2 𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)の表現 | 分裂簡約Lie代数

Lie代数

\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})=\{x\in\mathfrak{gl}(2,\mathbb{K})\mid\operatorname% {tr}(x)=0\}

を考え，

H=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}

と置くと， $(H,X,Y)$ は $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ の基底である．これを， $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ の標準基底（standard basis）という．これらの元 $H$ , $X$ , $Y$ は，関係式

[H,X]=2X,\qquad[H,Y]=-2Y,\qquad[X,Y]=H

を満たす．

本節では，特に断らなくても， $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ の標準基底を記号 $(H,X,Y)$ で表す．

2.1 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群のウェイト

定義2.1 (ウェイト)

$V$ を $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群とする． $H\in\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ の $V$ への作用の固有値，固有ベクトル，固有空間を，それぞれ， $V$ のウェイト（weight），ウェイトベクトル（weight vector），ウェイト空間（weight space）という． $H$ の $V$ への作用における固有値 $\lambda\in\mathbb{K}$ の重複度を， $V$ におけるウェイト $\lambda$ の重複度（multiplicity）という．

定義2.2 (ウェイト加群)

$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群 $V$ は，それがウェイト空間の直和に分解される（すなわち， $H\in\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ の $V$ への作用が対角化可能である）とき，ウェイト加群（weight module）であるという．

命題2.3

$V$ を $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群とする． $v\in V$ がウェイト $\lambda\in\mathbb{K}$ のウェイトベクトルならば， $Xv$ はウェイト $\lambda+2$ のウェイトベクトルであり， $Yv$ はウェイト $\lambda-2$ のウェイトベクトルである．

証明

$v\in V$ がウェイト $\lambda\in\mathbb{K}$ のウェイトベクトルであるとすると， $Hv=\lambda v$ だから，

	$\displaystyle HXv$	$\displaystyle=XHv+[H,X]v=\lambda Xv+2Xv=(\lambda+2)Xv,$
	$\displaystyle HYv$	$\displaystyle=YHv+[H,Y]v=\lambda Yv-2Yv=(\lambda-2)Yv$

である．すなわち， $Xv$ はウェイト $\lambda+2$ のウェイトベクトルであり， $Yv$ はウェイト $\lambda-2$ のウェイトベクトルである．∎

命題2.4

$f\colon V\to W$ を $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群の間の $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 準同型とする． $v\in V$ がウェイト $\lambda\in\mathbb{K}$ のウェイトベクトルならば， $f(v)\in W$ はウェイト $\lambda$ のウェイトベクトルである．

証明

$v\in V$ がウェイト $\lambda\in\mathbb{K}$ のウェイトベクトルであるとすると， $Hv=\lambda v$ だから，

Hf(v)=f(Hv)=\lambda f(v)

である．すなわち， $f(v)$ はウェイト $\lambda$ のウェイトベクトルである．∎

2.2 最高ウェイト $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群

定義2.5 (極大ベクトル)

$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群 $V$ のウェイトベクトル $e\neq 0$ であって $Xe=0$ を満たすものを， $V$ の極大ベクトル（maximal vector）という． $V$ の極大ベクトルであって $V$ を $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群として生成するものを， $V$ の極大生成ベクトル（maximal generating vector）という．

定義2.6 (最高ウェイト加群)

$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群 $V$ がウェイト $\lambda\in\mathbb{K}$ の極大生成ベクトルをもつとき， $V$ は最高ウェイト $\lambda$ の最高ウェイト加群（highest weight module of highest weight $\lambda$ ）であるという．

命題2.7

$\mathbb{K}$ を標数 $0$ の可換体とする． $V$ をウェイト $\lambda\in\mathbb{K}$ の極大ベクトル $e$ をもつ $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群とし， $n\in\mathbb{N}$ に対して

e_{n}=\frac{1}{n!}Y^{n}e

と定める．

(1)

任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して，

$He_{n}=(\lambda-2n)e_{n},\qquad Xe_{n}=(\lambda-n+1)e_{n-1},\qquad Ye_{n}=(n+1% )e_{n+1}$

が成り立つ．ただし， $e_{-1}=0$ とみなす．

以下では，さらに， $e$ が $V$ の極大生成ベクトルである（したがって， $V$ は最高ウェイト $\lambda$ の最高ウェイト加群である）とする．

(2)

任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して $e_{n}\neq 0$ であるとする．このとき， $(e_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ は $V$ の基底である．
(3)

ある $n\in\mathbb{N}$ に対して $e_{n}=0$ であるとして， $m=\max\{n\in\mathbb{N}\mid e_{n}\neq 0\}$ と置く．このとき， $(e_{0},\dots,e_{m})$ は $V$ の基底であり， $\lambda=m$ である．

