SOCCULUS

UNIT:分裂簡約Lie代数@

3 分裂簡約Lie代数

3.1 分裂簡約Lie代数とそのルート系

定義3.1 (分裂半単純・簡約Lie代数)

𝔤\mathfrak{g}を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の簡約Lie代数とする．𝔤\mathfrak{g}の分裂化Cartan部分代数（splitting Cartan subalgebra）とは，𝔤\mathfrak{g}のCartan部分代数𝔥\mathfrak{h}であって，ad𝔤⁡(𝔥)\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h})が同時対角化可能であるものをいう．このような𝔥\mathfrak{h}が存在するとき，𝔤\mathfrak{g}は分裂可能（splittable）であるといい，組(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を分裂簡約Lie代数（split reductive Lie algebra）という．さらに，𝔤\mathfrak{g}が半単純・単純である場合には，それぞれ，組(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を分裂半単純Lie代数（split semisimple Lie algebra）・分裂単純Lie代数（split simple Lie algebra）という．

分裂簡約Lie代数(𝔤1,𝔥1)(\mathfrak{g}_{1},\mathfrak{h}_{1})から(𝔤2,𝔥2)(\mathfrak{g}_{2},\mathfrak{h}_{2})への同型（isomorphism）とは，同型ϕ:𝔤1→𝔤2\phi\colon\mathfrak{g}_{1}\to\mathfrak{g}_{2}であってϕ⁢(𝔥1)=𝔥2\phi(\mathfrak{h}_{1})=\mathfrak{h}_{2}を満たすものをいう．これが存在するとき，(𝔤1,𝔥1)(\mathfrak{g}_{1},\mathfrak{h}_{1})と(𝔤2,𝔥2)(\mathfrak{g}_{2},\mathfrak{h}_{2})は同型（isomorphic）であるという．

𝔤\mathfrak{g}を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の簡約Lie代数とし，𝔥\mathfrak{h}をそのCartan部分代数とすると，𝔥\mathfrak{h}は可換であり，ad𝔤⁡(𝔥)\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h})の任意の元は半単純である（定理1.35）．したがって，𝔥\mathfrak{h}が𝔤\mathfrak{g}の分裂化Cartan部分代数であるためには，ad𝔤⁡(𝔥)\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h})の任意の元が三角化可能であれば十分である．

(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂簡約Lie代数とするとき，写像α∈𝕂𝔥\alpha\in\mathbb{K}^{\mathfrak{h}}に対応するad𝔤⁡(𝔥)\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h})の同時固有空間を，𝔤α\mathfrak{g}_{\alpha}と書く．すなわち，

𝔤α={x∈𝔤∣任意のh∈𝔥に対して[h,x]=α⁢(h)⁢x}\mathfrak{g}_{\alpha}=\{x\in\mathfrak{g}\mid\text{任意の$h\in\mathfrak{h}$に対して$[h% ,x]=\alpha(h)x$}\}

と書く．明らかに，𝔤α≠0\mathfrak{g}_{\alpha}\neq 0となりうるのはα∈𝔥∗\alpha\in\mathfrak{h}^{*}のときだけである．

定義3.2 (分裂簡約Lie代数のルート系)

標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂簡約Lie代数(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})のルート系（root system）を，

Δ⁢(𝔤,𝔥)={α∈𝔥∗∖{0}∣𝔤α≠0}\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})=\{\alpha\in\mathfrak{h}^{*}\setminus\{0\}% \mid\mathfrak{g}_{\alpha}\neq 0\}

と定める．Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})の各元を，(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})のルート（root）という．

(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂簡約Lie代数とすると，ad𝔤⁡(𝔥)\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h})は同時対角化可能であり，定理1.35より𝔤0=𝐙𝔤⁢(𝔥)=𝔥\mathfrak{g}_{0}=\mathbf{Z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h})=\mathfrak{h}だから，直和分解

𝔤=𝔥⊕⨁α∈Δ⁢(𝔤,𝔥)𝔤α\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},% \mathfrak{h})}\mathfrak{g}_{\alpha}

が成立する．これを，(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})のルート空間分解（root space decomposition）といい，各𝔤α\mathfrak{g}_{\alpha}（α∈Δ⁢(𝔤,𝔥)\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})）を，ルート空間（root space）という．𝔤\mathfrak{g}は有限次元だから，ルート系Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})は有限である．

注意3.3

(𝔤i)i∈I(\mathfrak{g}_{i})_{i\in I}を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の簡約Lie代数の有限族とし，𝔤=⨁i∈I𝔤i\mathfrak{g}=\bigoplus_{i\in I}\mathfrak{g}_{i}と置く．このとき，𝔤\mathfrak{g}のCartan部分代数𝔥\mathfrak{h}は，各𝔤i\mathfrak{g}_{i}のCartan部分代数𝔥i\mathfrak{h}_{i}を用いて𝔥=⨁i∈I𝔥i\mathfrak{h}=\bigoplus_{i\in I}\mathfrak{h}_{i}と書ける（命題1.5）．h=∑i∈Ihih=\sum_{i\in I}h_{i}（hi∈𝔥ih_{i}\in\mathfrak{h}_{i}）に対して，

ad𝔤⁡(h)=⨁i∈Iad𝔤i⁡(hi)\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(h)=\bigoplus_{i\in I}\operatorname{ad}_{% \mathfrak{g}_{i}}(h_{i})

だから，ad𝔥⁡(h)\operatorname{ad}_{\mathfrak{h}}(h)が対角化可能であるための必要十分条件は，各ad𝔥i⁡(hi)\operatorname{ad}_{\mathfrak{h}_{i}}(h_{i})が対角化可能であることである．したがって，𝔥\mathfrak{h}が𝔤\mathfrak{g}の分裂化Cartan部分代数であるための必要十分条件は，各𝔥i\mathfrak{h}_{i}が𝔤i\mathfrak{g}_{i}の分裂化Cartan部分代数であることである．さらに，これらの条件の下で，α∈𝔥∗\alpha\in\mathfrak{h}^{*}に対して，

𝔤α={𝔥=⨁i∈I𝔥i(α=0)(𝔤i)α|𝔥i(α|𝔥i≠0かつ任意のj∈I∖{i}に対してα|𝔥j=0)0(任意のj∈Iに対してα|𝔥j≠0)\mathfrak{g}_{\alpha}=\begin{cases}\mathfrak{h}=\bigoplus_{i\in I}\mathfrak{h}% _{i}&(\alpha=0)\\ (\mathfrak{g}_{i})_{\alpha|_{\mathfrak{h}_{i}}}&(\text{$\alpha|_{\mathfrak{h}_% {i}}\neq 0$かつ任意の$j\in I\setminus\{i\}$に対して$\alpha|_{\mathfrak{h}_{j}}=0$})\\ 0&(\text{任意の$j\in I$に対して$\alpha|_{\mathfrak{h}_{j}}\neq 0$})\end{cases}

が成り立つ．特に，𝔥∗\mathfrak{h}^{*}から⨁i∈I𝔥i∗\bigoplus_{i\in I}\mathfrak{h}_{i}^{*}への自然な線型同型写像は，Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})から∐i∈IΔ⁢(𝔤i,𝔥i)\coprod_{i\in I}\Delta(\mathfrak{g}_{i},\mathfrak{h}_{i})への全単射を与える．

注意3.4

𝔤\mathfrak{g}を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の簡約Lie代数とすると，𝔤\mathfrak{g}は半単純Lie代数𝔤′=[𝔤,𝔤]\mathfrak{g}^{\prime}=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]と可換Lie代数𝐙⁢(𝔤)\mathbf{Z}(\mathfrak{g})の（Lie代数としての）直和に分解される（参照）．よって，注意3.3の特別な場合として，次のことがいえる．

  • •

    𝔤\mathfrak{g}のCartan部分代数𝔥\mathfrak{h}は，𝔤′\mathfrak{g}^{\prime}のCartan部分代数𝔥′\mathfrak{h}^{\prime}を用いて，𝔥=𝔥′⊕𝐙⁢(𝔤)\mathfrak{h}=\mathfrak{h}^{\prime}\oplus\mathbf{Z}(\mathfrak{g})と書ける．𝔥\mathfrak{h}が𝔤\mathfrak{g}の分裂化Cartan部分代数であるための必要十分条件は，𝔥′\mathfrak{h}^{\prime}が𝔤′\mathfrak{g}^{\prime}の分裂化Cartan部分代数であることである．

  • •

    上記の条件の下で，α∈𝔥∗\alpha\in\mathfrak{h}^{*}に対して，

    𝔤α={𝔥=𝔥′⊕𝐙⁢(𝔤)(α=0)𝔤α|𝔥′′(α≠0かつα|𝐙⁢(𝔤)=0)0(α|𝐙⁢(𝔤)≠0)\mathfrak{g}_{\alpha}=\begin{cases}\mathfrak{h}=\mathfrak{h}^{\prime}\oplus% \mathbf{Z}(\mathfrak{g})&(\alpha=0)\\ \mathfrak{g}^{\prime}_{\alpha|_{\mathfrak{h}^{\prime}}}&(\text{$\alpha\neq 0$か% つ$\alpha|_{\mathbf{Z}(\mathfrak{g})}=0$})\\ 0&(\alpha|_{\mathbf{Z}(\mathfrak{g})}\neq 0)\end{cases}

    が成り立つ．特に，ルート系Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})はV={α∈𝔥∗∣α|𝐙⁢(𝔤)=0}V=\{\alpha\in\mathfrak{h}^{*}\mid\alpha|_{\mathbf{Z}(\mathfrak{g})}=0\}に含まれ，VVから𝔥′∗{\mathfrak{h}^{\prime}}^{*}への線型同型写像α↦α|𝔥′\alpha\mapsto\alpha|_{\mathfrak{h}^{\prime}}は，Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})からΔ⁢(𝔤′,𝔥′)\Delta(\mathfrak{g}^{\prime},\mathfrak{h}^{\prime})への全単射を与える．

注意3.5

𝕂\mathbb{K}を標数0の可換体とし，𝕂′\mathbb{K}^{\prime}をその拡大体とする．(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を𝕂\mathbb{K}上の分裂簡約Lie代数とすると，𝔥(𝕂′)\mathfrak{h}_{(\mathbb{K}^{\prime})}は𝔤(𝕂′)\mathfrak{g}_{(\mathbb{K}^{\prime})}のCartan部分代数であり（命題1.6 (1)），ad𝔤(𝕂′)⁡(𝔥(𝕂′))={T(𝕂′)∣T∈ad𝔤⁡(𝔥)}\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}_{(\mathbb{K}^{\prime})}}(\mathfrak{h}_{(% \mathbb{K}^{\prime})})=\{T_{(\mathbb{K}^{\prime})}\mid T\in\operatorname{ad}_{% \mathfrak{g}}(\mathfrak{h})\}は同時対角化可能だから，(𝔤(𝕂′),𝔥(𝕂′))(\mathfrak{g}_{(\mathbb{K}^{\prime})},\mathfrak{h}_{(\mathbb{K}^{\prime})})は𝕂′\mathbb{K}^{\prime}上の分裂簡約Lie代数である．また，α′∈(𝔥(𝕂′))∗\alpha^{\prime}\in(\mathfrak{h}_{(\mathbb{K}^{\prime})})^{*}に対して，

(𝔤(𝕂′))α′={(𝔤α)(𝕂′)(α′=α(𝕂′), α∈𝔥∗)0(それ以外)(\mathfrak{g}_{(\mathbb{K}^{\prime})})_{\alpha^{\prime}}=\begin{cases}(% \mathfrak{g}_{\alpha})_{(\mathbb{K}^{\prime})}&(\text{$\alpha^{\prime}=\alpha_% {(\mathbb{K}^{\prime})}$, $\alpha\in\mathfrak{h}^{*}$})\\ 0&(\text{それ以外})\end{cases}

が成り立つ．特に，𝔥∗\mathfrak{h}^{*}から(𝔥(𝕂′))∗(\mathfrak{h}_{(\mathbb{K}^{\prime})})^{*}への写像α↦α(𝕂′)\alpha\mapsto\alpha_{(\mathbb{K}^{\prime})}は，Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})からΔ⁢(𝔤(𝕂′),𝔥(𝕂′))\Delta(\mathfrak{g}_{(\mathbb{K}^{\prime})},\mathfrak{h}_{(\mathbb{K}^{\prime}% )})への全単射を与える．これにより，ルート系Δ⁢(𝔤(𝕂′),𝔥(𝕂′))\Delta(\mathfrak{g}_{(\mathbb{K}^{\prime})},\mathfrak{h}_{(\mathbb{K}^{\prime}% )})は，ルート系Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})の𝕂′\mathbb{K}^{\prime}への係数拡大と同一視できる．

命題3.6

(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂簡約Lie代数とする．

  1. (1)

    任意のα\alpha, β∈𝔥∗\beta\in\mathfrak{h}^{*}に対して，[𝔤α,𝔤β]⊆𝔤α+β[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta}]\subseteq\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}が成り立つ．

  2. (2)

    B:𝔤×𝔤→𝕂B\colon\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathbb{K}を不変な双線型形式とする．このとき，任意のα\alpha, β∈𝔥∗\beta\in\mathfrak{h}^{*}であってα+β≠0\alpha+\beta\neq 0を満たすものに対して，B⁢(𝔤α,𝔤β)=0B(\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta})=0が成り立つ．

  3. (3)

    B:𝔤×𝔤→𝕂B\colon\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathbb{K}を非退化かつ不変な双線型形式とする．このとき，任意のα∈𝔥∗\alpha\in\mathfrak{h}^{*}に対して，双線型形式B|𝔤α×𝔤−α:𝔤α×𝔤−α→𝕂B|_{\mathfrak{g}_{\alpha}\times\mathfrak{g}_{-\alpha}}\colon\mathfrak{g}_{% \alpha}\times\mathfrak{g}_{-\alpha}\to\mathbb{K}は非退化である．特に，双線型形式B|𝔥×𝔥:𝔥×𝔥→𝕂B|_{\mathfrak{h}\times\mathfrak{h}}\colon\mathfrak{h}\times\mathfrak{h}\to% \mathbb{K}は非退化である．

証明

(1) x∈𝔤αx\in\mathfrak{g}_{\alpha}，y∈𝔤βy\in\mathfrak{g}_{\beta}とすると，任意のh∈𝔥h\in\mathfrak{h}に対して

[h,[x,y]]=[[h,x],y]+[x,[h,y]]=α⁢(h)⁢[x,y]+β⁢(h)⁢[x,y][h,[x,y]]=[[h,x],y]+[x,[h,y]]=\alpha(h)[x,y]+\beta(h)[x,y]

だから，[x,y]∈𝔤α+β[x,y]\in\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}である．よって，[𝔤α,𝔤β]⊆𝔤α+β[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta}]\subseteq\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}である．

(2) α+β≠0\alpha+\beta\neq 0であるとして，α⁢(h)+β⁢(h)≠0\alpha(h)+\beta(h)\neq 0を満たすh∈𝔥h\in\mathfrak{h}をとる．x∈𝔤αx\in\mathfrak{g}_{\alpha}，y∈𝔤βy\in\mathfrak{g}_{\beta}とすると，BBの不変性より

0=B⁢([h,x],y)+B⁢(x,[h,y])=α⁢(h)⁢B⁢(x,y)+β⁢(h)⁢B⁢(x,y)0=B([h,x],y)+B(x,[h,y])=\alpha(h)B(x,y)+\beta(h)B(x,y)

だから，B⁢(x,y)=0B(x,y)=0である．よって，B⁢(𝔤α,𝔤β)=0B(\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta})=0である．

(3) x∈𝔤αx\in\mathfrak{g}_{\alpha}がB⁢(x,𝔤−α)=0B(x,\mathfrak{g}_{-\alpha})=0を満たすとする．(2)より，任意のβ∈𝔥∗∖{−α}\beta\in\mathfrak{h}^{*}\setminus\{-\alpha\}に対してもB⁢(x,𝔤β)=0B(x,\mathfrak{g}_{\beta})=0だから，B⁢(x,𝔤)=0B(x,\mathfrak{g})=0である．BBは非退化だから，これより，x=0x=0を得る．同様にして，y∈𝔤−αy\in\mathfrak{g}_{-\alpha}がB⁢(𝔤α,y)=0B(\mathfrak{g}_{\alpha},y)=0を満たすならばy=0y=0であることもわかる．よって，B|𝔤α×𝔤−αB|_{\mathfrak{g}_{\alpha}\times\mathfrak{g}_{-\alpha}}は非退化である．特に，α=0\alpha=0として，B|𝔥×𝔥B|_{\mathfrak{h}\times\mathfrak{h}}が非退化であることを得る． ∎

系3.7

(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂簡約Lie代数とする．任意のα∈𝔥∗∖{0}\alpha\in\mathfrak{h}^{*}\setminus\{0\}に対して，ad⁡(𝔤α)\operatorname{ad}(\mathfrak{g}_{\alpha})のすべての元は冪零である．

証明

Δ⁢(𝔤,𝔥)∪{0}\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})\cup\{0\}は有限集合だから，p∈ℕp\in\mathbb{N}を(Δ⁢(𝔤,𝔥)∪{0})+p⁢α(\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})\cup\{0\})+p\alphaがΔ⁢(𝔤,𝔥)∪{0}\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})\cup\{0\}と交わらないようにとれる．このとき，任意のβ∈Δ⁢(𝔤,𝔥)∪{0}\beta\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})\cup\{0\}に対してad(𝔤α)p𝔤β⊆𝔤β+p⁢α=0\operatorname{ad}(\mathfrak{g}_{\alpha})^{p}\mathfrak{g}_{\beta}\subseteq% \mathfrak{g}_{\beta+p\alpha}=0だから（命題3.6 (1)），ad(𝔤α)p𝔤=0\operatorname{ad}(\mathfrak{g}_{\alpha})^{p}\mathfrak{g}=0である．よって，ad⁡(𝔤α)\operatorname{ad}(\mathfrak{g}_{\alpha})のすべての元は冪零である．∎

3.2 分裂簡約Lie代数における𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対

定義3.8 (𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対)

𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})の標準基底を(H,X,Y)(H,X,Y)と書く．Lie代数𝔤\mathfrak{g}における𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対（𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}-triple）とは，𝔤\mathfrak{g}の元の組(h,x,y)(h,x,y)であって，HH, XX, YYをそれぞれhh, xx, yyに移す𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})から𝔤\mathfrak{g}への線型写像が単射準同型であるものをいう．

注意3.9

Lie代数𝔤\mathfrak{g}の元hh, xx, yyが，少なくとも一つは0でなく，関係式[h,x]=2⁢x[h,x]=2x，[h,y]=−2⁢y[h,y]=-2y，[x,y]=h[x,y]=hを満たすとする．このとき，容易に確かめられるように，hh, xx, yyはいずれも0でない．さらに，hh, xx, yyはad⁡(h)\operatorname{ad}(h)の異なる固有空間に属するから，これらは線型独立である．よって，このとき，(h,x,y)(h,x,y)は𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対である．

定理3.10

(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂簡約Lie代数とする．各α∈Δ⁢(𝔤,𝔥)\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})に対して，次が成り立つ．

  1. (1)

    𝔤α\mathfrak{g}_{\alpha}, 𝔤−α\mathfrak{g}_{-\alpha}および𝔥α=[𝔤α,𝔤−α]\mathfrak{h}_{\alpha}=[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{-\alpha}]は11次元である．

  2. (2)

    Hα∈𝔥αH_{\alpha}\in\mathfrak{h}_{\alpha}であってα⁢(Hα)=2\alpha(H_{\alpha})=2を満たすものが一意に存在する．

  3. (3)

    HαH_{\alpha}を(2)のとおりに定める．任意のXα∈𝔤α∖{0}X_{\alpha}\in\mathfrak{g}_{\alpha}\setminus\{0\}に対して，Yα∈𝔤−αY_{\alpha}\in\mathfrak{g}_{-\alpha}であって[Xα,Yα]=Hα[X_{\alpha},Y_{\alpha}]=H_{\alpha}を満たすものが一意に存在する．さらに，このとき，(Hα,Xα,Yα)(H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha})は𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対である．

証明

𝔤\mathfrak{g}上の非退化かつ不変な双線型形式BBを一つ固定する（𝔤\mathfrak{g}は簡約だから，𝔤\mathfrak{g}の有限次元表現であって，非退化なトレース形式をもつものが存在する（参照）．このトレース形式をBBとすればよい（参照））．命題3.6 (3)より，B|𝔥×𝔥B|_{\mathfrak{h}\times\mathfrak{h}}やB|𝔤α×𝔤−αB|_{\mathfrak{g}_{\alpha}\times\mathfrak{g}_{-\alpha}}も非退化である．次の4段階に分けて，主張を示す．

