2 包絡代数 | Lie代数

2.1 包絡代数

定義2.1 (包絡代数)

$\mathfrak{g}$ をLie代数とする．テンソル代数 $\mathbf{T}(\mathfrak{g})$ を「 $x$ , $y\in\mathfrak{g}$ に対する $x\otimes y-y\otimes x-[x,y]$ の全体が生成するイデアル」で割って得られる単位的結合代数を， $\mathfrak{g}$ の包絡代数（enveloping algebra）といい， $\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ と書く．

$\mathfrak{g}$ をLie代数とし， $\pi\colon\mathbf{T}(\mathfrak{g})\to\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ を等化準同型とする． $\mathfrak{g}$ から $\mathbf{T}(\mathfrak{g})$ への自然な写像と $\pi\colon\mathbf{T}(\mathfrak{g})\to\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ とを合成して得られる写像 $\iota\colon\mathfrak{g}\to\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ を，包絡代数への自然な写像という．また，各整数 $n\geq-1$ に対して， $\mathbf{U}^{\leq n}(\mathfrak{g})=\pi(\mathbf{T}^{\leq n}(\mathfrak{g}))$ と書く（ $\mathbf{U}^{\leq-1}(\mathfrak{g})=0$ である）．

命題2.2 (包絡代数の普遍性)

$\mathfrak{g}$ をLie代数とし，その包絡代数への自然な写像を $\iota\colon\mathfrak{g}\to\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ と書く．単位的結合代数 $A$ と（ $A$ を交換子によってLie代数とみなすときの）Lie代数の準同型 $f\colon\mathfrak{g}\to A$ に対して，単位的代数の準同型 $\widetilde{f}\colon\mathbf{U}(\mathfrak{g})\to A$ であって， $\widetilde{f}\circ\iota=f$ を満たすものが一意に存在する．

証明

テンソル代数の普遍性より，単位的代数の準同型 $\widehat{f}\colon\mathbf{T}(\mathfrak{g})\to A$ であって，任意の $x\in\mathfrak{g}$ に対して $\widehat{f}(x)=f(x)$ を満たすものが一意に存在する． $f$ はLie代数の準同型だから，任意の $x$ , $y\in\mathfrak{g}$ に対して $\widehat{f}(x\otimes y-y\otimes x-[x,y])=f(x)f(y)-f(y)f(x)-f([x,y])=0$ が成り立つ．したがって， $\widehat{f}$ は単位的代数の準同型 $\widetilde{f}\colon\mathbf{U}(\mathfrak{g})\to A$ を誘導する．これが，主張の条件を満たす一意な単位的代数の準同型である．∎

系2.3

$\mathfrak{g}$ , $\mathfrak{h}$ をLie代数とし，それらの包絡代数への自然な写像を $\iota_{\mathfrak{g}}\colon\mathfrak{g}\to\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ ， $\iota_{\mathfrak{h}}\colon\mathfrak{h}\to\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ と書く．Lie代数の準同型 $f\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}$ に対して，単位的代数の準同型 $\widetilde{f}\colon\mathbf{U}(\mathfrak{g})\to\mathbf{U}(\mathfrak{h})$ であって， $\widetilde{f}\circ\iota_{\mathfrak{g}}=\iota_{\mathfrak{h}}\circ f$ を満たすものが一意に存在する．

証明

包絡代数の普遍性（命題2.2）から従う．∎

命題2.2または系2.3の状況で， $\widetilde{f}$ を， $f$ が誘導する単位的代数の準同型という．

2.2 Poincaré–Birkhoff–Wittの定理

本小節では， $I$ を集合とするとき，各整数 $n\geq-1$ に対して $I^{\leq n}=\coprod_{m=0}^{n}I^{m}$ と書き（ $I^{\leq-1}=\emptyset$ である）， $I^{*}=\coprod_{m=0}^{\infty}I^{m}$ と書く．また， $I$ を全順序集合とするとき， $I^{n}$ , $I^{\leq n}$ , $I^{*}$ に属する列のうち昇順であるもの全体のなす集合を，それぞれ $I^{n}_{\uparrow}$ , $I^{\leq n}_{\uparrow}$ , $I^{*}_{\uparrow}$ と書く．