証明

(1) $H$ の作用に関する主張は命題2.3から従い， $Y$ の作用に関する主張は $e_{n}$ の定義から明らかである． $X$ の作用に関する主張を， $n\in\mathbb{N}$ に関する帰納法で示す． $n=0$ のとき， $e_{0}=e$ は極大ベクトルだから $Xe_{0}=0$ である． $n\geq 1$ とし， $Xe_{n-1}=(\lambda-n+2)e_{n-2}$ が成り立つとすると，

	$\displaystyle nXe_{n}$	$\displaystyle=XYe_{n-1}$
		$\displaystyle=YXe_{n-1}+[X,Y]e_{n-1}$
		$\displaystyle=Y(\lambda-n+2)e_{n-2}+He_{n-1}$
		$\displaystyle=(n-1)(\lambda-n+2)e_{n-1}+(\lambda-2n+2)e_{n-1}$
		$\displaystyle=n(\lambda-n+1)e_{n-1}$

となり， $Xe_{n}=(\lambda-n+1)e_{n-1}$ が成り立つ．これで，帰納法が完成した．

(2) (1)より， $\operatorname{span}\{e_{n}\mid n\in\mathbb{N}\}$ は $V$ の部分 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群である． $e_{0}=e$ は $V$ を $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群として生成するから， $V=\operatorname{span}\{e_{n}\mid n\in\mathbb{N}\}$ である．また，仮定より $e_{n}$ はいずれも $0$ でなく，(1)よりすべて異なるウェイトのウェイトベクトルだから， $(e_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ は線型独立である．よって， $(e_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ は $V$ の基底である．

(3) $(e_{0},\dots,e_{m})$ が $V$ の基底であることは，(2)と同様にして示せる．また， $e_{m}\neq 0$ かつ $e_{m}=0$ であり，一方で(1)より $Xe_{m+1}=(\lambda-m)e_{m}$ だから， $\lambda=m$ が成り立つ． ∎

最高ウェイト $\lambda\in\mathbb{K}$ の最高ウェイト $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群は，もし存在すれば，その構造は命題2.7によって決まってしまう．分類を完成させるために，与えられた最高ウェイトの最高ウェイト $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群を具体的に構成する．

$\lambda\in\mathbb{K}$ に対して，ベクトル空間としては $M(\lambda)=\mathbb{K}^{\oplus\mathbb{N}}$ と定め（その標準基底を $(e_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ と書く）， $H$ , $X$ , $Y\in\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ の $M(\lambda)$ への線型作用を

He_{n}=(\lambda-2n)e_{n},\qquad Xe_{n}=(\lambda-n+1)e_{n-1},\qquad Ye_{n}=(n+1% )e_{n+1}

によって定める（ただし， $e_{-1}=0$ とみなす）．これらの作用を標準基底 $(e_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ に関して行列表示すれば，

H=\begin{pmatrix}\lambda&&&\\ &\lambda-2&&\\ &&\lambda-4&\\ &&&\ddots\\ \end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}0&\lambda&&\\ &0&\lambda-1&\\ &&0&\ddots\\ &&&\ddots\\ \end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}0&&&\\ 1&0&&\\ &2&0&\\ &&\ddots&\ddots\\ \end{pmatrix}

となる．容易に確かめられるように，これらの作用によって， $M(\lambda)$ は $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群をなす．明らかに， $e_{0}$ は $M(\lambda)$ のウェイト $\lambda$ の極大生成ベクトルである．

さらに， $\lambda\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ であるとする．このとき， $M(\lambda)$ において $Xe_{\lambda+1}=(\lambda-(\lambda+1)+1)e_{\lambda}=0$ だから，

N(\lambda)=\operatorname{span}\{e_{\lambda+1},e_{\lambda+2},\dots\}

と定めると，これは $M(\lambda)$ の部分 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群である．これを用いて

L(\lambda)=M(\lambda)/N(\lambda)

と定め， $M(\lambda)$ から $N(\lambda)$ への等化準同型による各 $e_{n}$ の像をそのまま $e_{n}$ と書く．明らかに， $L(\lambda)$ は $(e_{0},\dots,e_{\lambda})$ を基底にもつ $\lambda+1$ 次元の $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群であり， $e_{0}$ は $L(\lambda)$ のウェイト $\lambda$ の極大生成ベクトルである． $H$ , $X$ , $Y\in\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ の $L(\lambda)$ への作用を基底 $(e_{0},\dots,e_{\lambda})$ に関して行列表示すれば，