(I) 𝔥α\mathfrak{h}_{\alpha}が11次元であることを示す．𝔥\mathfrak{h}上の双線型形式B|𝔥×𝔥B|_{\mathfrak{h}\times\mathfrak{h}}は非退化だから，hα∈𝔥∖{0}h_{\alpha}\in\mathfrak{h}\setminus\{0\}であって任意のh∈𝔥h\in\mathfrak{h}に対してB⁢(h,hα)=α⁢(h)B(h,h_{\alpha})=\alpha(h)を満たすものが（一意に）存在する．x∈𝔤αx\in\mathfrak{g}_{\alpha}，y∈𝔤−αy\in\mathfrak{g}_{-\alpha}とすると，[x,y]∈𝔥[x,y]\in\mathfrak{h}（命題3.6 (1)）であり，任意のh∈𝔥h\in\mathfrak{h}に対して

B⁢(h,[x,y])\displaystyle B(h,[x,y]) =B⁢([h,x],y)\displaystyle=B([h,x],y)
=α⁢(h)⁢B⁢(x,y)\displaystyle=\alpha(h)B(x,y)
=B⁢(h,hα)⁢B⁢(x,y)\displaystyle=B(h,h_{\alpha})B(x,y)
=B⁢(h,B⁢(x,y)⁢hα)\displaystyle=B(h,B(x,y)h_{\alpha})

だから，B|𝔥×𝔥B|_{\mathfrak{h}\times\mathfrak{h}}が非退化であることより

[x,y]=B⁢(x,y)⁢hα[x,y]=B(x,y)h_{\alpha}

が成り立つ．一方で，𝔤α≠0\mathfrak{g}_{\alpha}\neq 0であることとB|𝔤α×𝔤−αB|_{\mathfrak{g}_{\alpha}\times\mathfrak{g}_{-\alpha}}が非退化であることより，B⁢(𝔤α,𝔤−α)=𝕂B(\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{-\alpha})=\mathbb{K}である．よって，𝔥α=B⁢(𝔤α,𝔤−α)⁢hα=𝕂⁢hα\mathfrak{h}_{\alpha}=B(\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{-\alpha})h_{\alpha% }=\mathbb{K}h_{\alpha}であり，𝔥α\mathfrak{h}_{\alpha}は11次元である．

(II) α⁢(Hα)=2\alpha(H_{\alpha})=2を満たすHα∈𝔥αH_{\alpha}\in\mathfrak{h}_{\alpha}が一意に存在することを示す．(I)で示したように𝔥α\mathfrak{h}_{\alpha}は11次元だから，あとは，α|𝔥α≠0\alpha|_{\mathfrak{h}_{\alpha}}\neq 0であることをいえばよい．𝔥α\mathfrak{h}_{\alpha}は11次元だから，𝔤α\mathfrak{g}_{\alpha}と𝔤−α\mathfrak{g}_{-\alpha}のそれぞれの11次元部分ベクトル空間𝔤α′\mathfrak{g}^{\prime}_{\alpha}と𝔤−α′\mathfrak{g}^{\prime}_{-\alpha}を，[𝔤α′,𝔤−α′]=𝔥α[\mathfrak{g}^{\prime}_{\alpha},\mathfrak{g}^{\prime}_{-\alpha}]=\mathfrak{h}_% {\alpha}を満たすようにとれる．ここで，α|𝔥α=0\alpha|_{\mathfrak{h}_{\alpha}}=0であると仮定すると，[𝔥α,𝔤α′]=[𝔥α,𝔤−α′]=0[\mathfrak{h}_{\alpha},\mathfrak{g}^{\prime}_{\alpha}]=[\mathfrak{h}_{\alpha},% \mathfrak{g}^{\prime}_{-\alpha}]=0となる．したがって，𝔰=𝔥α+𝔤α′+𝔤−α′\mathfrak{s}=\mathfrak{h}_{\alpha}+\mathfrak{g}^{\prime}_{\alpha}+\mathfrak{g}% ^{\prime}_{-\alpha}と置くと，

[𝔰,𝔰]=𝔥α,[𝔰,[𝔰,𝔰]]=[𝔰,𝔥α]=[𝔥α,𝔥α]=0[\mathfrak{s},\mathfrak{s}]=\mathfrak{h}_{\alpha},\qquad[\mathfrak{s},[% \mathfrak{s},\mathfrak{s}]]=[\mathfrak{s},\mathfrak{h}_{\alpha}]=[\mathfrak{h}% _{\alpha},\mathfrak{h}_{\alpha}]=0

となるから，𝔰\mathfrak{s}は𝔤\mathfrak{g}の冪零部分Lie代数である．𝔰\mathfrak{s}の冪零根基は[𝔰,𝔰]=𝔥α[\mathfrak{s},\mathfrak{s}]=\mathfrak{h}_{\alpha}だから（参照），ad𝔤⁡(𝔥α)\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h}_{\alpha})のすべての元は冪零である（参照）．一方で，ad𝔤⁡(𝔥α)⊆ad𝔤⁡(𝔥)\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h}_{\alpha})\subseteq\operatorname{% ad}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h})は同時対角化可能でもあるから，ad𝔤⁡(𝔥α)=0\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h}_{\alpha})=0となる．随伴表現ad𝔤\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}が𝔥α=[𝔤α,𝔤−α]⊆[𝔤,𝔤]\mathfrak{h}_{\alpha}=[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{-\alpha}]\subseteq[% \mathfrak{g},\mathfrak{g}]上で単射であることと合わせれば，𝔥α=0\mathfrak{h}_{\alpha}=0を得るが，これは(I)に反する．よって，背理法より，α|𝔥α≠0\alpha|_{\mathfrak{h}_{\alpha}}\neq 0である．

(III) 任意のXα∈𝔤α∖{0}X_{\alpha}\in\mathfrak{g}_{\alpha}\setminus\{0\}に対して，(Hα,Xα,Yα)(H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha})が𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対となるようなYα∈𝔤−αY_{\alpha}\in\mathfrak{g}_{-\alpha}をとれることを示す．B|𝔤α×𝔤−αB|_{\mathfrak{g}_{\alpha}\times\mathfrak{g}_{-\alpha}}が非退化であることと3.2節より[Xα,𝔤−α]=𝔥α[X_{\alpha},\mathfrak{g}_{-\alpha}]=\mathfrak{h}_{\alpha}だから，Yα∈𝔤−αY_{\alpha}\in\mathfrak{g}_{-\alpha}を[Xα,Yα]=Hα[X_{\alpha},Y_{\alpha}]=H_{\alpha}となるようにとれる．HαH_{\alpha}, XαX_{\alpha}, YαY_{\alpha}はいずれも0でなく，ルート空間分解に関して異なる直和因子に属するから，これらは線型独立である．また，これらは関係式

[Hα,Xα]=α⁢(Hα)⁢Xα=2⁢Xα,[Hα,Yα]=−α⁢(Hα)⁢Yα=−2⁢Yα,[Xα,Yα]=Hα[H_{\alpha},X_{\alpha}]=\alpha(H_{\alpha})X_{\alpha}=2X_{\alpha},\qquad[H_{% \alpha},Y_{\alpha}]=-\alpha(H_{\alpha})Y_{\alpha}=-2Y_{\alpha},\qquad[X_{% \alpha},Y_{\alpha}]=H_{\alpha}

を満たす．よって，(Hα,Xα,Yα)(H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha})は𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対である．

(IV) 𝔤α\mathfrak{g}_{\alpha}と𝔤−α\mathfrak{g}_{-\alpha}が11次元であることを示す（このことから，(3)の一意性も従う）．𝔤α×𝔤−α\mathfrak{g}_{\alpha}\times\mathfrak{g}_{-\alpha}には非退化な双線型形式B|𝔤α×𝔤−αB|_{\mathfrak{g}_{\alpha}\times\mathfrak{g}_{-\alpha}}が存在するから，𝔤α\mathfrak{g}_{\alpha}と𝔤−α\mathfrak{g}_{-\alpha}の次元は等しい．以下，𝔤−α\mathfrak{g}_{-\alpha}が11次元であることを示す．𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})の標準基底を(H,X,Y)(H,X,Y)と書き，(III)でとった𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対(Hα,Xα,Yα)(H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha})と随伴表現によって，𝔤\mathfrak{g}を𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})加群とみなす．すると，任意のy∈𝔤−αy\in\mathfrak{g}_{-\alpha}に対して，

H⁢y\displaystyle Hy =[Hα,y]=−α⁢(Hα)=−2⁢y,\displaystyle=[H_{\alpha},y]=-\alpha(H_{\alpha})=-2y,
X⁢y\displaystyle Xy =[Xα,y]=B⁢(Xα,y)⁢hα\displaystyle=[X_{\alpha},y]=B(X_{\alpha},y)h_{\alpha}

となる（第2式の第2の等号は，3.2節による）．ここで，y≠0y\neq 0かつB⁢(Xα,y)=0B(X_{\alpha},y)=0であるとすると，yyは有限次元𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})加群𝔤\mathfrak{g}のウェイト−2-2の極大ベクトルとなるが，これは系2.9に反する．よって，任意のy∈𝔤−α∖{0}y\in\mathfrak{g}_{-\alpha}\setminus\{0\}に対してB⁢(Xα,y)=0B(X_{\alpha},y)=0だが，そのためには，𝔤−α\mathfrak{g}_{-\alpha}はたかだか11次元でなければならない．一方で，−α∈Δ⁢(𝔤,𝔥)-\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})より𝔤−α≠0\mathfrak{g}_{-\alpha}\neq 0だから，𝔤−α\mathfrak{g}_{-\alpha}は11次元である． ∎

3.3 被約ルート系の公理を満たすことの証明

補題3.11

(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂簡約Lie代数とすると，任意のα\alpha, β∈Δ⁢(𝔤,𝔥)\beta\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})に対して，β⁢(Hα)∈ℤ\beta(H_{\alpha})\in\mathbb{Z}である．ここで，HαH_{\alpha}は，定理3.10によって定まるものとする．

証明

Xα∈𝔤αX_{\alpha}\in\mathfrak{g}_{\alpha}とYα∈𝔤−αY_{\alpha}\in\mathfrak{g}_{-\alpha}を(Hα,Xα,Yα)(H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha})が𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対となるようにとり（定理3.10 (3)），これを随伴表現によって𝔤\mathfrak{g}を𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})加群とみなす．すると，H=(100−1)∈𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)H=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}\in\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})は𝔤β≠0\mathfrak{g}_{\beta}\neq 0にβ⁢(Hα)\beta(H_{\alpha})倍で作用するから，有限次元𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})加群𝔤\mathfrak{g}はウェイトβ⁢(Hα)\beta(H_{\alpha})をもつ．系2.13 (1)より，これは整数である．∎

補題3.12

𝔤\mathfrak{g}を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上のLie代数，𝔥\mathfrak{h}を𝔤\mathfrak{g}の有限次元部分ベクトル空間とし，λ∈𝔥∗\lambda\in\mathfrak{h}^{*}に対して

𝔤λ={x∈𝔤∣任意のh∈𝔥に対して[h,x]=λ⁢(h)⁢x}\mathfrak{g}_{\lambda}=\{x\in\mathfrak{g}\mid\text{任意の$h\in\mathfrak{h}$に対して$[% h,x]=\lambda(h)x$}\}

と書く．α∈𝔥∗\alpha\in\mathfrak{h}^{*}，Hα∈𝔥H_{\alpha}\in\mathfrak{h}，Xα∈𝔤αX_{\alpha}\in\mathfrak{g}_{\alpha}，Yα∈𝔤−αY_{\alpha}\in\mathfrak{g}_{-\alpha}とし，これらは次の条件を満たすとする33 3 本小節の範囲では，(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})が標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂簡約Lie代数であり，(Hα,Xα,Yα)(H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha})が定理3.10のように定まる𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対である場合だけで十分である．一般の場合の主張は，存在定理（定理3.22）の証明で用いられる．．

  1. (i)

    α⁢(Hα)=2\alpha(H_{\alpha})=2である．

  2. (ii)

    (Hα,Xα,Yα)(H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha})は𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対である．

  3. (iii)

    𝔤\mathfrak{g}上の線型写像ad⁡(Xα)\operatorname{ad}(X_{\alpha})とad⁡(Yα)\operatorname{ad}(Y_{\alpha})は局所冪零である．

このとき，

θα=ead⁡(Xα)⁢ead⁡(−Yα)⁢ead⁡(Xα)∈Aut⁡(𝔤)\theta_{\alpha}=e^{\operatorname{ad}(X_{\alpha})}e^{\operatorname{ad}(-Y_{% \alpha})}e^{\operatorname{ad}(X_{\alpha})}\in\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})

と定めると，次が成り立つ．

  1. (1)

    θα\theta_{\alpha}は𝔥\mathfrak{h}を安定にし，θα|𝔥\theta_{\alpha}|_{\mathfrak{h}}は，sHα⁢(h)=h−α⁢(h)⁢Hαs_{H_{\alpha}}(h)=h-\alpha(h)H_{\alpha}によって定まる𝔥\mathfrak{h}上の線型写像sHαs_{H_{\alpha}}に等しい．

  2. (2)

    (θα|𝔥)∗(\theta_{\alpha}|_{\mathfrak{h}})^{*}は，sα⁢(λ)=λ−λ⁢(Hα)⁢αs_{\alpha}(\lambda)=\lambda-\lambda(H_{\alpha})\alphaによって定まる𝔥∗\mathfrak{h}^{*}上の線型写像sαs_{\alpha}に等しい．

  3. (3)

    sαs_{\alpha}を(2)のとおりに定める．このとき，任意のλ∈𝔥∗\lambda\in\mathfrak{h}^{*}に対して，θα⁢(𝔤λ)=𝔤sα⁢(λ)\theta_{\alpha}(\mathfrak{g}_{\lambda})=\mathfrak{g}_{s_{\alpha}(\lambda)}である．

証明

(1) 条件(i)より，直和分解𝔥=Ker⁡α⊕𝕂⁢α\mathfrak{h}=\operatorname{Ker}\alpha\oplus\mathbb{K}\alphaが成立する．h∈Ker⁡αh\in\operatorname{Ker}\alphaに対しては，ad⁡(Xα)⁢h=α⁢(h)⁢Xα=0\operatorname{ad}(X_{\alpha})h=\alpha(h)X_{\alpha}=0かつad⁡(Yα)⁢h=−α⁢(h)⁢Yα=0\operatorname{ad}(Y_{\alpha})h=-\alpha(h)Y_{\alpha}=0だから，

θα⁢(h)=h=sHα⁢(h)\theta_{\alpha}(h)=h=s_{H_{\alpha}}(h)

である．また，容易に確かめられるように，𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})（その標準基底を(H,X,Y)(H,X,Y)と書く）においてead⁡(X)⁢ead⁡(−Y)⁢ead⁡(X)⁢(H)=−He^{\operatorname{ad}(X)}e^{\operatorname{ad}(-Y)}e^{\operatorname{ad}(X)}(H)=-Hが成り立つから，条件(ii)と(i)より，

θα⁢(Hα)=−Hα=sHα⁢(Hα)\theta_{\alpha}(H_{\alpha})=-H_{\alpha}=s_{H_{\alpha}}(H_{\alpha})

である．よって，θα\theta_{\alpha}は𝔥\mathfrak{h}を安定にし，θα|𝔥=sHα\theta_{\alpha}|_{\mathfrak{h}}=s_{H_{\alpha}}が成り立つ．

(2) (1)より，任意のλ∈𝔥∗\lambda\in\mathfrak{h}^{*}とh∈𝔥h\in\mathfrak{h}に対して，

(θα|𝔥)∗⁢(λ)⁢(h)\displaystyle(\theta_{\alpha}|_{\mathfrak{h}})^{*}(\lambda)(h) =λ⁢(θα⁢(h))\displaystyle=\lambda(\theta_{\alpha}(h))
=λ⁢(h−α⁢(h)⁢Hα)\displaystyle=\lambda(h-\alpha(h)H_{\alpha})
=λ⁢(h)−λ⁢(Hα)⁢α⁢(h)\displaystyle=\lambda(h)-\lambda(H_{\alpha})\alpha(h)
=sα⁢(λ)⁢(h)\displaystyle=s_{\alpha}(\lambda)(h)

である．よって，(θα|𝔥)∗=sα(\theta_{\alpha}|_{\mathfrak{h}})^{*}=s_{\alpha}が成り立つ．

(3) λ∈𝔥∗\lambda\in\mathfrak{h}^{*}とする．θα\theta_{\alpha}は𝔤\mathfrak{g}の自己同型だから，

θα⁢(𝔤λ)\displaystyle\theta_{\alpha}(\mathfrak{g}_{\lambda}) ={x∈𝔤∣θα−1⁢(x)∈Vλ}\displaystyle=\{x\in\mathfrak{g}\mid\theta_{\alpha}^{-1}(x)\in V_{\lambda}\}
={x∈𝔤∣任意のh∈𝔥に対して[h,θα−1⁢(x)]=λ⁢(h)⁢θα−1⁢(x)}\displaystyle=\{x\in\mathfrak{g}\mid\text{任意の$h\in\mathfrak{h}$に対して$[h,\theta_% {\alpha}^{-1}(x)]=\lambda(h)\theta_{\alpha}^{-1}(x)$}\}
={x∈𝔤∣任意のh∈𝔥に対して[θα⁢(h),x]=λ⁢(h)⁢x}\displaystyle=\{x\in\mathfrak{g}\mid\text{任意の$h\in\mathfrak{h}$に対して$[\theta_{% \alpha}(h),x]=\lambda(h)x$}\}

である．ここで，(1)と(2)より，θα\theta_{\alpha}は𝔥\mathfrak{h}を安定にし，(θα|𝔥)∗−1=sα−1=sα(\theta_{\alpha}|_{\mathfrak{h}})^{*-1}=s_{\alpha}^{-1}=s_{\alpha}を満たす．よって，上式と合わせて，

θα⁢(𝔤λ)\displaystyle\theta_{\alpha}(\mathfrak{g}_{\lambda}) ={x∈𝔤∣任意のh∈𝔥に対して[h,x]=λ⁢(θα−1⁢(h))⁢x}\displaystyle=\{x\in\mathfrak{g}\mid\text{任意の$h\in\mathfrak{h}$に対して$[h,x]=% \lambda(\theta_{\alpha}^{-1}(h))x$}\}
={x∈𝔤∣任意のh∈𝔥に対して[h,x]=sα⁢(λ)⁢(h)⁢x}\displaystyle=\{x\in\mathfrak{g}\mid\text{任意の$h\in\mathfrak{h}$に対して$[h,x]=s_{% \alpha}(\lambda)(h)x$}\}
=𝔤sα⁢(λ)\displaystyle=\mathfrak{g}_{s_{\alpha}(\lambda)}

を得る． ∎

定理3.13

(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂簡約Lie代数とする．このとき，Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})はV={α∈𝔥∗∣α|𝐙⁢(𝔤)=0}V=\{\alpha\in\mathfrak{h}^{*}\mid\alpha|_{\mathbf{Z}(\mathfrak{g})}=0\}上の被約ルート系であり，α∈Δ⁢(𝔤,𝔥)\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})の双対ルートα∨∈V∗\alpha^{\vee}\in V^{*}は

α∨⁢(λ)=λ⁢(Hα)(λ∈V)\alpha^{\vee}(\lambda)=\lambda(H_{\alpha})\qquad(\lambda\in V)

によって与えられ，ルート鏡映sα:V→Vs_{\alpha}\colon V\to Vは

sα⁢(λ)=λ−α∨⁢(λ)⁢α=λ−λ⁢(Hα)⁢α(λ∈V)s_{\alpha}(\lambda)=\lambda-\alpha^{\vee}(\lambda)\alpha=\lambda-\lambda(H_{% \alpha})\alpha\qquad(\lambda\in V)

によって与えられる．特に，(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})が分裂半単純Lie代数ならば，Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})は𝔥∗\mathfrak{h}^{*}上の被約ルート系である．ここで，HαH_{\alpha}は，定理3.10によって定まるものとする．

証明

注意3.4より，Δ⁢(𝔤,𝔥)⊆V\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})\subseteq Vである．また，各α∈Δ⁢(𝔤,𝔥)\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})に対して，α∈V\alpha\in Vかつα⁢(Hα)=2\alpha(H_{\alpha})=2だから，主張の式によって定義される線型写像sα:V→Vs_{\alpha}\colon V\to Vは鏡映である．

以下，Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})と鏡映sαs_{\alpha}（α∈Δ⁢(𝔤,𝔥)\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})）が被約ルート系の公理(RS1)–(RS4)（参照）を満たすことを確かめる．

