）を用いれば，

$$N_{\alpha,\beta}N_{-\alpha,-\beta}=\frac{\langle\alpha+\beta,\alpha+\beta\rangle}{\langle\beta,\beta\rangle}p(q+1)=(q+1)^{2}$$

を得る．∎

一般性を失わず，$(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$は分裂半単純Lie代数であると仮定する．Chevalley系$(X_{\alpha})_{\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})}$が定める対合を$\psi$と書く．任意の$\alpha$, $\beta$, $\alpha+\beta\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$に対して，

	$\displaystyle[\psi(X_{\alpha}),\psi(X_{\beta})]=[X_{-\alpha},X_{-\beta}]=N_{-\alpha,-\beta}X_{-\alpha-\beta},$
	$\displaystyle\psi([X_{\alpha},X_{\beta}])=\psi(N_{\alpha,\beta}X_{\alpha+\beta})=N_{\alpha,\beta}X_{-\alpha-\beta}$

であり，これらは等しいから，$N_{-\alpha,-\beta}=N_{\alpha,\beta}$である．$N_{\alpha,\beta}N_{-\alpha,-\beta}=(q+1)^{2}$であること（補題1.16）と合わせて，$N_{\alpha,\beta}=N_{-\alpha,-\beta}=\{\pm(q+1)\}$を得る．∎

(1) $h\in\mathfrak{h}_{0}\setminus\{0\}$とすると，任意の$\alpha\in\Delta(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}},\mathfrak{h}_{\mathbb{C}})$に対して$\alpha(h)\in\mathbb{R}$であり，すべての$\alpha(h)$が$0$となることはない．ルート空間分解$\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}=\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Delta(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}},\mathfrak{h}_{\mathbb{C}})}(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})_{\alpha}$が成立し，各ルート空間$(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})_{\alpha}$は$1$次元であり（参照），$\operatorname{ad}(h)$は$(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})_{\alpha}$に$\alpha(h)$倍で作用するから，

$$B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}(h,h)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}(h)^{2})=\sum_{\alpha\in\Delta(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}},\mathfrak{h}_{\mathbb{C}})}\alpha(h)^{2}>0$$

である．よって，$B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}|_{\mathfrak{h}_{0}\times\mathfrak{h}_{0}}$は非退化正値対称双線型形式である．

(2) Killing形式$B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}$は不変だから，主張は分裂簡約Lie代数の一般論（参照）から従う．

(3) Killing形式$B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}$の不変性と(1)より，

	$\displaystyle B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}(X_{\alpha},Y_{\alpha})$	$\displaystyle=\frac{1}{2}B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}([H_{\alpha},X_{\alpha}],Y_{\alpha})$
		$\displaystyle=\frac{1}{2}B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}(H_{\alpha},[X_{\alpha},Y_{\alpha}])$
		$\displaystyle=\frac{1}{2}B_{\mathfrak{g}}(H_{\alpha},H_{\alpha})$
		$\displaystyle>0$

である． ∎

(1) Chevalley系に対応して定まる係数はすべて整数だから（命題1.17），$\mathfrak{g}$は$\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}$の実部分Lie代数である．また，$\mathfrak{g}=\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\{H_{\alpha}\mid\alpha\in\Delta(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}},\mathfrak{h}_{\mathbb{C}})\}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Delta(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}},\mathfrak{h}_{\mathbb{C}})}\mathbb{R}X_{\alpha}$だが，$\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\{H_{\alpha}\mid\alpha\in\Delta(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}},\mathfrak{h}_{\mathbb{C}})\}$はルート系が定める$\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}$の実形$\mathfrak{h}_{0}$にほかならず，各$\alpha\in\Delta(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}},\mathfrak{h}_{\mathbb{C}})$に対して$\mathbb{R}X_{\alpha}$は$(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})_{\alpha}=\mathbb{C}X_{\alpha}$の実形である．よって，$(\mathfrak{g},\mathfrak{h}_{0})$は$(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}},\mathfrak{h}_{\mathbb{C}})$の実形である．

(2) $\psi\sigma$と$\sigma\psi$はともに$\mathfrak{g}$の共役自己同型であり，容易に確かめられるように実形$\mathfrak{g}$上で一致するから，$\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}$上でも一致する．また，これより$(\psi\sigma)^{2}=\psi\sigma\sigma\psi=\mathrm{id}_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}$だから，$\psi\sigma=\sigma\psi$は$\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}$上の共役対合であり，その固定点全体のなす空間は$\mathfrak{g}$の実形である．$\psi\sigma$の固定点全体のなす空間が与えられた$\mathfrak{u}$に等しいことは，容易に確かめられる．$\mathfrak{u}$は$i\mathfrak{h}_{0}$を含み，$i\mathfrak{h}_{0}$は$\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}$の実形だから，$(\mathfrak{u},i\mathfrak{h}_{0})$は$(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}},\mathfrak{h}_{\mathbb{C}})$の実形である．