H=\begin{pmatrix}\lambda&&&&\\ &\lambda-2&&&\\ &&\lambda-4&&\\ &&&\ddots&\\ &&&&-\lambda\\ \end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}0&\lambda&&&\\ &0&\lambda-1&&\\ &&0&\ddots&\\ &&&\ddots&1\\ &&&&0\\ \end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}0&&&&\\ 1&0&&&\\ &2&0&&\\ &&\ddots&\ddots&\\ &&&\lambda&0\\ \end{pmatrix}

となる．

定理2.8 (最高ウェイト ${\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})}$ 加群の分類)

$\mathbb{K}$ を標数 $0$ の可換体とする． $\lambda\in\mathbb{K}$ とする．

(1)

$\lambda\notin\mathbb{Z}_{\geq 0}$ であるとする．このとき，最高ウェイト $\lambda$ の最高ウェイト $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群は，同型を除いて $M(\lambda)$ のみである． $M(\lambda)$ は無限次元かつ既約なウェイト加群であり，そのウェイトは $\lambda$ , $\lambda-2$ , $\lambda-4$ , $\dots$ （すべて重複度 $1$ ）である．
(2)

$\lambda\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ であるとする．このとき，最高ウェイト $\lambda$ の最高ウェイト $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群は，同型を除いて $M(\lambda)$ と $L(\lambda)$ のみである． $M(\lambda)$ は無限次元かつ可約なウェイト加群であり，そのウェイトは $\lambda$ , $\lambda-2$ , $\lambda-4$ , $\dots$ （すべて重複度 $1$ ）である． $L(\lambda)$ は $\lambda+1$ 次元かつ既約なウェイト加群であり，そのウェイトは $\lambda$ , $\lambda-2$ , $\lambda-4$ , $\dots$ , $-\lambda$ （すべて重複度 $1$ ）である．

証明

最高ウェイト加群の分類に関する主張は，命題2.7から従う．次元とウェイトに関する主張は，明らかである．

既約性に関する主張を示す．まず， $\lambda\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ であるとすると， $M(\lambda)$ は，部分 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群 $N(\lambda)\neq 0$ , $M(\lambda)$ をもつから，可約である．次に， $\lambda\notin\mathbb{Z}_{\geq 0}$ であるとして， $M(\lambda)$ の部分 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群 $N\neq 0$ を任意にとる． $v\in M\setminus\{0\}$ を一つ固定して $v=\sum_{n=0}^{m}c_{n}e_{n}$ （ $c_{n}\in\mathbb{K}$ ， $c_{m}\neq 0$ ）と表すと，命題2.7より

X^{m}v=\sum_{n=0}^{m}c_{n}X^{m}e_{n}=c_{m}(\lambda-p+1)(\lambda-p+2)\dotsm% \lambda e_{0}

である．これは， $\lambda\notin\mathbb{Z}_{\geq 0}$ より $e_{0}$ の $0$ でないスカラー倍であり， $N$ に属する． $e_{0}$ は $M(\lambda)$ を $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群として生成するから， $N=M(\lambda)$ となる．よって， $M(\lambda)$ は既約である． $\lambda\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ である場合に $L(\lambda)$ が既約であることも，同様にして示せる．∎

系2.9

$\mathbb{K}$ を標数 $0$ の可換体とする． $V$ をウェイト $\lambda\in\mathbb{K}$ の極大ベクトル $e$ をもつ $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群とし， $e$ が生成する $V$ の部分 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ を $M$ と置く． $M$ が有限次元ならば， $\lambda=\dim M-1\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ である．

証明

$e$ は $M$ の極大生成ベクトルだから，主張は，最高ウェイト $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群の分類（定理2.8）から従う．∎

2.3 有限次元既約 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群

補題2.10

$A$ を単位的結合代数とする²² 2 本小節の範囲では， $A=\mathbf{U}(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K}))$ であり，下記の $h$ , $x$ , $y$ がそれぞれ $H$ , $X$ , $Y$ である場合だけで十分である．一般の場合の主張は，補題3.21の証明で用いられる（この補題は，存在定理（定理3.22）の証明で用いられる）．．

(1)

$h$ , $x\in A$ が $[h,x]=2x$ を満たすならば，任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して， $[h,x^{n}]=2nx^{n}$ が成り立つ．
(2)

$h$ , $x$ , $y\in A$ が $[h,x]=2x$ かつ $[x,y]=h$ を満たすならば，任意の $n\in\mathbb{N}_{>0}$ に対して， $[x^{n},y]=nx^{n-1}(h+n-1)=n(h-n+1)x^{n-1}$ が成り立つ．