(RS1) Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})が有限であることと0を含まないことは明らかである．h∈𝔥h\in\mathfrak{h}が任意のα∈Δ⁢(𝔤,𝔥)\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})に対してα⁢(h)=0\alpha(h)=0を満たすとすると，ルート空間分解𝔤=𝔥⊕⨁α∈Δ⁢(𝔤,𝔥)𝔤α\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},% \mathfrak{h})}\mathfrak{g}_{\alpha}より，ad⁡(h)=0\operatorname{ad}(h)=0である．すなわち，h∈𝐙⁢(𝔤)h\in\mathbf{Z}(\mathfrak{g})である．これは，VV上の線型形式であって任意のα∈Δ⁢(𝔤,𝔥)\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})において値0をとるものが0しかないことを意味する．よって，span⁡Δ⁢(𝔤,𝔥)=V\operatorname{span}\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})=Vである．

(RS2) α∈Δ⁢(𝔤,𝔥)\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})とし，𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対(Hα,Xα,Yα)(H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha})を定理3.10のようにとる．すると，系3.7よりad⁡(Xα)\operatorname{ad}(X_{\alpha})とad⁡(Yα)\operatorname{ad}(Y_{\alpha})は冪零だから，これらは補題3.12の仮定を満たす．したがって，任意のλ∈𝔥∗\lambda\in\mathfrak{h}^{*}に対して，𝔤λ\mathfrak{g}_{\lambda}と𝔤sα⁢(λ)\mathfrak{g}_{s_{\alpha}(\lambda)}は𝔤\mathfrak{g}の自己同型によって移り合う．よって，sαs_{\alpha}はΔ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を安定にする．

(RS3) 補題3.11で示したように，任意のα\alpha, β∈Δ⁢(𝔤,𝔥)\beta\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})に対して，β⁢(Hα)∈ℤ\beta(H_{\alpha})\in\mathbb{Z}である．

(RS4) α∈Δ⁢(𝔤,𝔥)\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})とする．ad⁡(Hα)\operatorname{ad}(H_{\alpha})は𝔤2⁢α\mathfrak{g}_{2\alpha}には2⁢α⁢(Hα)=42\alpha(H_{\alpha})=4倍写像として作用するから，命題3.6 (1)と合わせて，

𝔤2⁢α\displaystyle\mathfrak{g}_{2\alpha} =[Hα,𝔤2⁢α]\displaystyle=[H_{\alpha},\mathfrak{g}_{2\alpha}]
⊆[𝔤α,[𝔤−α],𝔤2⁢α]\displaystyle\subseteq[\mathfrak{g}_{\alpha},[\mathfrak{g}_{-\alpha}],% \mathfrak{g}_{2\alpha}]
⊆[𝔤α,[𝔤−α,𝔤2⁢α]]+[𝔤−α,[𝔤α,𝔤2⁢α]]\displaystyle\subseteq[\mathfrak{g}_{\alpha},[\mathfrak{g}_{-\alpha},\mathfrak% {g}_{2\alpha}]]+[\mathfrak{g}_{-\alpha},[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{2% \alpha}]]
⊆[𝔤α,𝔤α]+[𝔤−α,𝔤3⁢α]\displaystyle\subseteq[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\alpha}]+[\mathfrak% {g}_{-\alpha},\mathfrak{g}_{3\alpha}]

を得る．ところが，𝔤α\mathfrak{g}_{\alpha}は11次元だから（定理3.10 (1)），[𝔤α,𝔤α]=0[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\alpha}]=0である．また，すでに示した(RS1)–(RS3)よりΔ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})はルート系だから，3⁢α∉Δ⁢(𝔤,𝔥)3\alpha\notin\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})であり（参照），したがって，𝔤3⁢α=0\mathfrak{g}_{3\alpha}=0である．よって，上式より𝔤2⁢α=0\mathfrak{g}_{2\alpha}=0であり，これは2⁢α∉Δ⁢(𝔤,𝔥)2\alpha\notin\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を意味する． ∎

定理3.13の状況で，α∈Δ⁢(𝔤,𝔥)\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})とするとき，記号の濫用で，λ∈𝔥∗\lambda\in\mathfrak{h}^{*}に対しても

α∨⁢(λ)=λ⁢(Hα),sα⁢(λ)=λ−α∨⁢(λ)⁢α=λ−λ⁢(Hα)⁢α\alpha^{\vee}(\lambda)=\lambda(H_{\alpha}),\qquad s_{\alpha}(\lambda)=\lambda-% \alpha^{\vee}(\lambda)\alpha=\lambda-\lambda(H_{\alpha})\alpha

として，双対ルートα∨\alpha^{\vee}やルート鏡映sαs_{\alpha}を𝔥∗\mathfrak{h}^{*}上に拡張する．すなわち，Z={α∈𝔥∗∣α|𝔥∩[𝔤,𝔤]=0}Z=\{\alpha\in\mathfrak{h}^{*}\mid\alpha|_{\mathfrak{h}\cap[\mathfrak{g},% \mathfrak{g}]}=0\}と置くと直和分解𝔥∗=V⊕Z\mathfrak{h}^{*}=V\oplus Zが成立するが，α∨\alpha^{\vee}はZZ上では値0をとるとして拡張し，sαs_{\alpha}はZZ上では恒等写像であるとして拡張する．このとき，α∨∈𝔥∗∗\alpha^{\vee}\in\mathfrak{h}^{**}は自然な線型同型𝔥∗∗≅𝔥\mathfrak{h}^{**}\cong\mathfrak{h}を通してHαH_{\alpha}に対応するから，しばしばこれらを同一視してα∨=Hα\alpha^{\vee}=H_{\alpha}などと書く．また，Weyl群𝐖⁢(Δ⁢(𝔤,𝔥))\mathbf{W}(\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h}))のVVへの作用も，ZZ上には自明に作用するとして，𝔥∗\mathfrak{h}^{*}への作用に拡張する．

系3.14

(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂簡約Lie代数とし，Π\Piをルート系Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})の基底とする．このとき，(Hα)α∈Π(H_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}は𝔥′=𝔥∩[𝔤,𝔤]\mathfrak{h}^{\prime}=\mathfrak{h}\cap[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]の基底である．特に，(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})が分裂半単純Lie代数ならば，(Hα)α∈Π(H_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}は𝔥\mathfrak{h}の基底である．ここで，HαH_{\alpha}は，定理3.10によって定まるものとする．

証明

定理3.13とルート系の一般論（参照1）より，Δ⁢(𝔤,𝔥)∨={Hα∣α∈Δ⁢(𝔤,𝔥)}\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})^{\vee}=\{H_{\alpha}\mid\alpha\in\Delta(% \mathfrak{g},\mathfrak{h})\}は𝔥′\mathfrak{h}^{\prime}上の被約ルート系であり，Π∨={Hα∣α∈Π}\Pi^{\vee}=\{H_{\alpha}\mid\alpha\in\Pi\}はその基底である．特に，(Hα)α∈Π(H_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}は𝔥′\mathfrak{h}^{\prime}の基底である．∎

系3.15

(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂簡約Lie代数，α\alpha, β∈Δ⁢(𝔤,𝔥)\beta\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を線型独立な二つのルートとし，

Iβ,α={j∈ℤ∣β+j⁢α∈Δ⁢(𝔤,𝔥)}I_{\beta,\alpha}=\{j\in\mathbb{Z}\mid\beta+j\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},% \mathfrak{h})\}

と置く．

  1. (1)

    Iβ,αI_{\beta,\alpha}は，pp, q∈ℕq\in\mathbb{N}を用いてIβ,α=[−q,p]∩ℤI_{\beta,\alpha}=[-q,p]\cap\mathbb{Z}と書ける．

  2. (2)

    (1)のppとqqについて，p−q=−n⁢(β,α)=−β⁢(Hα)p-q=-n(\beta,\alpha)=-\beta(H_{\alpha})である．

  3. (3)

    (1)のppとqqについて，γ=β−q⁢α\gamma=\beta-q\alphaと置くと，p+q=−n⁢(γ,α)=−γ⁢(Hα)p+q=-n(\gamma,\alpha)=-\gamma(H_{\alpha})であり，これは0, 11, 22, 33のいずれかである．

証明

定理3.13とルート系の一般論から従う．∎

命題3.16

(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂簡約Lie代数とする．二つのルートα\alpha, β∈Δ⁢(𝔤,𝔥)\beta\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})について，α+β≠0\alpha+\beta\neq 0ならば，[𝔤α,𝔤β]=𝔤α+β[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta}]=\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}である．

証明

α=β\alpha=\betaならば𝔤α+β=𝔤2⁢α=0\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}=\mathfrak{g}_{2\alpha}=0だから，主張は明らかである．α≠±β\alpha\neq\pm\betaである場合を考える．Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})は被約ルート系だから（定理3.13），このとき，α\alphaとβ\betaは線型独立である（参照）．𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対(Hα,Xα,Yα)(H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha})を定理3.10のようにとり，これと随伴表現によって𝔤\mathfrak{g}を𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})加群とみなす．Iβ,α=[−q,p]∩ℤI_{\beta,\alpha}=[-q,p]\cap\mathbb{Z}を系3.15のとおりに定めると，

𝔰=⨁j∈Iβ,α𝔤β+j⁢α\mathfrak{s}=\bigoplus_{j\in I_{\beta,\alpha}}\mathfrak{g}_{\beta+j\alpha}

は𝔤\mathfrak{g}の部分𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})加群であり（命題3.6 (1)），各𝔤β+j⁢α\mathfrak{g}_{\beta+j\alpha}は𝔰\mathfrak{s}のウェイト(β+j⁢α)⁢(Hα)=−(p−q)+2⁢j(\beta+j\alpha)(H_{\alpha})=-(p-q)+2j（系3.15 (2)）のウェイト空間であり，これらはすべて11次元である（定理3.10 (1)）．したがって，有限次元𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})加群𝔰\mathfrak{s}のウェイトは−(p+q)-(p+q), −(p+q)+2-(p+q)+2, …\dots, p+qp+qであり，これらの重複度はすべて11だから，系2.13 (4)より，𝔰\mathfrak{s}は最高ウェイトp+qp+qの有限次元既約𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})加群L⁢(p+q)L(p+q)に同型である．X=(0100)∈𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)X=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\in\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})のL⁢(p+q)L(p+q)への作用は，0でない各ウェイト空間を，そのウェイトに22を加えたウェイト空間に全射に移す．よって，

[𝔤α,𝔤β]=ad⁡(Xα)⁢𝔤β=X⁢𝔤β=𝔤α+β[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta}]=\operatorname{ad}(X_{\alpha})% \mathfrak{g}_{\beta}=X\mathfrak{g}_{\beta}=\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}

が成り立つ．∎

系3.17

(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂簡約Lie代数，Π\Piをルート系Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})の基底とし，Π\Piに関する正ルート全体のなす集合をΔ+\Delta_{+}，負ルート全体のなす集合をΔ−\Delta_{-}と書く．

  1. (1)

    ⨁α∈Π𝔤α\bigoplus_{\alpha\in\Pi}\mathfrak{g}_{\alpha}が生成する𝔤\mathfrak{g}の部分Lie代数は，𝔫+=⨁α∈Δ+𝔤α\mathfrak{n}_{+}=\bigoplus_{\alpha\in\Delta_{+}}\mathfrak{g}_{\alpha}である．

  2. (2)

    ⨁α∈−Π𝔤α\bigoplus_{\alpha\in-\Pi}\mathfrak{g}_{\alpha}が生成する𝔤\mathfrak{g}の部分Lie代数は，𝔫−=⨁α∈Δ−𝔤α\mathfrak{n}_{-}=\bigoplus_{\alpha\in\Delta_{-}}\mathfrak{g}_{\alpha}である．

  3. (3)

    ⨁α∈Π∪(−Π)𝔤α\bigoplus_{\alpha\in\Pi\cup(-\Pi)}\mathfrak{g}_{\alpha}が生成する𝔤\mathfrak{g}の部分Lie代数は，[𝔤,𝔤][\mathfrak{g},\mathfrak{g}]である．特に，(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})が分裂半単純Lie代数ならば，⨁α∈Π∪(−Π)𝔤α\bigoplus_{\alpha\in\Pi\cup(-\Pi)}\mathfrak{g}_{\alpha}は𝔤\mathfrak{g}をLie代数として生成する．

証明

(1) 𝔫+\mathfrak{n}_{+}は，𝔤\mathfrak{g}の部分Lie代数であり（命題3.6 (1)），⨁α∈Π𝔤α\bigoplus_{\alpha\in\Pi}\mathfrak{g}_{\alpha}を含む．次に，β∈Δ+\beta\in\Delta_{+}とすると，単純ルートの列α1\alpha_{1}, …\dots, αk∈Π\alpha_{k}\in\Piを，α1+⋯+αk=β\alpha_{1}+\dots+\alpha_{k}=\betaであり，かつ任意のi∈{1,…,k}i\in\{1,\dots,k\}に対してα1+⋯+αi∈Δ+\alpha_{1}+\dots+\alpha_{i}\in\Delta_{+}であるようにとれる（参照）．このとき，命題3.16を繰り返し適用することで，𝔤β=[[𝔤α1,𝔤α2],…,𝔤αk]\mathfrak{g}_{\beta}=[[\mathfrak{g}_{\alpha_{1}},\mathfrak{g}_{\alpha_{2}}],% \dots,\mathfrak{g}_{\alpha_{k}}]を得る．よって，⨁α∈Π𝔤α\bigoplus_{\alpha\in\Pi}\mathfrak{g}_{\alpha}は𝔫+\mathfrak{n}_{+}をLie代数として生成する．

(2) (1)と同様である．

(3) ⨁α∈Π∪(−Π)𝔤α\bigoplus_{\alpha\in\Pi\cup(-\Pi)}\mathfrak{g}_{\alpha}が生成する𝔤\mathfrak{g}の部分Lie代数を，𝔤′\mathfrak{g}^{\prime}と置く．[𝔤,𝔤][\mathfrak{g},\mathfrak{g}]は，𝔤\mathfrak{g}の部分Lie代数であり，⨁α∈Π∪(−Π)𝔤α\bigoplus_{\alpha\in\Pi\cup(-\Pi)}\mathfrak{g}_{\alpha}を含むから（注意3.4），𝔤′⊆[𝔤,𝔤]\mathfrak{g}^{\prime}\subseteq[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]である．次に，(1)と(2)より，⨁α∈Δ⁢(𝔤,𝔥)𝔤α=𝔫+⊕𝔫−⊆𝔤′\bigoplus_{\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})}\mathfrak{g}_{\alpha}=% \mathfrak{n}_{+}\oplus\mathfrak{n}_{-}\subseteq\mathfrak{g}^{\prime}である．また，任意のα∈Π\alpha\in\Piに対してHα∈[𝔤α,𝔤−α]⊆𝔤′H_{\alpha}\in[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{-\alpha}]\subseteq\mathfrak{% g}^{\prime}であり（HαH_{\alpha}は，定理3.10によって定まるものとする），(Hα)α∈Π(H_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}は𝔥∩[𝔤,𝔤]\mathfrak{h}\cap[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]の基底だから（系3.14），𝔥∩[𝔤,𝔤]⊆𝔤′\mathfrak{h}\cap[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]\subseteq\mathfrak{g}^{\prime}である．よって，

[𝔤,𝔤]=(𝔥∩[𝔤,𝔤])⊕⨁α∈Δ⁢(𝔤,𝔥)𝔤α⊆𝔤′[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=(\mathfrak{h}\cap[\mathfrak{g},\mathfrak{g}])% \oplus\bigoplus_{\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})}\mathfrak{g}_{% \alpha}\subseteq\mathfrak{g}^{\prime}

（第1の等号は，注意3.4から従う）である．以上より，𝔤′=[𝔤,𝔤]\mathfrak{g}^{\prime}=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]が成り立つ． ∎

3.4 存在定理

本節の以下の部分では，δα⁢β\delta_{\alpha\beta}をKroneckerのデルタとする．

Π\Piをルート系の基底とすると，異なる二つの単純ルートα\alpha, β∈Π\beta\in\Piに対して，Cartan整数n⁢(β,α)n(\beta,\alpha)は0以下の整数である（参照）．本節の以下の部分では，このことに注意する．

補題3.18

VVを標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の有限次元ベクトル空間とする．Δ\DeltaをVV上のルート系とし，Π\Piをその基底とする．Π\Piが自由に生成する単位的結合𝕂\mathbb{K}代数𝐓⁢(𝕂⊕Π)\mathbf{T}(\mathbb{K}^{\oplus\Pi})（𝕂⊕Π\mathbb{K}^{\oplus\Pi}の標準基底を(eγ)γ∈Π(e_{\gamma})_{\gamma\in\Pi}と書く）を考え，𝐓⁢(𝕂⊕Π)\mathbf{T}(\mathbb{K}^{\oplus\Pi})上の線型写像H^α\widehat{H}_{\alpha}, X^α\widehat{X}_{\alpha}, Y^α\widehat{Y}_{\alpha}（α∈Π\alpha\in\Pi）を，

H^α⁢(eγ1⊗⋯⊗eγk)\displaystyle\widehat{H}_{\alpha}(e_{\gamma_{1}}\otimes\dots\otimes e_{\gamma_% {k}}) =(−∑i=1kn⁢(γi,α))⁢(eγ1⊗⋯⊗eγk)\displaystyle=\left(-\sum_{i=1}^{k}n(\gamma_{i},\alpha)\right)(e_{\gamma_{1}}% \otimes\dots\otimes e_{\gamma_{k}})
X^α⁢(eγ1⊗⋯⊗eγk)\displaystyle\widehat{X}_{\alpha}(e_{\gamma_{1}}\otimes\dots\otimes e_{\gamma_% {k}}) ={0(k=0)(Y^γ1⁢X^α−δα⁢γ1⁢H^α)⁢(eγ2⊗⋯⊗eγk)(k≥1),\displaystyle=\begin{cases}0&(k=0)\\ (\widehat{Y}_{\gamma_{1}}\widehat{X}_{\alpha}-\delta_{\alpha\gamma_{1}}% \widehat{H}_{\alpha})(e_{\gamma_{2}}\otimes\dots\otimes e_{\gamma_{k}})&(k\geq 1% ),\end{cases}
Y^α⁢(eγ1⊗⋯⊗eγk)\displaystyle\widehat{Y}_{\alpha}(e_{\gamma_{1}}\otimes\dots\otimes e_{\gamma_% {k}}) =eα⊗eγ1⊗⋯⊗eγk\displaystyle=e_{\alpha}\otimes e_{\gamma_{1}}\otimes\dots\otimes e_{\gamma_{k}}

によって定める（まずH^α\widehat{H}_{\alpha}とY^α\widehat{Y}_{\alpha}を定め，次にそれらを用いてX^α\widehat{X}_{\alpha}を次数kkに関して再帰的に定める）．このとき，任意のα\alpha, β∈Π\beta\in\Piに対して，次が成り立つ．

  1. (1)

    [H^α,H^β]=0[\widehat{H}_{\alpha},\widehat{H}_{\beta}]=0．

  2. (2)

    [H^α,X^β]=n⁢(β,α)⁢X^β[\widehat{H}_{\alpha},\widehat{X}_{\beta}]=n(\beta,\alpha)\widehat{X}_{\beta}．

  3. (3)

    [H^α,Y^β]=−n⁢(β,α)⁢Y^β[\widehat{H}_{\alpha},\widehat{Y}_{\beta}]=-n(\beta,\alpha)\widehat{Y}_{\beta}．

  4. (4)

    [X^α,Y^β]=δα⁢β⁢H^α[\widehat{X}_{\alpha},\widehat{Y}_{\beta}]=\delta_{\alpha\beta}\widehat{H}_{\alpha}．

証明

(1), (4) 明らかである．

(3) 任意のγ1\gamma_{1}, …\dots, γk∈Π\gamma_{k}\in\Piに対して，

[H^α,Y^β]⁢(eγ1⊗⋯⊗eγk)\displaystyle[\widehat{H}_{\alpha},\widehat{Y}_{\beta}](e_{\gamma_{1}}\otimes% \dots\otimes e_{\gamma_{k}})
=(−n⁢(β,α)−∑i=1kn⁢(βi,α))⁢(eβ⊗eγ1⊗⋯⊗eγk)−(−∑i=1kn⁢(βi,α))⁢(eβ⊗eγ1⊗⋯⊗eγk)\displaystyle=\left(-n(\beta,\alpha)-\sum_{i=1}^{k}n(\beta_{i},\alpha)\right)(% e_{\beta}\otimes e_{\gamma_{1}}\otimes\dots\otimes e_{\gamma_{k}})-\left(-\sum% _{i=1}^{k}n(\beta_{i},\alpha)\right)(e_{\beta}\otimes e_{\gamma_{1}}\otimes% \dots\otimes e_{\gamma_{k}})
=−n⁢(β,α)⁢(eβ⊗eγ1⊗⋯⊗eγk)\displaystyle=-n(\beta,\alpha)(e_{\beta}\otimes e_{\gamma_{1}}\otimes\dots% \otimes e_{\gamma_{k}})
=−n⁢(β,α)⁢Yβ⁢(eγ1⊗⋯⊗eγk)\displaystyle=-n(\beta,\alpha)Y_{\beta}(e_{\gamma_{1}}\otimes\dots\otimes e_{% \gamma_{k}})