定理2.4 (Poincaré–Birkhoff–Wittの定理I)

$\mathfrak{g}$ をLie代数とし，その包絡代数への自然な写像を $\iota\colon\mathfrak{g}\to\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ と書く． $(x_{i})_{i\in I}$ を全順序集合 $I$ で添字付けられた $\mathfrak{g}$ の基底とし， $\Sigma=(i_{1},\dots,i_{n})\in I^{*}$ に対して

x_{\Sigma}=\iota(x_{i_{1}})\dotsm\iota(x_{i_{n}})\in\mathbf{U}(\mathfrak{g})

と置く．

(1)

各整数 $n\geq-1$ に対して， $(x_{\Sigma})_{\Sigma\in I^{\leq n}_{\uparrow}}$ は $\mathbf{U}^{\leq n}(\mathfrak{g})$ の基底である．
(2)

$(x_{\Sigma})_{\Sigma\in I^{*}_{\uparrow}}$ は $\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ の基底である．

証明

各整数 $n\geq-1$ に対して $\mathbf{U}^{\leq n}(\mathfrak{g})=\operatorname{span}_{\mathbb{K}}\{x_{\Sigma}% \mid\Sigma\in I^{\leq n}_{\uparrow}\}$ であることを， $n$ に関する帰納法で示す． $(x_{i})_{i\in I}$ は $\mathfrak{g}$ の基底だから， $\mathbf{U}^{\leq n}(\mathfrak{g})=\operatorname{span}_{\mathbb{K}}\{x_{\Tau}% \mid\Tau\in I^{\leq n}\}$ である．したがって，任意の $\Tau\in I^{\leq n}$ に対して $x_{\Tau}\in\operatorname{span}_{\mathbb{K}}\{x_{\Sigma}\mid\Sigma\in I^{\leq n% }_{\uparrow}\}$ を示せばよい． $\Tau$ が長さ $n$ 未満のときは帰納法の仮定から従うから， $\Tau$ が長さ $n$ のときを考える． $\Tau=(i_{1},\dots,i_{n})$ として，

\operatorname{inv}(\Tau)=\#\{m\in\{1,\dots,n-1\}\mid i_{m}>i_{m+1}\}

と定める． $\operatorname{inv}(\Tau)>0$ ならば， $i_{m}>i_{m+1}$ を満たす $m$ がとれる． $\Tau$ において $i_{m}$ と $i_{m+1}$ を入れ替えたものを $\Tau^{\prime}$ と置くと， $\operatorname{inv}(\Tau^{\prime})=\operatorname{inv}(\Tau)-1$ かつ

x_{\Tau}=x_{\Tau^{\prime}}+\iota(x_{i_{1}})\dotsm\iota(x_{i_{m-1}})\iota([x_{i% _{m}},x_{i_{m+1}}])\iota(x_{i_{m+2}})\dotsm\iota(x_{i_{n}})

であり，帰納法の仮定より上式の右辺第2項は $\operatorname{span}_{\mathbb{K}}\{x_{\Sigma}\mid\Sigma\in I^{\leq n-1}_{% \uparrow}\}$ に含まれるから， $x_{\Tau}\in\operatorname{span}_{\mathbb{K}}\{x_{\Sigma}\mid\Sigma\in I^{\leq n% }_{\uparrow}\}$ をいうためには $x_{\Tau^{\prime}}\in\operatorname{span}_{\mathbb{K}}\{x_{\Sigma}\mid\Sigma\in I% ^{\leq n}_{\uparrow}\}$ をいえばよい．これを繰り返すことにより， $\operatorname{inv}(\Tau)=0$ の場合に帰着されるが，このとき $\Tau$ は昇順であり，主張は明らかである．これで，帰納法が完成した．