証明

(1) $[h,x]=2x$ だから， $n\in\mathbb{N}$ に対して，

[h,x^{n}]=\sum_{i=0}^{n-1}x^{i}[h,x]x^{n-1-i}=2nx^{n}

である．

(2) $[x,y]=h$ であることと(1)より， $n\in\mathbb{N}_{>0}$ に対して，

	$\displaystyle[x^{n},y]$	$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n-1}x^{i}[x,y]x^{n-1-i}$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n-1}x^{i}hx^{n-1-i}$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n-1}x^{i}(x^{n-1-i}h+[h,x^{n-1-i}])$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n-1}x^{i}(x^{n-1-i}h+2(n-1-i)x^{n-1-i})$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n-1}x^{n-1}(h+2(n-1-i))$
		$\displaystyle=nx^{n-1}(h+n-1)$

である．また，(1)より $[h,x^{n-1}]=2(n-1)x^{n-1}$ だから，

	$\displaystyle nx^{n-1}(h+n-1)$	$\displaystyle=n(h+n-1)x^{n-1}-[h,x^{n-1}]$
		$\displaystyle=n(h+n-1)x^{n-1}-2(n-1)x^{n-1}$
		$\displaystyle=n(h-n+1)x^{n-1}$

である． ∎

命題2.11

$\mathbb{K}$ を標数 $0$ の可換体とする． $0$ でない有限次元 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群 $V$ は，極大ベクトルをもつ．

証明

$X\in\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ は $\mathbb{K}^{2}$ 上の線型写像として冪零だから，その $V$ への作用も冪零である（参照）．そこで， $X^{n}\in\mathbf{U}(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K}))$ の $V$ への作用が $0$ になるような最小の $n\in\mathbb{N}$ をとる． $V\neq 0$ だから， $n\geq 1$ である． $X^{n-1}v\neq 0$ を満たす $v\in V$ をとり， $e=X^{n-1}v$ と置く．すると， $e\neq 0$ かつ $Xe=0$ である．また，

n(H-n+1)e=n(H-n+1)X^{n-1}v=[X^{n},Y]v=0

（第2の等号は補題2.10 (2)から，第3の等号は $X^{n}$ の $V$ への作用が $0$ であることから従う）だから， $He=(n-1)e$ である．よって， $e$ は $V$ の極大ベクトルである．∎

定理2.12 (有限次元既約 ${\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})}$ 加群の分類)

$\mathbb{K}$ を標数 $0$ の可換体とする．有限次元既約 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群は， $\lambda\in\mathbb{N}$ に対する $L(\lambda)$ で同型を除いて尽くされる． $L(\lambda)$ は $\lambda+1$ 次元のウェイト加群であり，そのウェイトは $\lambda$ , $\lambda-2$ , $\lambda-4$ , $\dots$ , $-\lambda$ （すべて重複度 $1$ ）である．

証明

$0$ でない有限次元 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群は極大ベクトルをもち（命題2.11），有限次元既約 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群の場合，それは自動的に極大生成ベクトルとなる．よって，主張は，最高ウェイト $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群の分類（定理2.8）から従う．∎

系2.13

$\mathbb{K}$ を標数 $0$ の可換体とする． $V$ を有限次元 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群とし，それにおけるウェイト $\lambda\in\mathbb{K}$ の重複度を $m_{\lambda}$ と書く．

(1)

$V$ はウェイト加群であり，そのウェイトはすべて整数である．
(2)

任意の $\lambda\in\mathbb{K}$ に対して， $m_{\lambda}=m_{-\lambda}$ である．
(3)

$m_{0}\geq m_{2}\geq m_{4}\geq\dotsb$ かつ $m_{1}\geq m_{3}\geq m_{5}\geq\dotsb$ である．
(4)

$V$ は完全可約である．さらに， $L(\lambda)$ （ $\lambda\in\mathbb{N}$ ）の $V$ における重複度は， $m_{\lambda+2}-m_{\lambda}$ である．

証明

Weylの完全可約性定理より $V$ は完全可約だから，主張は， $V$ が有限次元既約 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群である場合に示せば十分である．この場合の主張は，いずれも，有限次元既約 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群の分類（定理2.12）から容易に確かめられる．∎

系2.14

$\mathbb{K}$ を標数 $0$ の可換体とする． $V$ を有限次元 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$ 加群とし，そのウェイト $\lambda\in\mathbb{K}$ のウェイト空間を $V_{\lambda}$ と書く．

(1)

$X$ の作用が定める $V_{\lambda}$ から $V_{\lambda+2}$ への線型写像（命題2.3より定まる）は， $\lambda$ が $-1$ 以下の整数のとき単射であり， $-1$ 以上の整数のとき全射である．
(2)

$Y$ の作用が定める $V_{\lambda}$ から $V_{\lambda-2}$ への線型写像（命題2.3より定まる）は， $\lambda$ が $1$ 以下の整数のとき全射であり， $1$ 以上の整数のとき単射である．

2 𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})の表現

2.1 𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})加群のウェイト