である．よって，[H^α,Y^β]=−n⁢(β,α)⁢Y^β[\widehat{H}_{\alpha},\widehat{Y}_{\beta}]=-n(\beta,\alpha)\widehat{Y}_{\beta}が成り立つ．

(2) 任意のγ∈Π\gamma\in\Piに対して，(1), (3), (4)より，

0\displaystyle 0 =[H^α,[X^β,Y^γ]]\displaystyle=[\widehat{H}_{\alpha},[\widehat{X}_{\beta},\widehat{Y}_{\gamma}]]
=[[H^α,X^β],Y^γ]+[X^β,[H^α,Y^γ]]\displaystyle=[[\widehat{H}_{\alpha},\widehat{X}_{\beta}],\widehat{Y}_{\gamma}% ]+[\widehat{X}_{\beta},[\widehat{H}_{\alpha},\widehat{Y}_{\gamma}]]
=[[H^α,X^β],Y^γ]−n⁢(γ,α)⁢[X^β,Y^γ]\displaystyle=[[\widehat{H}_{\alpha},\widehat{X}_{\beta}],\widehat{Y}_{\gamma}% ]-n(\gamma,\alpha)[\widehat{X}_{\beta},\widehat{Y}_{\gamma}]
=[[H^α,X^β]−n⁢(γ,α)⁢X^β,Y^γ]\displaystyle=[[\widehat{H}_{\alpha},\widehat{X}_{\beta}]-n(\gamma,\alpha)% \widehat{X}_{\beta},\widehat{Y}_{\gamma}]
=[[H^α,X^β]−n⁢(β,α)⁢X^β,Y^γ]+(n⁢(β,α)−n⁢(γ,α))⁢[X^β,Y^γ]\displaystyle=[[\widehat{H}_{\alpha},\widehat{X}_{\beta}]-n(\beta,\alpha)% \widehat{X}_{\beta},\widehat{Y}_{\gamma}]+(n(\beta,\alpha)-n(\gamma,\alpha))[% \widehat{X}_{\beta},\widehat{Y}_{\gamma}]
=[[H^α,X^β]−n⁢(β,α)⁢X^β,Y^γ]+(n⁢(β,α)−n⁢(γ,α))⁢δβ⁢γ⁢H^β\displaystyle=[[\widehat{H}_{\alpha},\widehat{X}_{\beta}]-n(\beta,\alpha)% \widehat{X}_{\beta},\widehat{Y}_{\gamma}]+(n(\beta,\alpha)-n(\gamma,\alpha))% \delta_{\beta\gamma}\widehat{H}_{\beta}
=[[H^α,X^β]−n⁢(β,α)⁢X^β,Y^γ]\displaystyle=[[\widehat{H}_{\alpha},\widehat{X}_{\beta}]-n(\beta,\alpha)% \widehat{X}_{\beta},\widehat{Y}_{\gamma}]

である．よって，任意のγ1\gamma_{1}, …\dots, γk∈Π\gamma_{k}\in\Piに対して

([H^α,X^β]−n⁢(β,α)⁢X^β)⁢(eγ1⊗⋯⊗eγk)\displaystyle([\widehat{H}_{\alpha},\widehat{X}_{\beta}]-n(\beta,\alpha)% \widehat{X}_{\beta})(e_{\gamma_{1}}\otimes\dots\otimes e_{\gamma_{k}}) =([H^α,X^β]−n⁢(β,α)⁢X^β)⁢Y^γ1⁢⋯⁢Y^γk⁢1\displaystyle=([\widehat{H}_{\alpha},\widehat{X}_{\beta}]-n(\beta,\alpha)% \widehat{X}_{\beta})\widehat{Y}_{\gamma_{1}}\dotsm\widehat{Y}_{\gamma_{k}}1
=Y^γ1⁢⋯⁢Y^γk⁢([H^α,X^β]−n⁢(β,α)⁢X^β)⁢1\displaystyle=\widehat{Y}_{\gamma_{1}}\dotsm\widehat{Y}_{\gamma_{k}}([\widehat% {H}_{\alpha},\widehat{X}_{\beta}]-n(\beta,\alpha)\widehat{X}_{\beta})1
=0\displaystyle=0

だから，[H^α,X^β]=n⁢(β,α)⁢X^β[\widehat{H}_{\alpha},\widehat{X}_{\beta}]=n(\beta,\alpha)\widehat{X}_{\beta}が成り立つ． ∎

補題3.19

VVを標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の有限次元ベクトル空間とする．Δ\DeltaをVV上の被約ルート系とし，Π\Piをその基底とする．𝔤~\widetilde{\mathfrak{g}}を，α∈Π\alpha\in\Piに対する生成元

H~α,X~α,Y~α\widetilde{H}_{\alpha},\quad\widetilde{X}_{\alpha},\quad\widetilde{Y}_{\alpha}

とα\alpha, β∈Π\beta\in\Piに対する関係式

  1. (R1)

    [H~α,H~β]=0[\widetilde{H}_{\alpha},\widetilde{H}_{\beta}]=0

  2. (R2)

    [H~α,X~β]=n⁢(β,α)⁢X~β[\widetilde{H}_{\alpha},\widetilde{X}_{\beta}]=n(\beta,\alpha)\widetilde{X}_{\beta}

  3. (R3)

    [H~α,Y~β]=−n⁢(β,α)⁢Y~β[\widetilde{H}_{\alpha},\widetilde{Y}_{\beta}]=-n(\beta,\alpha)\widetilde{Y}_{\beta}

  4. (R4)

    [X~α,Y~β]=δα⁢β⁢H~α[\widetilde{X}_{\alpha},\widetilde{Y}_{\beta}]=\delta_{\alpha\beta}\widetilde{% H}_{\alpha}

によって定まるLie代数とする．λ∈V\lambda\in Vに対して

𝔤~λ={x∈𝔤~∣任意のα∈Πに対して[H~α,x]=α∨⁢(λ)⁢x}\widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda}=\{x\in\widetilde{\mathfrak{g}}\mid\text{任意の% $\alpha\in\Pi$に対して$[\widetilde{H}_{\alpha},x]=\alpha^{\vee}(\lambda)x$}\}

と書き，

𝔥~=𝔤~0,𝔫~+=⨁λ∈ℤ≥0⁢Π∖{0}𝔤~λ,𝔫~−=⨁λ∈ℤ≤0⁢Π∖{0}𝔤~λ\widetilde{\mathfrak{h}}=\widetilde{\mathfrak{g}}_{0},\qquad\widetilde{% \mathfrak{n}}_{+}=\bigoplus_{\lambda\in\mathbb{Z}_{\geq 0}\Pi\setminus\{0\}}% \widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda},\qquad\widetilde{\mathfrak{n}}_{-}=% \bigoplus_{\lambda\in\mathbb{Z}_{\leq 0}\Pi\setminus\{0\}}\widetilde{\mathfrak% {g}}_{\lambda}

と定める．

  1. (1)

    任意のλ\lambda, μ∈V\mu\in Vに対して，[𝔤~λ,𝔤~μ]⊆𝔤~λ+μ[\widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda},\widetilde{\mathfrak{g}}_{\mu}]\subseteq% \widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda+\mu}である．

  2. (2)

    各α∈Π\alpha\in\Piに対してH~α∈𝔤~0\widetilde{H}_{\alpha}\in\widetilde{\mathfrak{g}}_{0}，X~α∈𝔤~α\widetilde{X}_{\alpha}\in\widetilde{\mathfrak{g}}_{\alpha}，Y~α∈𝔤~−α\widetilde{Y}_{\alpha}\in\widetilde{\mathfrak{g}}_{-\alpha}であり，直和分解𝔤~=⨁λ∈V𝔤~λ\widetilde{\mathfrak{g}}=\bigoplus_{\lambda\in V}\widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda}が成立する．

  3. (3)

    𝔥~\widetilde{\mathfrak{h}}, 𝔫~+\widetilde{\mathfrak{n}}_{+}, 𝔫~−\widetilde{\mathfrak{n}}_{-}は𝔤~\widetilde{\mathfrak{g}}の部分Lie代数であり，直和分解𝔤~=𝔥~⊕𝔫~+⊕𝔫~−\widetilde{\mathfrak{g}}=\widetilde{\mathfrak{h}}\oplus\widetilde{\mathfrak{n}% }_{+}\oplus\widetilde{\mathfrak{n}}_{-}が成立する．（したがって，λ∈V∖(ℤ≥0⁢Π∪ℤ≤0⁢Π)\lambda\in V\setminus(\mathbb{Z}_{\geq 0}\Pi\cup\mathbb{Z}_{\leq 0}\Pi)に対しては，𝔤~λ=0\widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda}=0である．）

  4. (4)

    (H~α)α∈Π(\widetilde{H}_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}は𝔥~\widetilde{\mathfrak{h}}の基底である．

  5. (5)

    𝔫~+\widetilde{\mathfrak{n}}_{+}はLie代数として(X~α)α∈Π(\widetilde{X}_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}によって生成される．

  6. (6)

    𝔫~−\widetilde{\mathfrak{n}}_{-}はLie代数として(Y~α)α∈Π(\widetilde{Y}_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}によって生成される．44 4 より強く，𝔫~+\widetilde{\mathfrak{n}}_{+}と𝔫~−\widetilde{\mathfrak{n}}_{-}がそれぞれ(X~α)α∈Π(\widetilde{X}_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}と(Y~α)α∈Π(\widetilde{Y}_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}を基本族とする自由Lie代数であることまでいえる．証明は，Bourbaki [3, §VIII.4.2, Proposition 3]を参照のこと．

証明

(1) x∈𝔤~λx\in\widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda}，y∈𝔤~μy\in\widetilde{\mathfrak{g}}_{\mu}とすると，任意のα∈Π\alpha\in\Piに対して

[h,[x,y]]=[[h,x],y]+[x,[h,y]]=α∨⁢(λ)⁢[x,y]+α∨⁢(μ)⁢[x,y][h,[x,y]]=[[h,x],y]+[x,[h,y]]=\alpha^{\vee}(\lambda)[x,y]+\alpha^{\vee}(\mu)[x% ,y]

だから，[x,y]∈𝔤~λ+μ[x,y]\in\widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda+\mu}である．よって，[𝔤~λ,𝔤~μ]⊆𝔤~λ+μ[\widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda},\widetilde{\mathfrak{g}}_{\mu}]\subseteq% \widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda+\mu}である．

(2) H~α∈𝔤~0\widetilde{H}_{\alpha}\in\widetilde{\mathfrak{g}}_{0}，X~α∈𝔤~α\widetilde{X}_{\alpha}\in\widetilde{\mathfrak{g}}_{\alpha}，Y~α∈𝔤~−α\widetilde{Y}_{\alpha}\in\widetilde{\mathfrak{g}}_{-\alpha}は，それぞれ関係式(R1), (RS2), (RS3)から従う．

𝔤~\widetilde{\mathfrak{g}}はベクトル空間として「H~α\widetilde{H}_{\alpha}, X~α\widetilde{X}_{\alpha}, Y~α\widetilde{Y}_{\alpha}（α∈Π\alpha\in\Pi）からなる有限列において任意の結合順でLie括弧積をとったもの」全体で生成されるが，前段の結果と(1)より，このような元はある𝔤~λ\widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda}に含まれる．よって，𝔤~=∑λ∈V𝔤~λ\widetilde{\mathfrak{g}}=\sum_{\lambda\in V}\widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda}が成り立つ．さらに，線型代数の一般論より，この和は直和である．

(3), (4), (5), (6)（(H~α)α∈Π(\widetilde{H}_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}の線型独立性を除く） (1)より，𝔥~\widetilde{\mathfrak{h}}, 𝔫~+\widetilde{\mathfrak{n}}_{+}, 𝔫~−\widetilde{\mathfrak{n}}_{-}は𝔤~\widetilde{\mathfrak{g}}の部分Lie代数である．(2)より，これらの和𝔥~+𝔫~++𝔫~−\widetilde{\mathfrak{h}}+\widetilde{\mathfrak{n}}_{+}+\widetilde{\mathfrak{n}}% _{-}は直和である．

(H~α)α∈Π(\widetilde{H}_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}, (X~α)α∈Π(\widetilde{X}_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}, (Y~α)α∈Π(\widetilde{Y}_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}が生成する𝔤~\widetilde{\mathfrak{g}}の部分Lie代数を，それぞれ𝔥~′\widetilde{\mathfrak{h}}^{\prime}, 𝔫~+′\widetilde{\mathfrak{n}}^{\prime}_{+}, 𝔫~−′\widetilde{\mathfrak{n}}^{\prime}_{-}と置く．これらは，それぞれ𝔥~\widetilde{\mathfrak{h}}, 𝔫~+\widetilde{\mathfrak{n}}_{+}, 𝔫~−\widetilde{\mathfrak{n}}_{-}に含まれる．主張を示すためには，𝔤~′=𝔥~′⊕𝔫~+′⊕𝔫~−′\widetilde{\mathfrak{g}}^{\prime}=\widetilde{\mathfrak{h}}^{\prime}\oplus% \widetilde{\mathfrak{n}}^{\prime}_{+}\oplus\widetilde{\mathfrak{n}}^{\prime}_{-}が𝔤~\widetilde{\mathfrak{g}}全体に一致することをいえばよい．𝔤~′\widetilde{\mathfrak{g}}^{\prime}は𝔤~\widetilde{\mathfrak{g}}の生成元H~α\widetilde{H}_{\alpha}, X~α\widetilde{X}_{\alpha}, Y~α\widetilde{Y}_{\alpha}をすべて含むから，そのためには，𝔤~′\widetilde{\mathfrak{g}}^{\prime}が𝔤~\widetilde{\mathfrak{g}}の部分Lie代数であることをいえばよい．そのためには，𝔤~′\widetilde{\mathfrak{g}}^{\prime}がad⁡(H~α)\operatorname{ad}(\widetilde{H}_{\alpha}), ad⁡(X~α)\operatorname{ad}(\widetilde{X}_{\alpha}), ad⁡(Y~α)\operatorname{ad}(\widetilde{Y}_{\alpha})によって安定であることをいえば十分である．このことは，𝔤~′\widetilde{\mathfrak{g}}^{\prime}がベクトル空間として

H~β\displaystyle\widetilde{H}_{\beta} (β∈Π),\displaystyle(\beta\in\Pi),
[X~βk,…,[X~β2,X~β1]]\displaystyle[\widetilde{X}_{\beta_{k}},\dots,[\widetilde{X}_{\beta_{2}},% \widetilde{X}_{\beta_{1}}]] (k≥1は整数，β1, …, βk∈Π)\displaystyle(\text{$k\geq 1$は整数，$\beta_{1}$, $\dots$, $\beta_{k}\in\Pi$})

の全体によって生成されることと，次の主張から従う．

主張3.20

上記の元にad⁡(H~α)\operatorname{ad}(\widetilde{H}_{\alpha}), ad⁡(X~α)\operatorname{ad}(\widetilde{X}_{\alpha}), ad⁡(Y~α)\operatorname{ad}(\widetilde{Y}_{\alpha})を施した結果について，次の表に述べたことが成り立つ．ここで，c=n⁢(β1,α)+⋯+n⁢(βk,α)c=n(\beta_{1},\alpha)+\dots+n(\beta_{k},\alpha)と置いた．

H~β\widetilde{H}_{\beta} [X~βk,…,[X~β2,X~β1]][\widetilde{X}_{\beta_{k}},\dots,[\widetilde{X}_{\beta_{2}},\widetilde{X}_{% \beta_{1}}]] [Y~βk,…,[Y~β2,Y~β1]][\widetilde{Y}_{\beta_{k}},\dots,[\widetilde{Y}_{\beta_{2}},\widetilde{Y}_{% \beta_{1}}]]
ad⁡(H~α)\operatorname{ad}(\widetilde{H}_{\alpha}) 0 c⁢[X~βk,…,[X~β2,X~β1]]c[\widetilde{X}_{\beta_{k}},\dots,[\widetilde{X}_{\beta_{2}},\widetilde{X}_{% \beta_{1}}]] −c⁢[Y~βk,…,[Y~β2,Y~β1]]-c[\widetilde{Y}_{\beta_{k}},\dots,[\widetilde{Y}_{\beta_{2}},\widetilde{Y}_{% \beta_{1}}]]
ad⁡(X~α)\operatorname{ad}(\widetilde{X}_{\alpha}) −n⁢(α,β)⁢X~α-n(\alpha,\beta)\widetilde{X}_{\alpha} [X~α,[X~βk,…,[X~β2,X~β1]]][\widetilde{X}_{\alpha},[\widetilde{X}_{\beta_{k}},\dots,[\widetilde{X}_{\beta% _{2}},\widetilde{X}_{\beta_{1}}]]] {∈𝔥~′(k=1)∈𝔫~+′(k≥2)\begin{cases}\in\widetilde{\mathfrak{h}}^{\prime}&(k=1)\\ \in\widetilde{\mathfrak{n}}^{\prime}_{+}&(k\geq 2)\end{cases}
ad⁡(Y~α)\operatorname{ad}(\widetilde{Y}_{\alpha}) n⁢(α,β)⁢Y~αn(\alpha,\beta)\widetilde{Y}_{\alpha} {∈𝔥~′(k=1)∈𝔫~+′(k≥2)\begin{cases}\in\widetilde{\mathfrak{h}}^{\prime}&(k=1)\\ \in\widetilde{\mathfrak{n}}^{\prime}_{+}&(k\geq 2)\end{cases} [Y~α,[Y~βk,…,[Y~β2,Y~β1]]][\widetilde{Y}_{\alpha},[\widetilde{Y}_{\beta_{k}},\dots,[\widetilde{Y}_{\beta% _{2}},\widetilde{Y}_{\beta_{1}}]]]
主張3.20の証明

H~β\widetilde{H}_{\beta}の列の主張は，関係式(R1), (R2), (R3)から従う．[X~βk,…,[X~β2,X~β1]][\widetilde{X}_{\beta_{k}},\dots,[\widetilde{X}_{\beta_{2}},\widetilde{X}_{% \beta_{1}}]]の列の主張と[Y~βk,…,[Y~β2,Y~β1]][\widetilde{Y}_{\beta_{k}},\dots,[\widetilde{Y}_{\beta_{2}},\widetilde{Y}_{% \beta_{1}}]]の列の主張は同様に示せるから，前者のみを考える．ad⁡(X~α)\operatorname{ad}(\widetilde{X}_{\alpha})の行の主張は，明らかである．ad⁡(H~α)\operatorname{ad}(\widetilde{H}_{\alpha})の行の主張は，(1)と(2)より[X~βk,…,[X~β2,X~β1]]∈𝔤~β1+⋯+βk[\widetilde{X}_{\beta_{k}},\dots,[\widetilde{X}_{\beta_{2}},\widetilde{X}_{% \beta_{1}}]]\in\widetilde{\mathfrak{g}}_{\beta_{1}+\dots+\beta_{k}}であることから従う．ad⁡(Y~α)\operatorname{ad}(\widetilde{Y}_{\alpha})の主張について，k=1k=1のときは，関係式(R4)より，

ad⁡(Y~α)⁢X~β1=δα⁢β1⁢H~α∈𝔥~′\operatorname{ad}(\widetilde{Y}_{\alpha})\widetilde{X}_{\beta_{1}}=\delta_{% \alpha\beta_{1}}\widetilde{H}_{\alpha}\in\widetilde{\mathfrak{h}}^{\prime}

である．また，[X~βk,…,[X~β2,X~β1]]∈𝔥~′⊕𝔫~+′[\widetilde{X}_{\beta_{k}},\dots,[\widetilde{X}_{\beta_{2}},\widetilde{X}_{% \beta_{1}}]]\in\widetilde{\mathfrak{h}}^{\prime}\oplus\widetilde{\mathfrak{n}}% ^{\prime}_{+}であるとすると，関係式(R4)より，

ad⁡(Y~α)⁢[X~βk+1,…,[X~β2,X~β1]]\displaystyle\operatorname{ad}(\widetilde{Y}_{\alpha})[\widetilde{X}_{\beta_{k% +1}},\dots,[\widetilde{X}_{\beta_{2}},\widetilde{X}_{\beta_{1}}]]
=ad⁡(X~βk+1)⁢ad⁡(Y~α)⁢[X~βk,…,[X~β2,X~β1]]−δα⁢βk+1⁢ad⁡(H~α)⁢[X~βk,…,[X~β2,X~β1]]\displaystyle=\operatorname{ad}(\widetilde{X}_{\beta_{k+1}})\operatorname{ad}(% \widetilde{Y}_{\alpha})[\widetilde{X}_{\beta_{k}},\dots,[\widetilde{X}_{\beta_% {2}},\widetilde{X}_{\beta_{1}}]]-\delta_{\alpha\beta_{k+1}}\operatorname{ad}(% \widetilde{H}_{\alpha})[\widetilde{X}_{\beta_{k}},\dots,[\widetilde{X}_{\beta_% {2}},\widetilde{X}_{\beta_{1}}]]
∈ad⁡(X~βk+1)⁢(𝔥~′⊕𝔫~+′)+𝔫~+′\displaystyle\in\operatorname{ad}(\widetilde{X}_{\beta_{k+1}})(\widetilde{% \mathfrak{h}}^{\prime}\oplus\widetilde{\mathfrak{n}}^{\prime}_{+})+\widetilde{% \mathfrak{n}}^{\prime}_{+}
=𝔫~+′\displaystyle=\widetilde{\mathfrak{n}}^{\prime}_{+}