$(x_{\Sigma})_{\Sigma\in I^{*}_{\uparrow}}$ が線型独立であることを示す．そのために，Lie代数の準同型 $\rho\colon\mathfrak{g}\to\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(\mathbf{S}(\mathfrak{% g}))$ であって，これが誘導する単位的代数の準同型をそのまま $\rho\colon\mathbf{U}(\mathfrak{g})\to\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(\mathbf{S% }(\mathfrak{g}))$ と書くと¹¹ 1 すなわち， $\rho$ は $\mathfrak{g}$ の $\mathbf{S}(\mathfrak{g})$ 上の表現（定義3.1）であり，対応する $\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ の表現を同じ記号で表す（注意3.2）．， $(\rho(x_{\Sigma}))_{\Sigma\in I^{*}_{\uparrow}}$ が線型独立となるものを構成する．以下では，次の記号を用いる．

•

$\Sigma=(i_{1},\dots,i_{n})\in I^{n}$ に対して， $z_{\Sigma}=x_{i_{1}}\dotsm x_{i_{n}}\in\mathbf{S}^{n}(\mathfrak{g})$ と書く．
•

$i\in I$ と $\Sigma=(i_{1},\dots,i_{n})\in I^{n}$ に対して，任意の $m\in\{1,\dots,n\}$ に対して $i\leq i_{m}$ であることを， $i\leq\Sigma$ と書く．

主張2.5

各 $n\in\mathbb{N}$ に対して，次の条件を満たす線型写像 $\rho_{n}\colon\mathfrak{g}\to\operatorname{Hom}_{\mathbb{K}}(\mathbf{S}^{\leq n% }(\mathfrak{g}),\mathbf{S}(\mathfrak{g}))$ が一意に存在する．

( $\mathrm{A}_{n}$ )

任意の $i\in I$ と $\Sigma\in I^{\leq n}_{\uparrow}$ に対して， $i\leq\Sigma$ ならば $\rho_{n}(x_{i})z_{\Sigma}=z_{i}z_{\Sigma}$ である．
( $\mathrm{B}_{n}$ )

任意の $m\leq n$ ， $i\in I$ ， $\Sigma\in I^{\leq m}_{\uparrow}$ に対して， $\rho_{n}(x_{i})z_{\Sigma}\equiv z_{i}z_{\Sigma}\mod{\mathbf{S}^{\leq m}(% \mathfrak{g})}$ である．
( $\mathrm{C}_{n}$ )

任意の $i$ , $j\in I$ と $\Sigma\in I^{\leq n-1}_{\uparrow}$ に対して， $\rho_{n}([x_{i},x_{j}])z_{\Sigma}=\rho_{n}(x_{i})\rho_{n}(x_{j})z_{\Sigma}-% \rho_{n}(x_{j})\rho_{n}(x_{i})z_{\Sigma}$ （( $\mathrm{B}_{n}$ )より $\rho_{n}(x_{j})z_{\Sigma}$ , $\rho_{n}(x_{i})z_{\Sigma}\in\mathbf{S}^{\leq n}(\mathfrak{g})$ だから右辺が定義されることに注意する）である．

この主張が示されれば，一意性より $n\in\mathbb{N}$ に対する $\rho_{n}$ の全体は線型写像 $\rho\colon\mathfrak{g}\to\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(\mathbf{S}(\mathfrak{% g}))$ を定め，条件( $\mathrm{C}_{n}$ )より $\rho$ はLie代数の準同型となる．これが誘導する単位的代数の準同型をそのまま $\rho\colon\mathbf{U}(\mathfrak{g})\to\operatorname{Hom}_{\mathbb{K}}(\mathbf{S% }(\mathfrak{g}))$ と書くと， $\Sigma=(i_{1},\dots,i_{n})\in I^{*}_{\uparrow}$ に対して，条件( $\mathrm{A}_{n}$ )より