$\mathfrak{u}$がコンパクトであることを示す．そのためには，Killing形式$B_{\mathfrak{u}}=B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}|_{\mathfrak{u}\times\mathfrak{u}}$が非退化負値であることをいえばよい（系1.5）．$\mathfrak{u}$は

$$\mathfrak{u}=i\mathfrak{h}_{0}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Delta_{+}}\mathbb{R}(X_{\alpha}+X_{-\alpha})\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Delta_{+}}\mathbb{R}i(X_{\alpha}-X_{-\alpha})$$

と直和分解され，次のことがいえる．

• •

  $B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}$は$\mathfrak{h}_{0}$上で非退化正値だから（補題1.18 (1)），$i\mathfrak{h}_{0}$上で非退化負値である．

• •

  各正ルート$\alpha\in\Delta_{+}$に対して，$\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}$と$(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})_{\alpha}\oplus(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})_{-\alpha}$はKilling形式$B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}$に関して直交する（参照）．したがって，$B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}(i\mathfrak{h}_{0},X_{\alpha}+X_{-\alpha})=B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}(i\mathfrak{h}_{0},i(X_{\alpha}-X_{-\alpha}))=0$である．

• •

  異なる二つの正ルート$\alpha$, $\beta\in\Delta_{+}$に対して，$(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})_{\alpha}\oplus(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})_{-\alpha}$と$(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})_{\beta}\oplus(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})_{-\beta}$はKilling形式$B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}$に関して直交する（参照）．したがって，$B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}(X_{\alpha}+X_{-\alpha},X_{\beta}+X_{-\beta})=B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}(X_{\alpha}+X_{-\alpha},i(X_{\beta}-X_{-\beta}))=B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}(i(X_{\alpha}-X_{-\alpha}),i(X_{\beta}-X_{-\beta}))=0$である．

• •

  各$\alpha\in\Delta_{+}$に対して，$B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}(X_{\alpha},X_{\alpha})=B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}(X_{-\alpha},X_{-\alpha})=0$かつ$B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}(X_{\alpha},X_{-\alpha})<0$だから（補題1.18 (2), (3)），

  	$\displaystyle B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}(X_{\alpha}+X_{-\alpha},X_{\alpha}+X_{-\alpha})=B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}(i(X_{\alpha}-X_{-\alpha}),i(X_{\alpha}+X_{-\alpha}))=2B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}(X_{\alpha},X_{-\alpha})<0,$
  	$\displaystyle B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}(X_{\alpha}+X_{-\alpha},i(X_{\alpha}-X_{-\alpha}))=0$

  である．

以上より，Killing形式$B_{\mathfrak{u}}=B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}|_{\mathfrak{u}\times\mathfrak{u}}$は非退化負値である． ∎

Killing形式$B_{\mathfrak{u}}=B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}|_{\mathfrak{u}\times\mathfrak{u}}$は非退化負値だから（系1.5），任意の$x=u+iv\in\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}\setminus\{0\}$（$u$, $v\in\mathfrak{u}$）に対して，

$$B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}(x,\tau(x))=B_{\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}}(u+iv,u-iv)=B_{\mathfrak{u}}(u,u)+B_{\mathfrak{u}}(v,v)<0$$

である．∎

$\delta(\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}\Delta(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}},\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}),\mathbb{C}^{\times}))$が主張の群に含まれることは明らかである．$\phi\in\operatorname{Aut}(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}},\mathfrak{h}_{\mathbb{C}})$が$\phi|_{\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}}=\mathrm{id}_{\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}}$を満たすとして，これが$\delta(\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}\Delta(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}},\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}),\mathbb{C}^{\times}))$に含まれることを示す．各$\alpha\in\Delta(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}},\mathfrak{h}_{\mathbb{C}})$に対して，

	$\displaystyle\phi((\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})_{\alpha})$	$\displaystyle=\{\phi(x)\in\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}\mid\text{任意の$h\in\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}$に対して$[h,x]=\alpha(h)x$}\}$
		$\displaystyle=\{y\in\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}\mid\text{任意の$h\in\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}$に対して$[h,\phi^{-1}(y)]=\alpha(h)\phi^{-1}(y)$}\}$
		$\displaystyle=\{y\in\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}\mid\text{任意の$h\in\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}$に対して$[\phi(h),y]=\alpha(h)y$}\}$
		$\displaystyle=\{y\in\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}\mid\text{任意の$h\in\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}$に対して$[h,y]=\alpha(h)y$}\}$
		$\displaystyle=(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})_{\alpha}$

であり，ルート空間$(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})_{\alpha}$は$1$次元だから（参照），

$$\phi|_{(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})_{\alpha}}=c(\alpha)\mathrm{id}_{(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})_{\alpha}}\qquad(c(\alpha)\in\mathbb{C}^{\times})$$

と置ける．