となる．よって，帰納的に，k≥2k\geq 2のときad⁡(Y~α)⁢[X~βk,…,[X~β2,X~β1]]∈𝔫~+′\operatorname{ad}(\widetilde{Y}_{\alpha})[\widetilde{X}_{\beta_{k}},\dots,[% \widetilde{X}_{\beta_{2}},\widetilde{X}_{\beta_{1}}]]\in\widetilde{\mathfrak{n% }}^{\prime}_{+}であることを得る．//

(H~α)α∈Π(\widetilde{H}_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}の線型独立性 生成元と関係式で定まるLie代数の普遍性と補題3.18より，Lie代数𝔤~\widetilde{\mathfrak{g}}の𝐓⁢(𝕂⊕Π)\mathbf{T}(\mathbb{K}^{\oplus\Pi})上の表現であってH~α\widetilde{H}_{\alpha}, X~α\widetilde{X}_{\alpha}, Y~α\widetilde{Y}_{\alpha}をそれぞれH^α\widehat{H}_{\alpha}, X^α\widehat{X}_{\alpha}, Y^α\widehat{Y}_{\alpha}に移すものが，一意に存在する．各α∈Π\alpha\in\Piに対して，𝕂⊕Π\mathbb{K}^{\oplus\Pi}（を𝐓⁢(𝕂⊕Π)\mathbf{T}(\mathbb{K}^{\oplus\Pi})の部分ベクトル空間とみなしたもの）はH^α\widehat{H}_{\alpha}安定であり，𝕂⊕Π\mathbb{K}^{\oplus\Pi}の標準基底に関するH^α|𝕂⊕Π\widehat{H}_{\alpha}|_{\mathbb{K}^{\oplus\Pi}}の行列表示は，(β,β)(\beta,\beta)成分がn⁢(β,α)n(\beta,\alpha)である対角行列である．Cartan行列(n⁢(β,α))(β,α)∈Π×Π(n(\beta,\alpha))_{(\beta,\alpha)\in\Pi\times\Pi}は正則だから（参照），(H^α|𝕂⊕Π)α∈Π(\widehat{H}_{\alpha}|_{\mathbb{K}^{\oplus\Pi}})_{\alpha\in\Pi}はEnd⁡(𝕂⊕Π)\operatorname{End}(\mathbb{K}^{\oplus\Pi})において線型独立である．特に，(H~α)α∈Π(\widetilde{H}_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}は𝔤~\widetilde{\mathfrak{g}}において線型独立である． ∎

補題3.21

VVを標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の有限次元ベクトル空間とする．Δ\DeltaをVV上の被約ルート系とし，Π\Piをその基底とする．𝔤~\widetilde{\mathfrak{g}}, 𝔤~λ\widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda}, 𝔫~+\widetilde{\mathfrak{n}}_{+}, 𝔫~−\widetilde{\mathfrak{n}}_{-}を，補題3.19のとおりに定義する．異なる二つの単純ルートα\alpha, β∈Π\beta\in\Piに対して

X~α⁢β=ad(X~α)1−n⁢(β,α)X~β,Y~α⁢β=ad(Y~α)1−n⁢(β,α)Y~β\widetilde{X}_{\alpha\beta}=\operatorname{ad}(\widetilde{X}_{\alpha})^{1-n(% \beta,\alpha)}\widetilde{X}_{\beta},\qquad\widetilde{Y}_{\alpha\beta}=% \operatorname{ad}(\widetilde{Y}_{\alpha})^{1-n(\beta,\alpha)}\widetilde{Y}_{\beta}

と定め，X~α⁢β\widetilde{X}_{\alpha\beta}の全体が生成する𝔤~\widetilde{\mathfrak{g}}のイデアルを𝔞~+\widetilde{\mathfrak{a}}_{+}と置き，Y~α⁢β\widetilde{Y}_{\alpha\beta}の全体が生成する𝔤~\widetilde{\mathfrak{g}}のイデアルを𝔞~−\widetilde{\mathfrak{a}}_{-}と置く．このとき，

𝔞~+=⨁λ∈ℤ≥0⁢Π∖{0}(𝔞~+∩𝔤~λ)⊆𝔫~+,𝔞~−=⨁λ∈ℤ≤0⁢Π∖{0}(𝔞~−∩𝔤~λ)⊆𝔫~−\widetilde{\mathfrak{a}}_{+}=\bigoplus_{\lambda\in\mathbb{Z}_{\geq 0}\Pi% \setminus\{0\}}(\widetilde{\mathfrak{a}}_{+}\cap\widetilde{\mathfrak{g}}_{% \lambda})\subseteq\widetilde{\mathfrak{n}}_{+},\qquad\widetilde{\mathfrak{a}}_% {-}=\bigoplus_{\lambda\in\mathbb{Z}_{\leq 0}\Pi\setminus\{0\}}(\widetilde{% \mathfrak{a}}_{-}\cap\widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda})\subseteq\widetilde{% \mathfrak{n}}_{-}

が成り立つ．

証明

どちらも同様だから，𝔞~+\widetilde{\mathfrak{a}}_{+}に関する主張を示す．𝔞~+\widetilde{\mathfrak{a}}_{+}は𝔤~\widetilde{\mathfrak{g}}のイデアルであり，特にad⁡(𝔥~)\operatorname{ad}(\widetilde{\mathfrak{h}})安定だから，線型代数の一般論より，

𝔞~+=⨁λ∈V(𝔞~+∩𝔤~λ)\widetilde{\mathfrak{a}}_{+}=\bigoplus_{\lambda\in V}(\widetilde{\mathfrak{a}}% _{+}\cap\widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda})

が成り立つ．あとは，𝔞~+\widetilde{\mathfrak{a}}_{+}が𝔫~+=⨁λ∈ℤ≥0⁢Π∖{0}𝔤~λ\widetilde{\mathfrak{n}}_{+}=\bigoplus_{\lambda\in\mathbb{Z}_{\geq 0}\Pi% \setminus\{0\}}\widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda}に含まれることを示せばよい．以下，X~α⁢β\widetilde{X}_{\alpha\beta}の全体が生成する𝔤~\widetilde{\mathfrak{g}}の部分ベクトル空間を，𝔞~+0\widetilde{\mathfrak{a}}_{+}^{0}と置く．

まず，[𝔫~−,𝔞~+0]=0[\widetilde{\mathfrak{n}}_{-},\widetilde{\mathfrak{a}}_{+}^{0}]=0を示す．𝔫~−\widetilde{\mathfrak{n}}_{-}はLie代数として(Y~α)α∈Π(\widetilde{Y}_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}によって生成されるから（補題3.19 (6)），そのためには，任意のα\alpha, β\beta, γ∈Π\gamma\in\Pi（α≠β\alpha\neq\beta）に対して[Y~γ⁢X~α⁢β]=0[\widetilde{Y}_{\gamma}\widetilde{X}_{\alpha\beta}]=0であることをいえばよい．γ≠α\gamma\neq\alphaのとき，関係式(R2)と(R4)より，

[Y~γ,X~α⁢β]\displaystyle[\widetilde{Y}_{\gamma},\widetilde{X}_{\alpha\beta}] =ad(Y~γ)ad(X~α)1−n⁢(β,α)X~β\displaystyle=\operatorname{ad}(\widetilde{Y}_{\gamma})\operatorname{ad}(% \widetilde{X}_{\alpha})^{1-n(\beta,\alpha)}\widetilde{X}_{\beta}
=ad(X~α)1−n⁢(β,α)ad(Y~γ)X~β\displaystyle=\operatorname{ad}(\widetilde{X}_{\alpha})^{1-n(\beta,\alpha)}% \operatorname{ad}(\widetilde{Y}_{\gamma})\widetilde{X}_{\beta}
=−δβ⁢γad(X~α)1−n⁢(β,α)H~β\displaystyle=-\delta_{\beta\gamma}\operatorname{ad}(\widetilde{X}_{\alpha})^{% 1-n(\beta,\alpha)}\widetilde{H}_{\beta}
=δβ⁢γn(α,β)ad(X~α)−n⁢(β,α)X~α\displaystyle=\delta_{\beta\gamma}n(\alpha,\beta)\operatorname{ad}(\widetilde{% X}_{\alpha})^{-n(\beta,\alpha)}\widetilde{X}_{\alpha}
=0\displaystyle=0

である（n⁢(β,α)=0n(\beta,\alpha)=0ならばn⁢(α,β)=0n(\alpha,\beta)=0であり，n⁢(β,α)<0n(\beta,\alpha)<0ならばad(X~α)−n⁢(β,α)X~α=0\operatorname{ad}(\widetilde{X}_{\alpha})^{-n(\beta,\alpha)}\widetilde{X}_{% \alpha}=0だから，最後の等式が成り立つ）．γ=α\gamma=\alphaのとき，関係式(R2), (R3), (R4)と補題2.10 (2)より，

[Y~α,X~α⁢β]\displaystyle[\widetilde{Y}_{\alpha},\widetilde{X}_{\alpha\beta}] =ad(Y~α)ad(X~α)1−n⁢(β,α)X~β\displaystyle=\operatorname{ad}(\widetilde{Y}_{\alpha})\operatorname{ad}(% \widetilde{X}_{\alpha})^{1-n(\beta,\alpha)}\widetilde{X}_{\beta}
=ad(X~α)1−n⁢(β,α)ad(Y~α)X~β−(1−n(β,α))ad(X~α)−n⁢(β,α)(ad(H~α)−n(β,α))X~β\displaystyle=\operatorname{ad}(\widetilde{X}_{\alpha})^{1-n(\beta,\alpha)}% \operatorname{ad}(\widetilde{Y}_{\alpha})\widetilde{X}_{\beta}-(1-n(\beta,% \alpha))\operatorname{ad}(\widetilde{X}_{\alpha})^{-n(\beta,\alpha)}(% \operatorname{ad}(\widetilde{H}_{\alpha})-n(\beta,\alpha))\widetilde{X}_{\beta}
=0\displaystyle=0

である．よって，いずれの場合にも，[Y~γ⁢X~α⁢β]=0[\widetilde{Y}_{\gamma}\widetilde{X}_{\alpha\beta}]=0が成り立つ．

次に，𝔞~+⊆𝔫~+\widetilde{\mathfrak{a}}_{+}\subseteq\widetilde{\mathfrak{n}}_{+}を示す．𝔤~\widetilde{\mathfrak{g}}の随伴表現に対応する包絡代数の表現をρ:𝐔⁢(𝔤~)→End⁡(𝔤~)\rho\colon\mathbf{U}(\widetilde{\mathfrak{g}})\to\operatorname{End}(\widetilde% {\mathfrak{g}})と書くと，

𝔞~+\displaystyle\widetilde{\mathfrak{a}}_{+} =ρ⁢(𝐔⁢(𝔤~))⁢𝔞~+0\displaystyle=\rho(\mathbf{U}(\widetilde{\mathfrak{g}}))\widetilde{\mathfrak{a% }}_{+}^{0}
=ρ⁢(𝐔⁢(𝔫~+))⁢ρ⁢(𝐔⁢(𝔥~))⁢ρ⁢(𝐔⁢(𝔫~+))⁢𝔞~+0\displaystyle=\rho(\mathbf{U}(\widetilde{\mathfrak{n}}_{+}))\rho(\mathbf{U}(% \widetilde{\mathfrak{h}}))\rho(\mathbf{U}(\widetilde{\mathfrak{n}}_{+}))% \widetilde{\mathfrak{a}}_{+}^{0} (補題3.19 (3)，Poincaré–Birkhoff–Wittの定理55 5 Poincaré–Birkhoff–Wittの定理（の定式化の一つ）は，「 g が（任意の可換体上の）Lie代数であり， ( x i ) ∈ i I が g の全順序集合 I で添字付けられた基底であるとき， ∈ n N と i 1 , … , ∈ i n I が i 1 ≤ ⋯ ≤ i n を満たす範囲を動くときの ⁢ x i 1 ⋯ x i n の全体が，包絡代数 ⁢ U ( g ) の基底をなす」ことを主張している．この主張のうち，「（ベクトル空間として）生成する」ことは，帰納法によって容易に証明できる．ここで必要なのは，「（ベクトル空間として）生成する」ことだけである．)\displaystyle(\text{\lx@cref{socrefnum}{thm:lie-algebra-defined-by-chevalley-% relations}~{}(3)，\href../lie-algebras/enveloping-algebras.html#thm:pbw-2})
=ρ⁢(𝐔⁢(𝔫~+))⁢ρ⁢(𝐔⁢(𝔥~))⁢𝔞~+0\displaystyle=\rho(\mathbf{U}(\widetilde{\mathfrak{n}}_{+}))\rho(\mathbf{U}(% \widetilde{\mathfrak{h}}))\widetilde{\mathfrak{a}}_{+}^{0} (前段の結果)\displaystyle(\text{前段の結果})
⊆ρ⁢(𝐔⁢(𝔫~+))⁢𝔞~+0\displaystyle\subseteq\rho(\mathbf{U}(\widetilde{\mathfrak{n}}_{+}))\widetilde% {\mathfrak{a}}_{+}^{0} (補題3.19 (1), (2)より[𝔥~,X~α⁢β]⊆𝕂⁢X~α⁢β)\displaystyle(\text{\lx@cref{socrefnum}{thm:lie-algebra-defined-by-chevalley-% relations}~{}(1), (2)より$[\widetilde{\mathfrak{h}},\widetilde{X}_{\alpha\beta}]% \subseteq\mathbb{K}\widetilde{X}_{\alpha\beta}$})
⊆𝔫~+\displaystyle\subseteq\widetilde{\mathfrak{n}}_{+} (𝔞~+0⊆𝔫~+)\displaystyle(\widetilde{\mathfrak{a}}_{+}^{0}\subseteq\widetilde{\mathfrak{n}% }_{+})

である．これで，主張が示された．∎

定理3.22 (存在定理)

VVを標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の有限次元ベクトル空間とする．Δ\DeltaをVV上の被約ルート系とし，Π\Piをその基底とする．𝔤\mathfrak{g}を，α∈Π\alpha\in\Piに対する生成元

Hα,Xα,YαH_{\alpha},\quad X_{\alpha},\quad Y_{\alpha}

とα\alpha, β∈Π\beta\in\Piに対する関係式

  1. (R1)

    [Hα,Hβ]=0[H_{\alpha},H_{\beta}]=0

  2. (R2)

    [Hα,Xβ]=n⁢(β,α)⁢Xβ[H_{\alpha},X_{\beta}]=n(\beta,\alpha)X_{\beta}

  3. (R3)

    [Hα,Yβ]=−n⁢(β,α)⁢Yβ[H_{\alpha},Y_{\beta}]=-n(\beta,\alpha)Y_{\beta}

  4. (R4)

    [Xα,Yβ]=δα⁢β⁢Hα[X_{\alpha},Y_{\beta}]=\delta_{\alpha\beta}H_{\alpha}

  5. (R5)

    ad(Xα)1−n⁢(β,α)Xβ=0\operatorname{ad}(X_{\alpha})^{1-n(\beta,\alpha)}X_{\beta}=0（α≠β\alpha\neq\betaの場合）

  6. (R6)

    ad(Yα)1−n⁢(β,α)Yβ=0\operatorname{ad}(Y_{\alpha})^{1-n(\beta,\alpha)}Y_{\beta}=0（α≠β\alpha\neq\betaの場合）

によって定まるLie代数とし，𝔥=span⁡{Hα∣α∈Π}\mathfrak{h}=\operatorname{span}\{H_{\alpha}\mid\alpha\in\Pi\}と定める．

  1. (1)

    (𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})は分裂半単純Lie代数である．

  2. (2)

    (Hα)α∈Π(H_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}は𝔥\mathfrak{h}の基底である．

  3. (3)

    (2)より，各α∈Π\alpha\in\Piに対してα∨\alpha^{\vee}をHαH_{\alpha}に移すことでV∗V^{*}から𝔥\mathfrak{h}への線型同型写像が定まるが，これが誘導する線型同型写像Φ:V→𝔥∗\Phi\colon V\to\mathfrak{h}^{*}は，ルート系Δ\DeltaからΔ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})への同型である．

証明

補題3.19と補題3.21の記号を用いると，𝔤\mathfrak{g}は商Lie代数𝔤~/(𝔞~+⊕𝔞~−)\widetilde{\mathfrak{g}}/(\widetilde{\mathfrak{a}}_{+}\oplus\widetilde{% \mathfrak{a}}_{-})であり，等化準同型をϖ:𝔤~→𝔤\varpi\colon\widetilde{\mathfrak{g}}\to\mathfrak{g}と書くと，ϖ⁢(H~α)=Hα\varpi(\widetilde{H}_{\alpha})=H_{\alpha}，ϖ⁢(X~α)=Xα\varpi(\widetilde{X}_{\alpha})=X_{\alpha}，ϖ⁢(Y~α)=Yα\varpi(\widetilde{Y}_{\alpha})=Y_{\alpha}である．補題3.19 (2), (3)より，直和分解

𝔤~=⨁λ∈V𝔤~λ=⨁λ∈ℤ≥0⁢Π∪ℤ≤0⁢Π𝔤~λ\widetilde{\mathfrak{g}}=\bigoplus_{\lambda\in V}\widetilde{\mathfrak{g}}_{% \lambda}=\bigoplus_{\lambda\in\mathbb{Z}_{\geq 0}\Pi\cup\mathbb{Z}_{\leq 0}\Pi% }\widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda}

が成立する．このことと補題3.21より，𝔤λ=ϖ⁢(𝔤~λ)=𝔤~λ/((𝔞~+⊕𝔞~−)∩𝔤~λ)\mathfrak{g}_{\lambda}=\varpi(\widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda})=\widetilde{% \mathfrak{g}}_{\lambda}/((\widetilde{\mathfrak{a}}_{+}\oplus\widetilde{% \mathfrak{a}}_{-})\cap\widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda})と置くと，直和分解

𝔤=⨁λ∈V𝔤λ=⨁λ∈ℤ≥0⁢Π∪ℤ≤0⁢Π𝔤λ\mathfrak{g}=\bigoplus_{\lambda\in V}\mathfrak{g}_{\lambda}=\bigoplus_{\lambda% \in\mathbb{Z}_{\geq 0}\Pi\cup\mathbb{Z}_{\leq 0}\Pi}\mathfrak{g}_{\lambda}

が成立する．

直和分解3.4節におけるλ=0\lambda=0に対応する因子については，(𝔞~+⊕𝔞~−)∩𝔤~0=0(\widetilde{\mathfrak{a}}_{+}\oplus\widetilde{\mathfrak{a}}_{-})\cap\widetilde% {\mathfrak{g}}_{0}=0だから（補題3.21），ϖ\varpiは𝔥~=𝔤~0\widetilde{\mathfrak{h}}=\widetilde{\mathfrak{g}}_{0}から𝔤0\mathfrak{g}_{0}への同型を与える．(H~α)α∈Π(\widetilde{H}_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}は𝔥~\widetilde{\mathfrak{h}}の基底だから，(Hα)α∈Π(H_{\alpha})_{\alpha\in\Pi}の基底である．これで(2)が示され，したがって，線型同型写像Φ:V→𝔥∗\Phi\colon V\to\mathfrak{h}^{*}を(3)のように定義できる．

λ∈V\lambda\in Vに対して

𝔤λ⊆{x∈𝔤∣任意のα∈Πに対して[Hα,x]=α∨⁢(λ)⁢x}\mathfrak{g}_{\lambda}\subseteq\{x\in\mathfrak{g}\mid\text{任意の$\alpha\in\Pi$に対% して$[H_{\alpha},x]=\alpha^{\vee}(\lambda)x$}\}

だが，λ\lambdaが動くとき，左辺の和は直和分解3.4節を与え，右辺の和は線型代数の一般論より直和だから，上式では等号が成り立つ．(3)の線型同型写像Φ:V→𝔥∗\Phi\colon V\to\mathfrak{h}^{*}を用いれば，