\rho(x_{\Sigma})=\rho(x_{i_{1}})\dotsm\rho(x_{i_{n}})1=x_{i_{1}}\dotsm x_{i_{n% }}=z_{\Sigma}

となり，これらは線型独立だから， $\rho(x_{\Sigma})$ の全体も線型独立となる．

主張2.5の証明

$n$ に関する帰納法で示す． $n=0$ のときは明らかである． $n\geq 1$ とし，条件を満たす $\rho_{n-1}$ が一意に存在するとして，条件を満たす $\rho_{n}$ が一意に存在することを示す．

まず，条件を満たす $\rho_{n}$ の一意性を示す． $\rho_{n-1}$ の一意性より，

\rho_{n}(x)|_{\mathbf{S}^{\leq n-1}(\mathfrak{g})}=\rho_{n-1}(x)\qquad(x\in% \mathfrak{g})

である．また， $i\in I$ と $\Sigma\in I^{n}_{\uparrow}$ に対する $\rho_{n}(x_{i})z_{\Sigma}\in\mathbf{S}(\mathfrak{g})$ は，次のように一意に定まる．

•

$i\leq\Sigma$ の場合，条件( $\mathrm{A}_{n}$ )より

$\rho(x_{i})z_{\Sigma}=z_{i}z_{\Sigma}$

である．

•

それ以外の場合， $\Sigma=(j,\Sigma^{\prime})$ （ $j\in I$ ， $\Sigma^{\prime}\in I^{n-1}$ ）と書けば， $i>j$ かつ $j\leq\Sigma^{\prime}$ である．したがって，

$\displaystyle\rho_{n}(x_{i})z_{\Sigma}$	$\displaystyle=\rho_{n}(x_{i})z_{j}z_{\Sigma^{\prime}}$
	$\displaystyle=\rho_{n}(x_{i})\rho_{n}(x_{j})z_{\Sigma^{\prime}}$	( $\mathrm{A}_{n}$ )による
	$\displaystyle=\rho_{n}(x_{j})\rho_{n}(x_{i})z_{\Sigma^{\prime}}+\rho_{n}([x_{i% },x_{j}])z_{\Sigma^{\prime}}$	( $\mathrm{C}_{n}$ )による
	$\displaystyle=\rho_{n}(x_{j})\rho_{n-1}(x_{i})z_{\Sigma^{\prime}}+\rho_{n-1}([% x_{i},x_{j}])z_{\Sigma^{\prime}}$	2.2節による

となる．さらに，条件( $\mathrm{B}_{n-1}$ )より $\rho_{n-1}(x_{i})z_{\Sigma^{\prime}}=z_{i}z_{\Sigma^{\prime}}+w$ （ $w\in\mathbf{S}^{\leq n-1}(\mathfrak{g})$ ）と書けるから，

	$\displaystyle\rho_{n}(x_{j})\rho_{n-1}(x_{i})z_{\Sigma^{\prime}}$	$\displaystyle=\rho_{n}(x_{j})(z_{i}z_{\Sigma^{\prime}}+w)$		( $\mathrm{A}_{n}$ )による
		$\displaystyle=z_{j}z_{i}z_{\Sigma^{\prime}}+\rho_{n-1}(x_{j})w$		2.2節による

となる．よって，

\rho_{n}(x_{i})z_{\Sigma}=z_{j}z_{i}z_{\Sigma^{\prime}}+\rho_{n-1}(x_{j})w+% \rho_{n-1}([x_{i},x_{j}])z_{\Sigma^{\prime}}