𝔤λ\displaystyle\mathfrak{g}_{\lambda} ={x∈𝔤∣任意のλ∈Πに対して[Hα,x]=α∨⁢(λ)⁢x}\displaystyle=\{x\in\mathfrak{g}\mid\text{任意の$\lambda\in\Pi$に対して$[H_{\alpha},x% ]=\alpha^{\vee}(\lambda)x$}\}
={x∈𝔤∣任意のh∈𝔥に対して[h,x]=Φ⁢(λ)⁢(h)⁢x}\displaystyle=\{x\in\mathfrak{g}\mid\text{任意の$h\in\mathfrak{h}$に対して$[h,x]=\Phi% (\lambda)(h)x$}\} (**)

とも書ける．

主張3.23

α∈Π\alpha\in\Piとする．

  1. (1)

    𝔤\mathfrak{g}上の線型写像ad⁡(Xα)\operatorname{ad}(X_{\alpha})とad⁡(Yα)\operatorname{ad}(Y_{\alpha})は局所冪零である．

  2. (2)

    𝔤\mathfrak{g}の自己同型θα\theta_{\alpha}を

    θα=ead⁡(Xα)⁢ead⁡(−Yα)⁢ead⁡(Xα)∈Aut⁡(𝔤)\theta_{\alpha}=e^{\operatorname{ad}(X_{\alpha})}e^{\operatorname{ad}(-Y_{% \alpha})}e^{\operatorname{ad}(X_{\alpha})}\in\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})

    と定めると（(1)より可能である），任意のλ∈V\lambda\in Vに対して，θα⁢(𝔤λ)=𝔤sα⁢(λ)\theta_{\alpha}(\mathfrak{g}_{\lambda})=\mathfrak{g}_{s_{\alpha}(\lambda)}が成り立つ．

主張3.23の証明

(1) どちらも同様だから，ad⁡(Xα)\operatorname{ad}(X_{\alpha})が局所冪零であることを示す．ad⁡(Xα)\operatorname{ad}(X_{\alpha})は𝔤\mathfrak{g}上の導分だから，ad⁡(Xα)\operatorname{ad}(X_{\alpha})を繰り返し施すと0になる元全体は𝔤\mathfrak{g}の部分Lie代数をなす．任意のβ∈Π\beta\in\Piに対して，HβH_{\beta}, XβX_{\beta}, YβY_{\beta}にad⁡(Xα)\operatorname{ad}(X_{\alpha})を繰り返し施すと0になることを示せばよい．これは，

ad(Xα)2Hβ=ad(Xα)(−n(β,α)Xα)=0,\displaystyle\operatorname{ad}(X_{\alpha})^{2}H_{\beta}=\operatorname{ad}(X_{% \alpha})(-n(\beta,\alpha)X_{\alpha})=0,
ad⁡(Xα)⁢Xα=0,\displaystyle\operatorname{ad}(X_{\alpha})X_{\alpha}=0,
ad(Xα)1−n⁢(β,α)Xβ=0\displaystyle\operatorname{ad}(X_{\alpha})^{1-n(\beta,\alpha)}X_{\beta}=0 (β≠α),\displaystyle(\beta\neq\alpha),
ad(Xα)3Xβ=ad(Xα)2(δα⁢βHα)=0\displaystyle\operatorname{ad}(X_{\alpha})^{3}X_{\beta}=\operatorname{ad}(X_{% \alpha})^{2}(\delta_{\alpha\beta}H_{\alpha})=0

であることから従う．

(2) Φ⁢(α)⁢(Hα)=α∨⁢(α)=2\Phi(\alpha)(H_{\alpha})=\alpha^{\vee}(\alpha)=2であり，𝔤λ\mathfrak{g}_{\lambda}は(**) ‣ 3.4節のように書け，Hα≠0H_{\alpha}\neq 0であることと関係式(R2), (R3), (R4)より(Hα,Xα,Yα)(H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha})は𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対である（注意3.9）．よって，Φ⁢(α)\Phi(\alpha)とHαH_{\alpha}, XαX_{\alpha}, YαY_{\alpha}は補題3.12の仮定を満たし，主張はこの補題の(3)から従う． //

主張3.24

𝔤λ\mathfrak{g}_{\lambda}（λ∈V\lambda\in V）は，λ=0\lambda=0ならば𝔥\mathfrak{h}であり，λ∈Δ\lambda\in\Deltaならば11次元であり，それ以外ならば0である．特に，𝔤\mathfrak{g}は有限次元であり，直和分解

𝔤=𝔥⊕⨁α∈Δ𝔤α\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Delta}\mathfrak{g}_{\alpha}

が成立する．

主張3.24の証明

𝔤0=𝔥\mathfrak{g}_{0}=\mathfrak{h}はすでに示した．3.4節より，𝔤λ≠0\mathfrak{g}_{\lambda}\neq 0となりうるのは，λ∈ℤ≥0⁢Π∪ℤ≤0⁢Π\lambda\in\mathbb{Z}_{\geq 0}\Pi\cup\mathbb{Z}_{\leq 0}\Piのときだけである．λ∈ℤ⁢Δ\lambda\in\mathbb{Z}\Deltaが一つのルートの整数倍として書けなければ，あるs∈𝐖⁢(Δ)s\in\mathbf{W}(\Delta)が存在してs⁢(λ)∉ℤ≥0⁢Π∪ℤ≤0⁢Πs(\lambda)\notin\mathbb{Z}_{\geq 0}\Pi\cup\mathbb{Z}_{\leq 0}\Piとなるから（参照），主張3.23 (2)より，𝔤λ=0\mathfrak{g}_{\lambda}=0である．

以下，ルートα∈Δ\alpha\in\Deltaと正の整数mmに対して，

dim𝔤m⁢α={1(m=1)0(m≥2)\dim\mathfrak{g}_{m\alpha}=\begin{cases}1&(m=1)\\ 0&(m\geq 2)\end{cases}

を示す．被約ルート系Δ\Deltaの任意のルートがWeyl群の作用によって単純ルートに移せること（参照）と主張3.23 (2)より，単純ルートα∈Π\alpha\in\Piに対してこれを示せば十分である．𝔫~+=⨁λ∈ℤ≥0⁢Π∖{0}𝔤~λ\widetilde{\mathfrak{n}}_{+}=\bigoplus_{\lambda\in\mathbb{Z}_{\geq 0}\Pi% \setminus\{0\}}\widetilde{\mathfrak{g}}_{\lambda}はLie代数として(X~β)β∈Π(\widetilde{X}_{\beta})_{\beta\in\Pi}によって生成されるから（補題3.19 (5)），𝔫+=ϖ⁢(𝔫~+)=⨁λ∈ℤ≥0⁢Π∖{0}𝔤λ\mathfrak{n}_{+}=\varpi(\widetilde{\mathfrak{n}}_{+})=\bigoplus_{\lambda\in% \mathbb{Z}_{\geq 0}\Pi\setminus\{0\}}\mathfrak{g}_{\lambda}はLie代数としてXαX_{\alpha}によって生成される．したがって，𝔫+\mathfrak{n}_{+}はベクトル空間として

Xβ1X_{\beta_{1}}, …\dots, XβkX_{\beta_{k}}において任意の結合順でLie括弧積をとったもの（k∈ℕ>0k\in\mathbb{N}_{>0}，β1\beta_{1}, …\dots, βk∈Π\beta_{k}\in\Pi）

の全体によって生成される．3.4節は直和因子𝔤β1+⋯+βk\mathfrak{g}_{\beta_{1}+\dots+\beta_{k}}に属するが（補題3.21 (1)），β1+⋯+βk=m⁢α\beta_{1}+\dots+\beta_{k}=m\alphaとなるのはk=mk=mかつβ1=⋯=βk=α\beta_{1}=\dots=\beta_{k}=\alphaのときだけである．m≥2m\geq 2のとき，3.4節は常に0だから，𝔤m⁢α=0\mathfrak{g}_{m\alpha}=0である．m=1m=1のとき，3.4節はXαX_{\alpha}だから，𝔤α=𝕂⁢Xα\mathfrak{g}_{\alpha}=\mathbb{K}X_{\alpha}である．もしXα=0X_{\alpha}=0ならばHα=[Xα,Yα]=0H_{\alpha}=[X_{\alpha},Y_{\alpha}]=0となりすでに示した(2)に矛盾するから，Xα≠0X_{\alpha}\neq 0であり，dim𝔤α=1\dim\mathfrak{g}_{\alpha}=1を得る．これで，主張が示された．//

主張3.25

(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})は分裂半単純Lie代数であり，そのルート系Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})はΦ⁢(Δ)\Phi(\Delta)に等しい．

主張3.25の証明

𝔤\mathfrak{g}が半単純であること 𝔤\mathfrak{g}の任意の可解イデアル𝔯\mathfrak{r}が0であることを示す．𝔯\mathfrak{r}は𝔤\mathfrak{g}のイデアルであり，特にad⁡(𝔥)\operatorname{ad}(\mathfrak{h})安定だから，主張3.24と線型代数の一般論より，直和分解

𝔯=(𝔯∩𝔥)⊕⨁α∈Δ(𝔯∩𝔤α)\mathfrak{r}=(\mathfrak{r}\cap\mathfrak{h})\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Delta}(% \mathfrak{r}\cap\mathfrak{g}_{\alpha})

が成立する．

まず，𝔯⊆𝔥\mathfrak{r}\subseteq\mathfrak{h}を示す．上式より，そのためには，任意のルートα∈Δ\alpha\in\Deltaに対して𝔯∩𝔤α=0\mathfrak{r}\cap\mathfrak{g}_{\alpha}=0を示せばよい．被約ルート系Δ\Deltaの任意のルートがWeyl群の作用によって単純ルートに移せること（参照）と主張3.23 (2)より，単純ルートα∈Π\alpha\in\Piに対してこれを示せば十分である．この場合，主張3.24より，𝔤α=𝕂⁢Xα\mathfrak{g}_{\alpha}=\mathbb{K}X_{\alpha}である．また，関係式(R2), (R3), (R4)とHα≠0H_{\alpha}\neq 0であることより(Hα,Xα,Yα)(H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha})は𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対だから（注意3.9），span⁡{Hα,Xα,Yα}\operatorname{span}\{H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha}\}は𝔤\mathfrak{g}の単純部分Lie代数である．よって，

𝔯∩𝔤α=𝔯∩𝕂⁢Xα⊆𝔯∩span⁡{Hα,Xα,Yα}=0\mathfrak{r}\cap\mathfrak{g}_{\alpha}=\mathfrak{r}\cap\mathbb{K}X_{\alpha}% \subseteq\mathfrak{r}\cap\operatorname{span}\{H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha}% \}=0

が成り立つ．

次に，𝔯=0\mathfrak{r}=0を示す．α∈Π\alpha\in\Piを任意にとる．前段で示したように𝔯⊆𝔥\mathfrak{r}\subseteq\mathfrak{h}であり，(**) ‣ 3.4節が成り立つから，[𝔯,𝔤α]=Φ⁢(α)⁢(𝔯)⁢𝔤α[\mathfrak{r},\mathfrak{g}_{\alpha}]=\Phi(\alpha)(\mathfrak{r})\mathfrak{g}_{\alpha}である．一方で，𝔯\mathfrak{r}は𝔤\mathfrak{g}のイデアルだから，[𝔯,𝔤α]⊆𝔯⊆𝔥[\mathfrak{r},\mathfrak{g}_{\alpha}]\subseteq\mathfrak{r}\subseteq\mathfrak{h}である．したがって，Φ⁢(α)⁢(𝔯)=0\Phi(\alpha)(\mathfrak{r})=0である．任意のα∈Π\alpha\in\Piに対してこれが成り立ち，Φ⁢(Π)\Phi(\Pi)は𝔥∗\mathfrak{h}^{*}の基底だから，𝔯=0\mathfrak{r}=0である．

𝔥\mathfrak{h}が𝔤\mathfrak{g}の分裂化Cartan部分代数であること (**) ‣ 3.4節のとおり𝔤\mathfrak{g}はad⁡(𝔥)\operatorname{ad}(\mathfrak{h})の同時固有空間の直和に同時固有値0の同時固有空間は𝔥\mathfrak{h}である．よって，𝔥\mathfrak{h}は𝔤\mathfrak{g}の分裂化Cartan部分代数である（定理1.35）．

Δ⁢(𝔤,𝔥)=Φ⁢(Δ)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})=\Phi(\Delta)であること (**) ‣ 3.4節と主張3.24から従う． //

これで，すべての主張が示された．∎

3.5 一意性定理と同型定理

命題3.26

(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂簡約Lie代数とし，Π\Piをルート系Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})の基底とする．各α∈Π\alpha\in\Piに対して，𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対(Hα,Xα,Yα)(H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha})を定理3.10のようにとる．このとき，任意のα\alpha, β∈Π\beta\in\Piに対して，次が成り立つ．

  1. (1)

    [Hα,Hβ]=0[H_{\alpha},H_{\beta}]=0．

  2. (2)

    [Hα,Xβ]=n⁢(β,α)⁢Xβ[H_{\alpha},X_{\beta}]=n(\beta,\alpha)X_{\beta}．

  3. (3)

    [Hα,Yβ]=−n⁢(β,α)⁢Yβ[H_{\alpha},Y_{\beta}]=-n(\beta,\alpha)Y_{\beta}．

  4. (4)

    [Xα,Yβ]=δα⁢β⁢Hα[X_{\alpha},Y_{\beta}]=\delta_{\alpha\beta}H_{\alpha}．

  5. (5)

    ad(Xα)1−n⁢(β,α)Xβ=0\operatorname{ad}(X_{\alpha})^{1-n(\beta,\alpha)}X_{\beta}=0（α≠β\alpha\neq\betaの場合）．

  6. (6)

    ad(Yα)1−n⁢(β,α)Yβ=0\operatorname{ad}(Y_{\alpha})^{1-n(\beta,\alpha)}Y_{\beta}=0（α≠β\alpha\neq\betaの場合）．

証明

(1), (2), (3) 明らかである．

(4) [Xα,Yα]=Hα[X_{\alpha},Y_{\alpha}]=H_{\alpha}であることは明らかである．α≠β\alpha\neq\betaであるとすると，ルート系の基底の定義よりα−β∉Δ⁢(𝔤,𝔥)∪{0}\alpha-\beta\notin\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})\cup\{0\}だから，[Xα,Yβ]∈[𝔤α,𝔤β]⊆𝔤α−β=0[X_{\alpha},Y_{\beta}]\in[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta}]\subseteq% \mathfrak{g}_{\alpha-\beta}=0である（命題3.6 (1)）．

(5) α≠β\alpha\neq\betaであるとする．Iβ,α={j∈ℤ∣β+j⁢α∈Δ⁢(𝔤,𝔥)}I_{\beta,\alpha}=\{j\in\mathbb{Z}\mid\beta+j\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},% \mathfrak{h})\}と置くと，系3.15 (1)より，pp, q∈ℕq\in\mathbb{N}を用いてIβ,α=[−q,p]∩ℤI_{\beta,\alpha}=[-q,p]\cap\mathbb{Z}と書ける．ルート系の基底の定義よりβ−α∉Δ⁢(𝔤,𝔥)\beta-\alpha\notin\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})だから，q=0q=0であり，系3.15 (2)と合わせてp=p−q=−n⁢(β,α)p=p-q=-n(\beta,\alpha)を得る．よって，

ad(Xα)1−n⁢(β,α)Xβ∈ad(𝔤α)1−n⁢(β,α)𝔤β⊆𝔤β+(1−n⁢(β,α))⁢α=0\operatorname{ad}(X_{\alpha})^{1-n(\beta,\alpha)}X_{\beta}\in\operatorname{ad}% (\mathfrak{g}_{\alpha})^{1-n(\beta,\alpha)}\mathfrak{g}_{\beta}\subseteq% \mathfrak{g}_{\beta+(1-n(\beta,\alpha))\alpha}=0

である（命題3.6 (1)）．

(6) (5)と同様である． ∎

定理3.27 (一意性定理)

(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂半単純Lie代数とし，Π\Piをルート系Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})の基底とする．各α∈Π\alpha\in\Piに対して，𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対(Hα,Xα,Yα)(H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha})を定理3.10のようにとる．(𝔤0,𝔥0)(\mathfrak{g}_{0},\mathfrak{h}_{0})を，被約ルート系Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})とその基底Π\Piから存在定理（定理3.22）の方法で定まる分裂半単純Lie代数とする（ただし，存在定理におけるHαH_{\alpha}, XαX_{\alpha}, YαY_{\alpha}を，ここではそれぞれH0,αH_{0,\alpha}, X0,αX_{0,\alpha}, Y0,αY_{0,\alpha}と書く）．このとき，準同型ϕ:𝔤0→𝔤\phi\colon\mathfrak{g}_{0}\to\mathfrak{g}であってH0,αH_{0,\alpha}, X0,αX_{0,\alpha}, Y0,αY_{0,\alpha}をそれぞれHαH_{\alpha}, XαX_{\alpha}, YαY_{\alpha}に移すものが一意に存在する．さらに，このϕ\phiは，(𝔤0,𝔥0)(\mathfrak{g}_{0},\mathfrak{h}_{0})から(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})への同型である．

証明

生成元と関係式で定まるLie代数の普遍性と命題3.26より，準同型ϕ:𝔤0→𝔤\phi\colon\mathfrak{g}_{0}\to\mathfrak{g}であってH0,αH_{0,\alpha}, X0,αX_{0,\alpha}, Y0,αY_{0,\alpha}をそれぞれHαH_{\alpha}, XαX_{\alpha}, YαY_{\alpha}に移すものが一意に存在する．XαX_{\alpha}とYαY_{\alpha}の全体は𝔤\mathfrak{g}をLie代数として生成するから（系3.17 (3)），このϕ\phiは全射である．さらに，存在定理（定理3.22 (3)）より，ルート系Δ⁢(𝔤0,𝔥0)\Delta(\mathfrak{g}_{0},\mathfrak{h}_{0})とΔ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})は同型だから，

dim𝔤0=dim𝔥0∗+#⁢Δ⁢(𝔤0,𝔥0)=dim𝔥∗+#⁢Δ⁢(𝔤,𝔥)=dim𝔤\dim\mathfrak{g}_{0}=\dim\mathfrak{h}_{0}^{*}+\#\Delta(\mathfrak{g}_{0},% \mathfrak{h}_{0})=\dim\mathfrak{h}^{*}+\#\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})=% \dim\mathfrak{g}

が成り立つ．よって，ϕ\phiは同型である．さらに，ϕ\phiは，𝔥0=span⁡{H0,α∣α∈Π}\mathfrak{h}_{0}=\operatorname{span}\{H_{0,\alpha}\mid\alpha\in\Pi\}を𝔥=span⁡{Hα∣α∈Π}\mathfrak{h}=\operatorname{span}\{H_{\alpha}\mid\alpha\in\Pi\}に移すから，(𝔤0,𝔥0)(\mathfrak{g}_{0},\mathfrak{h}_{0})から(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})への同型である．∎

定理3.28 (同型定理)

(𝔤1,𝔥1)(\mathfrak{g}_{1},\mathfrak{h}_{1})と(𝔤2,𝔥2)(\mathfrak{g}_{2},\mathfrak{h}_{2})を標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂半単純Lie代数とし，Π1\Pi_{1}とΠ2\Pi_{2}をそれぞれルート系Δ⁢(𝔤1,𝔥1)\Delta(\mathfrak{g}_{1},\mathfrak{h}_{1})とΔ⁢(𝔤2,𝔥2)\Delta(\mathfrak{g}_{2},\mathfrak{h}_{2})の基底とする．Φ:𝔥1∗→𝔥2∗\Phi\colon\mathfrak{h}_{1}^{*}\to\mathfrak{h}_{2}^{*}をルート系Δ⁢(𝔤1,𝔥1)\Delta(\mathfrak{g}_{1},\mathfrak{h}_{1})からΔ⁢(𝔤2,𝔥2)\Delta(\mathfrak{g}_{2},\mathfrak{h}_{2})への同型であってΠ1\Pi_{1}をΠ2\Pi_{2}に移すものとし，各α∈Π1\alpha\in\Pi_{1}に対して，ϕα:(𝔤1)α→(𝔤2)Φ⁢(α)\phi_{\alpha}\colon(\mathfrak{g}_{1})_{\alpha}\to(\mathfrak{g}_{2})_{\Phi(% \alpha)}を線型同型とする．このとき，(𝔤1,𝔥1)(\mathfrak{g}_{1},\mathfrak{h}_{1})から(𝔤2,𝔥2)(\mathfrak{g}_{2},\mathfrak{h}_{2})への同型ϕ\phiであって

(ϕ|𝔥1)∗−1=Φ,ϕ|(𝔤1)α=ϕα(α∈Π1)(\phi|_{\mathfrak{h}_{1}})^{*-1}=\Phi,\qquad\phi|_{(\mathfrak{g}_{1})_{\alpha}% }=\phi_{\alpha}\qquad(\alpha\in\Pi_{1})