である．

これで，一意性が示された．

次に， $i\in I$ と $\Sigma\in I^{\leq n}_{\uparrow}$ に対して2.2節, 2.2節, 2.2節によって $\rho_{n}(x_{i})z_{\Sigma}\in\mathbf{S}(\mathfrak{g})$ を定めることにより線型写像 $\rho_{n}\colon\mathfrak{g}\to\operatorname{Hom}_{\mathbb{K}}(\mathbf{S}^{\leq n% }(\mathfrak{g}),\mathbf{S}(\mathfrak{g}))$ を定義すると，これは主張の条件を満たすことを示す．条件( $\mathrm{A}_{n}$ )と( $\mathrm{B}_{n}$ )を満たすことは明らかだから，条件( $\mathrm{C}_{n}$ )を満たすことを示す．以下，簡単のため， $\rho_{n}(x)z$ の代わりに $xz$ と書く．任意の $i$ , $j\in I$ と $\Sigma\in I^{\leq n-1}$ に対して，

[x_{i},x_{j}]z_{\Sigma}=x_{i}x_{j}z_{\Sigma}-x_{j}x_{i}z_{\Sigma}

を示したい．

(I)

$\Sigma\in I^{\leq n-2}$ の場合，2.2節は定義2.2節と( $\mathrm{C}_{n-1}$ )から従う．
(II)

$\Sigma\in I^{n-1}$ とする． $i=j$ の場合，2.2節は明らかである．

(III)

$\Sigma\in I^{n-1}$ とする． $i>j$ かつ $j\leq\Sigma$ の場合，定義2.2節と( $\mathrm{B}_{n-1}$ )より $x_{i}z_{\Sigma}=z_{i}z_{\Sigma}+w$ （ $w\in\mathbf{S}^{\leq n-1}(\mathfrak{g})$ ）と書け，

$\displaystyle x_{i}x_{j}z_{\Sigma}$	$\displaystyle=x_{i}z_{j}z_{\Sigma}$	定義2.2節と( $\mathrm{A}_{n-1}$ )による
	$\displaystyle=z_{j}z_{i}z_{\Sigma}+x_{j}w+[x_{i},x_{j}]z_{\Sigma}$	定義2.2節による
	$\displaystyle=x_{j}z_{i}z_{\Sigma}+x_{j}w+[x_{i},x_{j}]z_{\Sigma}$	定義2.2節による
	$\displaystyle=x_{j}x_{i}z_{\Sigma}$

となる．よって，2.2節が成り立つ．

(IV)

$\Sigma\in I^{n-1}$ とする． $i<j$ かつ $i\leq\Sigma$ の場合は， $[x_{i},x_{j}]=-[x_{j},x_{i}]$ より，(III)に帰着される．

(V)

$\Sigma\in I^{n-1}$ とする．上記(II), (III), (IV)以外の場合， $\Sigma=(k,\Sigma^{\prime})$ （ $k\in I$ ， $\Sigma^{\prime}\in I^{n-2}$ ）と書けば， $i$ , $j>k$ かつ $k\leq\Sigma^{\prime}$ である．定義2.2節と( $\mathrm{B}_{n-1}$ )より， $x_{j}z_{\Sigma^{\prime}}=z_{j}z_{\Sigma^{\prime}}+w^{\prime}$ （ $w^{\prime}\in\mathbf{S}^{\leq n-2}(\mathfrak{g})$ ）と書ける．(III)より

x_{i}x_{k}z_{j}z_{\Sigma^{\prime}}-x_{k}x_{i}z_{j}z_{\Sigma^{\prime}}=[x_{i},x% _{k}]z_{j}z_{\Sigma^{\prime}}

であり，(II)より

x_{i}x_{k}w^{\prime}-x_{k}x_{i}w^{\prime}=[x_{i},x_{k}]w^{\prime}

だから，これらを辺々足して

x_{i}x_{k}x_{j}z_{\Sigma^{\prime}}-x_{k}x_{i}x_{j}z_{\Sigma^{\prime}}=[x_{i},x% _{k}]x_{j}z_{\Sigma^{\prime}}