を満たすものが一意に存在する．

証明

各i∈{1,2}i\in\{1,2\}とα∈Πi\alpha\in\Pi_{i}に対して，𝔤i\mathfrak{g}_{i}における𝔰⁢𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対(Hi,α,Xi,α,Yi,α)(H_{i,\alpha},X_{i,\alpha},Y_{i,\alpha})を定理3.10のようにとる．必要ならば各X2,αX_{2,\alpha}をスカラー倍だけ調整して，ϕα⁢(X1,α)=X2,α\phi_{\alpha}(X_{1,\alpha})=X_{2,\alpha}であるとする．

ϕ\phiを(𝔤1,𝔥1)(\mathfrak{g}_{1},\mathfrak{h}_{1})から(𝔤2,𝔥2)(\mathfrak{g}_{2},\mathfrak{h}_{2})への同型とする．各𝔤α\mathfrak{g}_{\alpha}は11次元だから（定理3.10 (1)），ϕ|(𝔤1)α=ϕα\phi|_{(\mathfrak{g}_{1})_{\alpha}}=\phi_{\alpha}であるための必要十分条件は，

ϕ⁢(X1,α)=X2,Φ⁢(α)\phi(X_{1,\alpha})=X_{2,\Phi(\alpha)}

であることである．また，線型同型写像Φ∗−1:𝔥1∗→𝔥2∗\Phi^{*-1}\colon\mathfrak{h}_{1}^{*}\to\mathfrak{h}_{2}^{*}は各H1,α=α∨H_{1,\alpha}=\alpha^{\vee}をH2,Φ⁢(α)=Φ⁢(α)∨H_{2,\Phi(\alpha)}=\Phi(\alpha)^{\vee}に移すから，(ϕ|𝔥1)∗−1=Φ(\phi|_{\mathfrak{h}_{1}})^{*-1}=\Phiであるための必要十分条件は，任意のα∈Π1\alpha\in\Pi_{1}に対して

ϕ⁢(H1,α)=H2,Φ⁢(α)\phi(H_{1,\alpha})=H_{2,\Phi(\alpha)}

であることである．次に，ϕ\phiが任意のα∈Π1\alpha\in\Pi_{1}に対して3.5節と3.5節を満たすとする．すると，各α∈Π1\alpha\in\Pi_{1}に対して，ϕ⁢(Y1,α)=ϕ⁢((𝔤1)−α)=(𝔤2)−Φ⁢(α)\phi(Y_{1,\alpha})=\phi((\mathfrak{g}_{1})_{-\alpha})=(\mathfrak{g}_{2})_{-% \Phi(\alpha)}であり，(𝔤2)−Φ⁢(α)(\mathfrak{g}_{2})_{-\Phi(\alpha)}は11次元だから（定理3.10 (1)），あるcα∈𝕂c_{\alpha}\in\mathbb{K}を用いてϕ⁢(Y1,α)=cα⁢Y2,Φ⁢(α)\phi(Y_{1,\alpha})=c_{\alpha}Y_{2,\Phi(\alpha)}と書ける．ところが，

H2,Φ⁢(α)\displaystyle H_{2,\Phi(\alpha)} =Φ⁢(H1,α)\displaystyle=\Phi(H_{1,\alpha})
=Φ⁢([X1,α,Y2,α])\displaystyle=\Phi([X_{1,\alpha},Y_{2,\alpha}])
=[Φ⁢(X1,α),Φ⁢(Y1,α)]\displaystyle=[\Phi(X_{1,\alpha}),\Phi(Y_{1,\alpha})]
=cα⁢[X2,Φ⁢(α),Y2,Φ⁢(α)]\displaystyle=c_{\alpha}[X_{2,\Phi(\alpha)},Y_{2,\Phi(\alpha)}]
=cα⁢H2,Φ⁢(α)\displaystyle=c_{\alpha}H_{2,\Phi(\alpha)}

だから，cα=1c_{\alpha}=1であり，

ϕ⁢(Y1,α)=Y2,Φ⁢(α)\phi(Y_{1,\alpha})=Y_{2,\Phi(\alpha)}

が成り立つ．

前段の議論より，(𝔤1,𝔥1)(\mathfrak{g}_{1},\mathfrak{h}_{1})から(𝔤2,𝔥2)(\mathfrak{g}_{2},\mathfrak{h}_{2})への同型ϕ\phiが主張の条件を満たすための必要十分条件は，任意のα∈Π1\alpha\in\Pi_{1}に対して3.5節, 3.5節, 3.5節が成り立つことである．一意性定理（定理3.27）より，このようなϕ\phiは，一意に存在する．∎

系3.29

標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂可能簡約Lie代数𝔤\mathfrak{g}の分裂化Cartan部分代数は，すべてAut⁡(𝔤)\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})の下で共役である．

証明

𝔤\mathfrak{g}が半単純である場合に示せば十分だから（注意3.4），以下ではそのように仮定する．𝕂¯\overline{\mathbb{K}}を𝕂\mathbb{K}の代数閉包とする．𝔥\mathfrak{h}と𝔥′\mathfrak{h}^{\prime}を𝔤\mathfrak{g}のCartan部分代数とすると，それらの係数拡大𝔥(𝕂¯)\mathfrak{h}_{(\overline{\mathbb{K}})}と𝔥(𝕂¯)′\mathfrak{h}^{\prime}_{(\overline{\mathbb{K}})}は𝔤(𝕂¯)\mathfrak{g}_{(\overline{\mathbb{K}})}のCartan部分代数だから（命題1.6），Cartan部分代数の共役性（定理1.28）より，𝔤(𝕂¯)\mathfrak{g}_{(\overline{\mathbb{K}})}の自己同型であって𝔥(𝕂¯)\mathfrak{h}_{(\overline{\mathbb{K}})}を𝔥(𝕂¯)′\mathfrak{h}^{\prime}_{(\overline{\mathbb{K}})}に移すものが存在する．この自己同型が誘導するルート系Δ⁢(𝔤(𝕂¯),𝔥(𝕂¯))\Delta(\mathfrak{g}_{(\overline{\mathbb{K}})},\mathfrak{h}_{(\overline{\mathbb% {K}})})からΔ⁢(𝔤(𝕂¯),𝔥(𝕂¯)′)\Delta(\mathfrak{g}_{(\overline{\mathbb{K}})},\mathfrak{h}^{\prime}_{(% \overline{\mathbb{K}})})への同型を，Ψ:(𝔥(𝕂¯))∗→(𝔥(𝕂¯)′)∗\Psi\colon(\mathfrak{h}_{(\overline{\mathbb{K}})})^{*}\to(\mathfrak{h}^{\prime% }_{(\overline{\mathbb{K}})})^{*}と置く．𝔥∗\mathfrak{h}^{*}から(𝔥(𝕂¯))∗(\mathfrak{h}_{(\overline{\mathbb{K}})})^{*}への写像α↦α(𝕂¯)\alpha\mapsto\alpha_{(\overline{\mathbb{K}})}はΔ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})をΔ⁢(𝔤(𝕂¯),𝔥(𝕂¯))\Delta(\mathfrak{g}_{(\overline{\mathbb{K}})},\mathfrak{h}_{(\overline{\mathbb% {K}})})に移し，Δ⁢(𝔤,𝔥′)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h}^{\prime})とΔ⁢(𝔤(𝕂¯),𝔥(𝕂¯)′)\Delta(\mathfrak{g}_{(\overline{\mathbb{K}})},\mathfrak{h}^{\prime}_{(% \overline{\mathbb{K}})})についても同様だから（注意3.5），Ψ\Psiは，ルート系Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})からΔ⁢(𝔤,𝔥′)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h}^{\prime})への同型Ψ:𝔥∗→(𝔥′)∗\Psi\colon\mathfrak{h}^{*}\to(\mathfrak{h}^{\prime})^{*}を誘導する．よって，同型定理（定理3.28）より，𝔤\mathfrak{g}の自己同型であって𝔥\mathfrak{h}を𝔥′\mathfrak{h}^{\prime}に移すものが存在する．∎

命題3.30

標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の分裂半単純Lie代数(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})に対して，次の条件は同値である．

  1. (a)

    𝔤\mathfrak{g}は単純である．

  2. (b)

    Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})は既約である．

証明

明らかに，𝔤=0\mathfrak{g}=0とΔ⁢(𝔤,𝔥)=∅︀\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})=\emptysetとは同値である．以下では，𝔤≠0\mathfrak{g}\neq 0である（したがって，Δ⁢(𝔤,𝔥)≠∅︀\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})\neq\emptysetである）場合を考える．

(a)⟹(b)\text{(a)}\Longrightarrow\text{(b)} Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})が二つの空でない被約ルート系Δ1\Delta_{1}とΔ2\Delta_{2}の直和に分解されるとする．存在定理（定理3.22）より，各i∈{1,2}i\in\{1,2\}に対して，Δi\Delta_{i}に同型なルート系をもつ分裂半単純Lie代数(𝔤i,𝔥i)(\mathfrak{g}_{i},\mathfrak{h}_{i})がとれる．Δi≠∅︀\Delta_{i}\neq\emptysetだから，𝔤i≠0\mathfrak{g}_{i}\neq 0である．また，これらの直和(𝔤1⊕𝔤2,𝔥1⊕𝔥2)(\mathfrak{g}_{1}\oplus\mathfrak{g}_{2},\mathfrak{h}_{1}\oplus\mathfrak{h}_{2})は，Δ1⊔Δ2=Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta_{1}\sqcup\Delta_{2}=\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})に同型なルート系をもつ分裂半単純Lie代数である（注意3.3）．同型定理（定理3.28）より，Lie代数𝔤1⊕𝔤2\mathfrak{g}_{1}\oplus\mathfrak{g}_{2}は𝔤\mathfrak{g}に同型である．よって，𝔤\mathfrak{g}は単純でない．

(b)⟹(a)\text{(b)}\Longrightarrow\text{(a)} 𝔤\mathfrak{g}が単純でないとすると，𝔤\mathfrak{g}は0でない半単純Lie代数𝔤1\mathfrak{g}_{1}と𝔤2\mathfrak{g}_{2}の（Lie代数としての）直和に分解できる．𝔥\mathfrak{h}は𝔤=𝔤1⊕𝔤2\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_{1}\oplus\mathfrak{g}_{2}のCartan部分代数だから，各𝔤i\mathfrak{g}_{i}のCartan部分代数𝔥i\mathfrak{h}_{i}を用いて，𝔥=𝔥1⊕𝔥2\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_{1}\oplus\mathfrak{h}_{2}と書ける．𝔥\mathfrak{h}が𝔤\mathfrak{g}の分裂化Cartan部分代数であることから，各𝔥i\mathfrak{h}_{i}は𝔤i\mathfrak{g}_{i}の分裂化Cartan部分代数であり，𝔥∗\mathfrak{h}^{*}から𝔥1∗⊕𝔥2∗\mathfrak{h}_{1}^{*}\oplus\mathfrak{h}_{2}^{*}への自然な同型によって，ルート系Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})は二つの空でないルート系Δ⁢(𝔤1,𝔥1)\Delta(\mathfrak{g}_{1},\mathfrak{h}_{1})とΔ⁢(𝔤2,𝔥2)\Delta(\mathfrak{g}_{2},\mathfrak{h}_{2})の直和に移される（注意3.3）．よって，Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})は可約である． ∎

𝕂\mathbb{K}を標数0の可換体とする．存在定理（定理3.22），同型定理（定理3.28），系3.29より，分裂可能半単純Lie代数の同型類，分裂半単純Lie代数の同型類，被約ルート系の同型類は一対一に対応する．さらに，命題3.30より，その中で，分裂可能単純Lie代数の同型類，分裂単純Lie代数の同型類，既約な被約ルート系の同型類は一対一に対応する．分裂可能半単純Lie代数𝔤\mathfrak{g}または分裂半単純Lie代数(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})がAl\mathrm{A}_{l}型（l≥1l\geq 1），Bl\mathrm{B}_{l}型（l≥1l\geq 1），Cl\mathrm{C}_{l}型（l≥1l\geq 1），Dl\mathrm{D}_{l}型（l≥2l\geq 2），E6\mathrm{E}_{6}型，E7\mathrm{E}_{7}型，E8\mathrm{E}_{8}型，F4\mathrm{F}_{4}型，G2\mathrm{G}_{2}型であるとは，そのルート系Δ⁢(𝔤,𝔥)\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})がその型であることをいう．Al\mathrm{A}_{l}型，Bl\mathrm{B}_{l}型，Cl\mathrm{C}_{l}型，Dl\mathrm{D}_{l}型を総称して古典型（classical type）といい，E6\mathrm{E}_{6}型，E7\mathrm{E}_{7}型，E8\mathrm{E}_{8}型，F4\mathrm{F}_{4}型，G2\mathrm{G}_{2}型を総称して例外型（exceptional type）という．D2\mathrm{D}_{2}以外の各型のルート系は既約だから，それらには分裂可能単純Lie代数が対応する．

𝕂\mathbb{K}を標数0の可換体とし，𝕂¯\overline{\mathbb{K}}をその代数閉包とする．𝔤\mathfrak{g}を𝕂\mathbb{K}上の半単純Lie代数とすると，その係数拡大𝔤(𝕂¯)\mathfrak{g}_{(\overline{\mathbb{K}})}は𝕂¯\overline{\mathbb{K}}上の半単純Lie代数であり（参照），𝕂¯\overline{\mathbb{K}}が代数閉であることより自動的に分裂可能である．このことを踏まえて，半単純Lie代数𝔤\mathfrak{g}が各型であるとは，分裂可能半単純Lie代数𝔤(𝕂¯)\mathfrak{g}_{(\overline{\mathbb{K}})}がその型であることをいう．𝔤\mathfrak{g}が分裂可能である場合には，この定義は前段のものと一致する．𝔤(𝕂¯)\mathfrak{g}_{(\overline{\mathbb{K}})}が単純ならば𝔤\mathfrak{g}も単純だから（参照），𝔤\mathfrak{g}がD2\mathrm{D}_{2}以外の型をもつならば，𝔤\mathfrak{g}は単純である．

3.6 古典型分裂単純Lie代数

本小節では，標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上の古典型分裂（半）単純Lie代数を，具体的に構成する．以下，nn次単位行列をInI_{n}と書き，行列単位をEi,jE_{i,j}と書く．また，𝕂\mathbb{K}上のm×nm\times n行列全体のなす空間をMat⁢(m,n,𝕂)\mathrm{Mat}(m,n,\mathbb{K})（m=nm=nの場合は，Mat⁢(n,𝕂)\mathrm{Mat}(n,\mathbb{K})）と書き，𝕂\mathbb{K}上のnn次対称行列全体のなす空間をSym⁢(n,𝕂)\mathrm{Sym}(n,\mathbb{K})と書き，𝕂\mathbb{K}上のnn次歪対称行列全体のなす空間をSkewSym⁢(n,𝕂)\mathrm{SkewSym}(n,\mathbb{K})と書く．

Al\mathrm{A}_{l}（l≥1l\geq 1）型の分裂単純Lie代数

𝔤⁢𝔩⁢(l+1,𝕂)\mathfrak{gl}(l+1,\mathbb{K})の部分Lie代数

𝔤=𝔰⁢𝔩⁢(l+1,𝕂)={X∈𝔤⁢𝔩⁢(l+1,𝕂)∣tr⁡(X)=0}\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(l+1,\mathbb{K})=\{X\in\mathfrak{gl}(l+1,\mathbb{K})% \mid\operatorname{tr}(X)=0\}

は半単純Lie代数であり（参照），

𝔥={diag⁡(x1,…,xl+1)∣x1, …, xl+1∈𝕂, x1+⋯+xl+1=0}\mathfrak{h}=\{\operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l+1})\mid\text{$x_{1}$, $% \dots$, $x_{l+1}\in\mathbb{K}$, $x_{1}+\dots+x_{l+1}=0$}\}

はその分裂化Cartan部分代数である（Cartan部分代数であることは，定理1.35を用いて確かめられる）．対応するルート系は

Δ⁢(𝔤,𝔥)={±(ϵi−ϵj)∣1≤i<j≤l+1},\displaystyle\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})=\{\pm(\epsilon_{i}-\epsilon_{j}% )\mid 1\leq i<j\leq l+1\},
各ϵi∈𝔥∗\epsilon_{i}\in\mathfrak{h}^{*}は，ϵi⁢(diag⁡(x1,…,xl+1))=xi\epsilon_{i}(\operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l+1}))=x_{i}で与えられる元

だから，(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})はAl\mathrm{A}_{l}型の分裂単純Lie代数である．各ルートの双対ルートは

H±(ϵi−ϵj)=±(Ei,i−Ej,j)H_{\pm(\epsilon_{i}-\epsilon_{j})}=\pm(E_{i,i}-E_{j,j})

であり，ルート空間は

𝔤ϵi−ϵj\displaystyle\mathfrak{g}_{\epsilon_{i}-\epsilon_{j}} =𝕂⁢Ei,j,\displaystyle=\mathbb{K}E_{i,j},
𝔤−ϵi+ϵj\displaystyle\mathfrak{g}_{-\epsilon_{i}+\epsilon_{j}} =𝕂⁢Ej,i\displaystyle=\mathbb{K}E_{j,i}

である．

Bl\mathrm{B}_{l}（l≥1l\geq 1）型の分裂単純Lie代数

対称双線型形式Φ:𝕂2⁢l+1×𝕂2⁢l+1→𝕂\Phi\colon\mathbb{K}^{2l+1}\times\mathbb{K}^{2l+1}\to\mathbb{K}を，標準基底に関して行列表示

S~l=(0Il0Il0000−2)\widetilde{S}_{l}=\begin{pmatrix}0&I_{l}&0\\ I_{l}&0&0\\ 0&0&-2\\ \end{pmatrix}

をもつものとして定める．すると，

𝔤\displaystyle\mathfrak{g} =𝔬⁢(𝕂2⁢l+1,Φ)\displaystyle=\mathfrak{o}(\mathbb{K}^{2l+1},\Phi)
={X∈𝔤⁢𝔩⁢(2⁢l+1,𝕂)∣S~l⁢X+XT⁢S~l=0}\displaystyle=\{X\in\mathfrak{gl}(2l+1,\mathbb{K})\mid\widetilde{S}_{l}X+X^{% \mathrm{T}}\widetilde{S}_{l}=0\}
={(AB2⁢vC−AT2⁢wwTvT0)|A∈𝔤⁢𝔩⁢(l,𝕂), B, C∈SkewSym⁢(l,𝕂), v, w∈𝕂l}\displaystyle=\left\{\begin{pmatrix}A&B&2v\\ C&-A^{\mathrm{T}}&2w\\ w^{\mathrm{T}}&v^{\mathrm{T}}&0\\ \end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}\text{$A\in\mathfrak{gl}(l,\mathbb{K}% )$, $B$, $C\in\mathrm{SkewSym}(l,\mathbb{K})$, $v$, $w\in\mathbb{K}^{l}$}\right\}

は半単純Lie代数であり（参照），

𝔥={diag⁡(x1,…,xl,−x1,…,−xl,0)∣x1, …, xl∈𝕂}\mathfrak{h}=\{\operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l},-x_{1},\dots,-x_{l},0)% \mid\text{$x_{1}$, $\dots$, $x_{l}\in\mathbb{K}$}\}

はその分裂化Cartan部分代数である（Cartan部分代数であることは，定理1.35を用いて確かめられる）．対応するルート系は

Δ⁢(𝔤,𝔥)={±(ϵi±ϵj)∣1≤i<j≤l}∪{±ϵi∣1≤i≤l},\displaystyle\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})=\{\pm(\epsilon_{i}\pm\epsilon_{% j})\mid 1\leq i<j\leq l\}\cup\{\pm\epsilon_{i}\mid 1\leq i\leq l\},
各ϵi∈𝔥∗\epsilon_{i}\in\mathfrak{h}^{*}は，ϵi⁢(diag⁡(x1,…,xl,−x1,…,−xl,0))=xi\epsilon_{i}(\operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l},-x_{1},\dots,-x_{l},0))=x_{i}で与えられる元

だから，(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})はBl\mathrm{B}_{l}型の分裂単純Lie代数である．各ルートの双対ルートは

H±(ϵi−ϵj)\displaystyle H_{\pm(\epsilon_{i}-\epsilon_{j})} =±((Ei,i−El+i,l+i)−(Ej,j−El+j,l+j)),\displaystyle=\pm((E_{i,i}-E_{l+i,l+i})-(E_{j,j}-E_{l+j,l+j})),
H±(ϵi+ϵj)\displaystyle H_{\pm(\epsilon_{i}+\epsilon_{j})} =±((Ei,i−El+i,l+i)+(Ej,j−El+j,l+j)),\displaystyle=\pm((E_{i,i}-E_{l+i,l+i})+(E_{j,j}-E_{l+j,l+j})),
H±ϵi\displaystyle H_{\pm\epsilon_{i}} =±2⁢(Ei,i−El+i,l+i)\displaystyle=\pm 2(E_{i,i}-E_{l+i,l+i})