を得る．したがって，

	$\displaystyle x_{i}x_{j}z_{\Sigma}$
	$\displaystyle=x_{i}x_{j}x_{k}z_{\Sigma^{\prime}}$		定義2.2節と( $\mathrm{A}_{n-1}$ )による
	$\displaystyle=x_{i}x_{k}x_{j}z_{\Sigma^{\prime}}+x_{i}[x_{j},x_{k}]z_{\Sigma^{% \prime}}$		(II)による
	$\displaystyle=x_{i}x_{k}x_{j}z_{\Sigma^{\prime}}+[x_{j},x_{k}]x_{i}z_{\Sigma^{% \prime}}+[x_{i},[x_{j},x_{k}]]z_{\Sigma^{\prime}}$		(II)による
	$\displaystyle=x_{k}x_{i}x_{j}z_{\Sigma^{\prime}}+[x_{i},x_{k}]x_{j}z_{\Sigma^{% \prime}}+[x_{j},x_{k}]x_{i}z_{\Sigma^{\prime}}+[x_{i},[x_{j},x_{k}]]z_{\Sigma^% {\prime}}$		(V)による

である．いま， $i$ と $j$ に対する仮定は対称的だから，上式で $i$ と $j$ を入れ替えた式

x_{j}x_{i}z_{\Sigma}=x_{k}x_{j}x_{i}z_{\Sigma^{\prime}}+[x_{j},x_{k}]x_{i}z_{% \Sigma^{\prime}}+[x_{i},x_{k}]x_{j}z_{\Sigma^{\prime}}+[x_{j},[x_{i},x_{k}]]z_% {\Sigma^{\prime}}

も成り立つ．これらの2式を辺々引いて，

	$\displaystyle x_{i}x_{j}z_{\Sigma}-x_{j}x_{i}z_{\Sigma}$
	$\displaystyle=x_{k}(x_{i}x_{j}z_{\Sigma^{\prime}}-x_{j}x_{i}z_{\Sigma^{\prime}% })+([x_{i},[x_{j},x_{k}]]-[x_{j},[x_{i},x_{k}]])z_{\Sigma^{\prime}}$
	$\displaystyle=x_{k}[x_{i},x_{j}]z_{\Sigma^{\prime}}+([x_{i},[x_{j},x_{k}]]-[x_% {j},[x_{i},x_{k}]])z_{\Sigma^{\prime}}$		(II)による
	$\displaystyle=[x_{i},x_{j}]x_{k}z_{\Sigma^{\prime}}+([x_{k},[x_{i},x_{j}]]+[x_% {i},[x_{j},x_{k}]]-[x_{j},[x_{i},x_{k}]])z_{\Sigma^{\prime}}$		(II)による
	$\displaystyle=[x_{i},x_{j}]x_{k}z_{\Sigma^{\prime}}$
	$\displaystyle=[x_{i},x_{j}]z_{\Sigma}$		定義2.2節と( $\mathrm{A}_{n-1}$ )による

を得る．よって，2.2節が成り立つ．

これで，存在が示された．//

これで， $(x_{\Sigma})_{\Sigma\in I^{*}_{\uparrow}}$ が線型独立であることが示された．∎

Poincaré–Birkhoff–Wittの定理の基底によらない定式化を述べるため，用語を準備する．単位的結合代数 $A$ 上のフィルトレーション（filtration）とは， $A$ の部分ベクトル空間の増加列 $(A^{\leq n})_{n\in\mathbb{N}}$ であって， $\sum_{n\in\mathbb{N}}A^{\leq n}=A$ であり， $1\in A^{\leq 0}$ かつ任意の $m$ , $n\in\mathbb{N}$ に対して $A^{\leq m}A^{\leq n}\subseteq A^{\leq m+n}$ を満たすものをいう．単位的結合代数とその上のフィルトレーションの組を，フィルトレーション付き単位的結合代数（filtered unital associative algebra）という． $(A,(A^{\leq n})_{n\in\mathbb{N}})$ をフィルトレーション付き結合代数とするとき，

\operatorname{gr}(A)=\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}A^{\leq n}/A^{\leq n-1}

（ $A^{\leq-1}=0$ とみなす）と定めると， $A$ の乗法は $\operatorname{gr}(A)\times\operatorname{gr}(A)$ から $\operatorname{gr}(A)$ への双線型写像を誘導し，これを乗法として， $\operatorname{gr}(A)$ は次数付き単位的結合代数をなす．これを， $A$ に伴う次数付き単位的結合代数という．

$\mathfrak{g}$ をLie代数とすると， $(\mathbf{U}^{\leq n}(\mathfrak{g}))_{n\in\mathbb{N}}$ は包絡代数 $\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ 上のフィルトレーションである．次の定理では，フィルトレーション付き単位的結合代数 $(\mathbf{U}(\mathfrak{g}),(\mathbf{U}^{\leq n}(\mathfrak{g}))_{n\in\mathbb{N}})$ に伴う次数付き単位的結合代数

\operatorname{gr}(\mathbf{U}(\mathfrak{g}))=\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathbf{% U}^{\leq n}(\mathfrak{g})/\mathbf{U}^{\leq n-1}(\mathfrak{g})

を考える．

定理2.6 (Poincaré–Birkhoff–Wittの定理II)

$\mathfrak{g}$ をLie代数とし，テンソル代数から包絡代数への等化準同型を $\pi\colon\mathbf{T}(\mathfrak{g})\to\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ と書く．線型写像 $\widetilde{\Phi}=\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\widetilde{\Phi}_{n}\colon\mathbf{T% }(\mathfrak{g})\to\operatorname{gr}(\mathbf{U}(\mathfrak{g}))$ を

\widetilde{\Phi}_{n}\colon\mathbf{T}^{n}(\mathfrak{g})\to\mathbf{U}^{\leq n}(% \mathfrak{g})/\mathbf{U}^{\leq n-1}(\mathfrak{g}),\quad\widetilde{\Phi}_{n}(t)% =\pi(t)+\mathbf{U}^{\leq n-1}(\mathfrak{g})

によって定めると， $\widetilde{\Phi}$ は次数付き単位的代数の準同型であり，次数付き単位的代数の同型

\Phi\colon\mathbf{S}(\mathfrak{g})\to\operatorname{gr}(\mathbf{U}(\mathfrak{g}))

を誘導する．

証明

Lie代数 $\mathfrak{g}$ からその包絡代数への自然な写像を $\iota\colon\mathfrak{g}\to\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ と書く． $\widetilde{\Phi}(1)=1$ であり，任意の $m$ , $n\in\mathbb{N}$ と $x_{1}$ , $\dots$ , $x_{m}$ , $y_{1}$ , $\dots y_{n}\in\mathfrak{g}$ に対して

	$\displaystyle\widetilde{\Phi}_{m}(x_{1}\otimes\dots\otimes x_{m})\widetilde{% \Phi}_{n}(y_{1}\otimes\dots\otimes y_{n})$	$\displaystyle=(\iota(x_{1})\dotsm\iota(x_{m})+\mathbf{U}^{\leq m-1}(\mathfrak{% g}))(\iota(y_{1})\dotsm\iota(y_{n})+\mathbf{U}^{\leq m-1}(\mathfrak{g}))$
		$\displaystyle=\iota(x_{1})\dotsm\iota(x_{m})\iota(y_{1})\dotsm\iota(y_{n})+% \mathbf{U}^{\leq m+n-1}(\mathfrak{g})$
		$\displaystyle=\widetilde{\Phi}_{m+n}(x_{1}\otimes\dots\otimes x_{m}\otimes y_{% 1}\otimes\dots\otimes y_{n})$

だから， $\widetilde{\Phi}=\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\widetilde{\Phi}_{n}\colon\mathbf{T% }(\mathfrak{g})\to\operatorname{gr}(\mathbf{U}(\mathfrak{g}))$ は次数付き単位的代数の準同型である．さらに，任意の $x$ , $y\in\mathfrak{g}$ に対して

	$\displaystyle\widetilde{\Phi}(x\otimes y-y\otimes x)$	$\displaystyle=\iota(x)\iota(y)-\iota(y)\iota(x)+\mathbf{U}^{\leq 1}(\mathfrak{% g})$
		$\displaystyle=\iota([x,y])+\mathbf{U}^{\leq 1}(\mathfrak{g})$
		$\displaystyle=0+\mathbf{U}^{\leq 1}(\mathfrak{g})$

だから， $\widetilde{\Phi}$ は次数付き単位的代数の準同型 $\Phi\colon\mathbf{S}(\mathfrak{g})\to\operatorname{gr}(\mathbf{U}(\mathfrak{g}))$ を誘導する．あとは， $\Phi$ が線型同型であることを示せばよい．

全順序集合で添字付けられた $\mathfrak{g}$ の基底 $(x_{i})_{i\in I}$ をとる． $n\in\mathbb{N}$ とすると， $(i_{1},\dots,i_{n})\in I^{n}_{\uparrow}$ に対する $x_{i_{1}}\dotsm x_{i_{n}}$ の全体は $\mathbf{S}^{n}(\mathfrak{g})$ の基底をなす．一方で，定理2.4 (1)より， $(i_{1},\dots,i_{n})\in I^{n}_{\uparrow}$ に対する $\iota(x_{i_{1}})\dotsm\iota(x_{i_{n}})+\mathbf{U}^{\leq n-1}(\mathfrak{g})$ の全体は $\mathbf{U}^{\leq n}(\mathfrak{g})/\mathbf{U}^{\leq n-1}(\mathfrak{g})$ の基底をなす． $\Phi$ は，各 $x_{i_{1}}\dotsm x_{i_{n}}$ を $\iota(x_{i_{1}})\dotsm\iota(x_{i_{n}})+\mathbf{U}^{\leq n-1}(\mathfrak{g})$ に移すから，線型同型である．∎

系2.7

Lie代数 $\mathfrak{g}$ からその包絡代数 $\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ への自然な写像 $\iota\colon\mathfrak{g}\to\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ は，単射である．

証明

全順序集合で添字付けられた $\mathfrak{g}$ の基底 $(x_{i})_{i\in I}$ をとる．Poincaré–Birkhoff–Wittの定理（定理2.4）より， $(\iota(x_{i}))_{i\in I}$ は $\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ において線型独立だから，自然な写像 $\iota\colon\mathfrak{g}\to\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ は単射である．∎

系2.7を踏まえて， $\mathfrak{g}$ をLie代数とするとき，包絡代数への自然な写像による $x\in\mathfrak{g}$ の像を，しばしばそのまま $x$ と書く．

系2.8

Lie代数 $\mathfrak{g}$ , $\mathfrak{h}$ の間の単射準同型 $f\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}$ が誘導する包絡代数の間の単位的代数の準同型 $\widetilde{f}\colon\mathbf{U}(\mathfrak{g})\to\mathbf{U}(\mathfrak{h})$ は，単射である．

証明

全順序集合で添字付けられた $\mathfrak{g}$ の基底 $(x_{i})_{i\in I}$ をとる．さらに，全順序集合で添字付けられた $\mathfrak{h}$ の基底 $(y_{j})_{j\in J}$ であって， $I$ は $J$ の部分順序集合であり， $i\in I$ に対しては $y_{i}=f(x_{i})$ であるものをとる．定理2.4より， $(x_{i_{1}}\dotsm x_{i_{n}})_{(i_{1},\dots,i_{n})\in I^{*}_{\uparrow}}$ は $\mathbf{U}(\mathfrak{g})$ の基底であり， $(y_{j_{1}}\dotsm y_{j_{n}})_{(j_{1},\dots,j_{n})\in J^{*}_{\uparrow}}$ は $\mathbf{U}(\mathfrak{h})$ の基底である． $\widetilde{f}$ は，各 $x_{i_{1}}\dotsm x_{i_{n}}$ を $f(x_{i_{1}})\dotsm f(x_{i_{n}})=y_{i_{1}}\dotsm y_{i_{n}}$ に移すから，単射である．∎