であり，ルート空間は

𝔤ϵi−ϵj\displaystyle\mathfrak{g}_{\epsilon_{i}-\epsilon_{j}} =𝕂⁢(Ei,j−El+j,l+i)\displaystyle=\mathbb{K}(E_{i,j}-E_{l+j,l+i}) =𝕂⁢(Ei,j000−Ej,i0000),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}E_{i,j}&0&0\\ 0&-E_{j,i}&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix},
𝔤−ϵi+ϵj\displaystyle\mathfrak{g}_{-\epsilon_{i}+\epsilon_{j}} =𝕂⁢(Ej,i−El+i,l+j)\displaystyle=\mathbb{K}(E_{j,i}-E_{l+i,l+j}) =𝕂⁢(Ej,i000−Ei,j0000),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}E_{j,i}&0&0\\ 0&-E_{i,j}&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix},
𝔤ϵi+ϵj\displaystyle\mathfrak{g}_{\epsilon_{i}+\epsilon_{j}} =𝕂⁢(Ei,l+j−Ej,l+i)\displaystyle=\mathbb{K}(E_{i,l+j}-E_{j,l+i}) =𝕂⁢(0Ei,j−Ej,i0000000),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}0&E_{i,j}-E_{j,i}&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix},
𝔤−ϵi−ϵj\displaystyle\mathfrak{g}_{-\epsilon_{i}-\epsilon_{j}} =𝕂⁢(El+i,j−El+j,i)\displaystyle=\mathbb{K}(E_{l+i,j}-E_{l+j,i}) =𝕂⁢(000Ei,j−Ej,i00000),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}0&0&0\\ E_{i,j}-E_{j,i}&0&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix},
𝔤ϵi\displaystyle\mathfrak{g}_{\epsilon_{i}} =𝕂⁢(2⁢Ei,2⁢l+1+E2⁢l+1,l+i)\displaystyle=\mathbb{K}(2E_{i,2l+1}+E_{2l+1,l+i}) =𝕂⁢(002⁢ei0000eiT0),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}0&0&2e_{i}\\ 0&0&0\\ 0&e_{i}^{\mathrm{T}}&0\\ \end{pmatrix},
𝔤−ϵi\displaystyle\mathfrak{g}_{-\epsilon_{i}} =𝕂⁢(2⁢El+i,2⁢l+1+E2⁢l+1,i)\displaystyle=\mathbb{K}(2E_{l+i,2l+1}+E_{2l+1,i}) =𝕂⁢(000002⁢eieiT00)\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&2e_{i}\\ e_{i}^{\mathrm{T}}&0&0\\ \end{pmatrix}

である（𝕂l\mathbb{K}^{l}の標準基底を(e1,…,el)(e_{1},\dots,e_{l})と書いた）．

次に，Bl\mathrm{B}_{l}型の分裂単純Lie代数を，別の方法で実現する．g∈𝐺𝐿⁢(2⁢l+1,𝕂)g\in\mathit{GL}(2l+1,\mathbb{K})を

g=(12⁢Il12⁢Il012⁢Il−12⁢Il0001),g−1=(IlIl0Il−Il0001)g=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}I_{l}&\frac{1}{2}I_{l}&0\\ \frac{1}{2}I_{l}&-\frac{1}{2}I_{l}&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix},\qquad g^{-1}=\begin{pmatrix}I_{l}&I_{l}&0\\ I_{l}&-I_{l}&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}

と定め，Lie代数𝔤⁢𝔩⁢(2⁢l+1,𝕂)\mathfrak{gl}(2l+1,\mathbb{K})の自己同型X↦g⁢X⁢g−1X\mapsto gXg^{-1}をAd⁡(g)\operatorname{Ad}(g)と書く．この自己同型は，

Ad⁡(g)⁢(ABvCDwv′w′x)=(12⁢(A+B+C+D)12⁢(A−B+C−D)12⁢(v+w)12⁢(A+B−C−D)12⁢(A−B−C+D)12⁢(v−w)v′+w′v′−w′x)\operatorname{Ad}(g)\begin{pmatrix}A&B&v\\ C&D&w\\ v^{\prime}&w^{\prime}&x\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(A+B+C+D)&\frac{1}{2}(A-B+C-D)&\frac{1% }{2}(v+w)\\ \frac{1}{2}(A+B-C-D)&\frac{1}{2}(A-B-C+D)&\frac{1}{2}(v-w)\\ v^{\prime}+w^{\prime}&v^{\prime}-w^{\prime}&x\\ \end{pmatrix}

で与えられる．𝔤′=Ad⁡(g)⁢𝔤\mathfrak{g}^{\prime}=\operatorname{Ad}(g)\mathfrak{g}，𝔥′=Ad⁡(g)⁢𝔥\mathfrak{h}^{\prime}=\operatorname{Ad}(g)\mathfrak{h}と置くと，(𝔤′,𝔥′)(\mathfrak{g}^{\prime},\mathfrak{h}^{\prime})もBl\mathrm{B}_{l}型の分裂単純Lie代数である．𝔤′\mathfrak{g}^{\prime}と𝔥′\mathfrak{h}^{\prime}や，対応するルート系などを求めよう．Φ\Phiのggによる押し出しΦ′:𝕂2⁢l+1×𝕂2⁢l+1→𝕂\Phi^{\prime}\colon\mathbb{K}^{2l+1}\times\mathbb{K}^{2l+1}\to\mathbb{K}は，標準基底に関して行列表示

(g−1)T⁢S~l⁢g−1=2⁢Il,l+1=(2⁢Il00−2⁢Il+1)(g^{-1})^{\mathrm{T}}\widetilde{S}_{l}g^{-1}=2I_{l,l+1}=\begin{pmatrix}2I_{l}&% 0\\ 0&-2I_{l+1}\\ \end{pmatrix}

をもつ対称双線型形式だから，

𝔤′\displaystyle\mathfrak{g}^{\prime} =𝔬⁢(𝕂2⁢l+1,Φ′)\displaystyle=\mathfrak{o}(\mathbb{K}^{2l+1},\Phi^{\prime})
={X∈𝔤⁢𝔩⁢(2⁢l+1,𝕂)∣Il,l+1⁢X+XT⁢Il,l+1=0},\displaystyle=\{X\in\mathfrak{gl}(2l+1,\mathbb{K})\mid I_{l,l+1}X+X^{\mathrm{T% }}I_{l,l+1}=0\},
={(ABBTD)|A∈𝔬⁢(l,𝕂), D∈𝔬⁢(l+1,𝕂), B∈Mat⁢(l,l+1,𝕂)}\displaystyle=\left\{\begin{pmatrix}A&B\\ B^{\mathrm{T}}&D\\ \end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}\text{$A\in\mathfrak{o}(l,\mathbb{K})% $, $D\in\mathfrak{o}(l+1,\mathbb{K})$, $B\in\mathrm{Mat}(l,l+1,\mathbb{K})$}\right\}

である．このLie代数を，𝔬⁢(l,l+1,𝕂)\mathfrak{o}(l,l+1,\mathbb{K})と書く．また，

𝔥′\displaystyle\mathfrak{h}^{\prime} ={Ad⁡(g)⁢diag⁡(x1,…,xl,−x1,…,−xl,0)∣x1, …, xl∈𝕂}\displaystyle=\{\operatorname{Ad}(g)\operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l},-x_{% 1},\dots,-x_{l},0)\mid\text{$x_{1}$, $\dots$, $x_{l}\in\mathbb{K}$}\}
={(0diag⁡(x1,…,xl)0diag⁡(x1,…,xl)00000)|x1, …, xl∈𝕂}\displaystyle=\left\{\begin{pmatrix}0&\operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l})&0% \\ \operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l})&0&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}\text{$x_{1}$, $\dots$, $x_{l}\in% \mathbb{K}$}\right\}

であり，対応するルート系は

Δ⁢(𝔤′,𝔥′)={±(ϵi′±ϵj′)∣1≤i<j≤l}∪{±ϵi′∣1≤i≤l},\displaystyle\Delta(\mathfrak{g}^{\prime},\mathfrak{h}^{\prime})=\{\pm(% \epsilon^{\prime}_{i}\pm\epsilon^{\prime}_{j})\mid 1\leq i<j\leq l\}\cup\{\pm% \epsilon^{\prime}_{i}\mid 1\leq i\leq l\},
各ϵi′∈𝔥′∗\epsilon^{\prime}_{i}\in{\mathfrak{h}^{\prime}}^{*}は，ϵi′⁢((0diag⁡(x1,…,xl)0diag⁡(x1,…,xl)00000))=xi\epsilon^{\prime}_{i}\left(\begin{pmatrix}0&\operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_% {l})&0\\ \operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l})&0&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix}\right)=x_{i}で与えられる元

であり，各ルートの双対ルートは

H±(ϵi′−ϵj′)\displaystyle H_{\pm(\epsilon^{\prime}_{i}-\epsilon^{\prime}_{j})} =±Ad⁡(g)⁢((Ei,i−El+i,l+i)−(Ej,j−El+j,l+j))\displaystyle=\pm\operatorname{Ad}(g)((E_{i,i}-E_{l+i,l+i})-(E_{j,j}-E_{l+j,l+% j})) =±(0Ei,i−Ej,j0Ei,i−Ej,j00000),\displaystyle=\pm\begin{pmatrix}0&E_{i,i}-E_{j,j}&0\\ E_{i,i}-E_{j,j}&0&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix},
H±(ϵi′+ϵj′)\displaystyle H_{\pm(\epsilon^{\prime}_{i}+\epsilon^{\prime}_{j})} =±Ad⁡(g)⁢((Ei,i−El+i,l+i)+(Ej,j−El+j,l+j))\displaystyle=\pm\operatorname{Ad}(g)((E_{i,i}-E_{l+i,l+i})+(E_{j,j}-E_{l+j,l+% j})) =±(0Ei,i+Ej,j0Ei,i+Ej,j00000),\displaystyle=\pm\begin{pmatrix}0&E_{i,i}+E_{j,j}&0\\ E_{i,i}+E_{j,j}&0&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix},
H±ϵi′\displaystyle H_{\pm\epsilon^{\prime}_{i}} =±Ad⁡(g)⁢(Ei,i−El+i,l+i)\displaystyle=\pm\operatorname{Ad}(g)(E_{i,i}-E_{l+i,l+i}) =±(0Ei,i0Ei,i00000)\displaystyle=\pm\begin{pmatrix}0&E_{i,i}&0\\ E_{i,i}&0&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix}

であり，ルート空間は

𝔤ϵi′−ϵj′′\displaystyle\mathfrak{g}^{\prime}_{\epsilon^{\prime}_{i}-\epsilon^{\prime}_{j}} =𝕂⁢Ad⁡(g)⁢(Ei,j000−Ej,i0000)\displaystyle=\mathbb{K}\operatorname{Ad}(g)\begin{pmatrix}E_{i,j}&0&0\\ 0&-E_{j,i}&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix} =𝕂⁢(12⁢(Ei,j−Ej,i)12⁢(Ei,j+Ej,i)012⁢(Ei,j+Ej,i)12⁢(Ei,j−Ej,i)0000),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(E_{i,j}-E_{j,i})&\frac{1}{2% }(E_{i,j}+E_{j,i})&0\\ \frac{1}{2}(E_{i,j}+E_{j,i})&\frac{1}{2}(E_{i,j}-E_{j,i})&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix},
𝔤−ϵi′+ϵj′′\displaystyle\mathfrak{g}^{\prime}_{-\epsilon^{\prime}_{i}+\epsilon^{\prime}_{% j}} =𝕂⁢Ad⁡(g)⁢(Ej,i000−Ei,j0000)\displaystyle=\mathbb{K}\operatorname{Ad}(g)\begin{pmatrix}E_{j,i}&0&0\\ 0&-E_{i,j}&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix} =𝕂⁢(12⁢(−Ei,j+Ej,i)12⁢(Ei,j+Ej,i)012⁢(Ei,j+Ej,i)12⁢(−Ei,j+Ej,i)0000),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(-E_{i,j}+E_{j,i})&\frac{1}{% 2}(E_{i,j}+E_{j,i})&0\\ \frac{1}{2}(E_{i,j}+E_{j,i})&\frac{1}{2}(-E_{i,j}+E_{j,i})&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix},
𝔤ϵi′+ϵj′′\displaystyle\mathfrak{g}^{\prime}_{\epsilon^{\prime}_{i}+\epsilon^{\prime}_{j}} =𝕂⁢Ad⁡(g)⁢(0Ei,j−Ej,i0000000)\displaystyle=\mathbb{K}\operatorname{Ad}(g)\begin{pmatrix}0&E_{i,j}-E_{j,i}&0% \\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix} =𝕂⁢(12⁢(Ei,j−Ej,i)12⁢(−Ei,j+Ej,i)012⁢(Ei,j−Ej,i)12⁢(−Ei,j+Ej,i)0000),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(E_{i,j}-E_{j,i})&\frac{1}{2% }(-E_{i,j}+E_{j,i})&0\\ \frac{1}{2}(E_{i,j}-E_{j,i})&\frac{1}{2}(-E_{i,j}+E_{j,i})&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix},
𝔤−ϵi′−ϵj′′\displaystyle\mathfrak{g}^{\prime}_{-\epsilon^{\prime}_{i}-\epsilon^{\prime}_{% j}} =𝕂⁢Ad⁡(g)⁢(000Ei,j−Ej,i00000)\displaystyle=\mathbb{K}\operatorname{Ad}(g)\begin{pmatrix}0&0&0\\ E_{i,j}-E_{j,i}&0&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix} =𝕂⁢(12⁢(Ei,j−Ej,i)12⁢(Ei,j−Ej,i)012⁢(−Ei,j+Ej,i)12⁢(−Ei,j+Ej,i)0000),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(E_{i,j}-E_{j,i})&\frac{1}{2% }(E_{i,j}-E_{j,i})&0\\ \frac{1}{2}(-E_{i,j}+E_{j,i})&\frac{1}{2}(-E_{i,j}+E_{j,i})&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix},
𝔤ϵi′′\displaystyle\mathfrak{g}^{\prime}_{\epsilon^{\prime}_{i}} =𝕂⁢Ad⁡(g)⁢(002⁢ei0000eiT0)\displaystyle=\mathbb{K}\operatorname{Ad}(g)\begin{pmatrix}0&0&2e_{i}\\ 0&0&0\\ 0&e_{i}^{\mathrm{T}}&0\\ \end{pmatrix} =𝕂⁢(00ei00eieiT−eiT0),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}0&0&e_{i}\\ 0&0&e_{i}\\ e_{i}^{\mathrm{T}}&-e_{i}^{\mathrm{T}}&0\\ \end{pmatrix},
𝔤−ϵi′′\displaystyle\mathfrak{g}^{\prime}_{-\epsilon^{\prime}_{i}} =𝕂⁢Ad⁡(g)⁢(000002⁢eieiT00)\displaystyle=\mathbb{K}\operatorname{Ad}(g)\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&2e_{i}\\ e_{i}^{\mathrm{T}}&0&0\\ \end{pmatrix} =𝕂⁢(00ei00−eieiTeiT0)\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}0&0&e_{i}\\ 0&0&-e_{i}\\ e_{i}^{\mathrm{T}}&e_{i}^{\mathrm{T}}&0\\ \end{pmatrix}

である（𝕂l\mathbb{K}^{l}の標準基底を(e1,…,el)(e_{1},\dots,e_{l})と書いた）．

さらに，𝕂\mathbb{K}が−1-1の平方根をもつと仮定し，その一つを−1\sqrt{-1}と書く．h∈𝐺𝐿⁢(2⁢l+1,𝕂)h\in\mathit{GL}(2l+1,\mathbb{K})を

h=(Il00−−1⁢Il+1)h=\begin{pmatrix}I_{l}&0\\ 0&-\sqrt{-1}\,I_{l+1}\\ \end{pmatrix}

と定め，Lie代数𝔤⁢𝔩⁢(2⁢l+1,𝕂)\mathfrak{gl}(2l+1,\mathbb{K})の自己同型X↦h⁢X⁢h−1X\mapsto hXh^{-1}をAd⁡(h)\operatorname{Ad}(h)と書く．この自己同型は，

Ad⁡(h)⁢(ABCD)=(A−1⁢B−−1⁢CD)\operatorname{Ad}(h)\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&\sqrt{-1}\,B\\ -\sqrt{-1}\,C&D\\ \end{pmatrix}

で与えられる．𝔤′′=Ad⁡(h)⁢𝔤′\mathfrak{g}^{\prime\prime}=\operatorname{Ad}(h)\mathfrak{g}^{\prime}，𝔥′′=Ad⁡(h)⁢𝔥′\mathfrak{h}^{\prime\prime}=\operatorname{Ad}(h)\mathfrak{h}^{\prime}と置くと，(𝔤′′,𝔥′′)(\mathfrak{g}^{\prime\prime},\mathfrak{h}^{\prime\prime})もBl\mathrm{B}_{l}型の分裂単純Lie代数である．𝔤′′\mathfrak{g}^{\prime\prime}と𝔥′′\mathfrak{h}^{\prime\prime}を求めよう．Φ′\Phi^{\prime}のhhによる押し出しΦ′′:𝕂2⁢l+1×𝕂2⁢l+1→𝕂\Phi^{\prime\prime}\colon\mathbb{K}^{2l+1}\times\mathbb{K}^{2l+1}\to\mathbb{K}は，標準基底に関して行列表示

(h−1)T⁢2⁢Il,l+1⁢h−1=2⁢I2⁢l+1(h^{-1})^{\mathrm{T}}2I_{l,l+1}h^{-1}=2I_{2l+1}

をもつ対称双線型形式だから，

𝔤′′=𝔬⁢(𝕂2⁢l+1,Φ′′)=𝔬⁢(2⁢l+1,𝕂)\mathfrak{g}^{\prime\prime}=\mathfrak{o}(\mathbb{K}^{2l+1},\Phi^{\prime\prime}% )=\mathfrak{o}(2l+1,\mathbb{K})

である．また，

𝔥′′\displaystyle\mathfrak{h}^{\prime\prime} ={Ad⁡(h)⁢(0diag⁡(x1,…,xl)0diag⁡(x1,…,xl)00000)|x1, …, xl∈𝕂}\displaystyle=\left\{\operatorname{Ad}(h)\begin{pmatrix}0&\operatorname{diag}(% x_{1},\dots,x_{l})&0\\ \operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l})&0&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}\text{$x_{1}$, $\dots$, $x_{l}\in% \mathbb{K}$}\right\}
={(0−1⁢diag⁡(x1,…,xl)0−−1⁢diag⁡(x1,…,xl)00000)|x1, …, xl∈𝕂}\displaystyle=\left\{\begin{pmatrix}0&\sqrt{-1}\,\operatorname{diag}(x_{1},% \dots,x_{l})&0\\ -\sqrt{-1}\,\operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l})&0&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}\text{$x_{1}$, $\dots$, $x_{l}\in% \mathbb{K}$}\right\}

である．対応するルート系なども，前段と同様にして求められる．

Cl\mathrm{C}_{l}（l≥1l\geq 1）型の分裂単純Lie代数

𝔤⁢𝔩⁢(2⁢l,𝕂)\mathfrak{gl}(2l,\mathbb{K})の部分Lie代数

𝔤\displaystyle\mathfrak{g} =𝔰⁢𝔭⁢(l,𝕂)\displaystyle=\mathfrak{sp}(l,\mathbb{K})
={X∈𝔤⁢𝔩⁢(2⁢l,𝕂)∣Jl⁢X+XT⁢Jl=0}\displaystyle=\{X\in\mathfrak{gl}(2l,\mathbb{K})\mid J_{l}X+X^{\mathrm{T}}J_{l% }=0\} (Jl=(0Il−Il0))\displaystyle(J_{l}=\begin{pmatrix}0&I_{l}\\ -I_{l}&0\end{pmatrix})
={(ABC−AT)|A∈𝔤⁢𝔩⁢(l,𝕂), B, C∈Sym⁢(l,𝕂)}\displaystyle=\left\{\begin{pmatrix}A&B\\ C&-A^{\mathrm{T}}\\ \end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}\text{$A\in\mathfrak{gl}(l,\mathbb{K}% )$, $B$, $C\in\mathrm{Sym}(l,\mathbb{K})$}\right\}

は半単純Lie代数であり（参照），

𝔥={diag⁡(x1,…,xl,−x1,…,−xl)∣x1, …, xl∈𝕂}\mathfrak{h}=\{\operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l},-x_{1},\dots,-x_{l})\mid% \text{$x_{1}$, $\dots$, $x_{l}\in\mathbb{K}$}\}

はその分裂化Cartan部分代数である（Cartan部分代数であることは，定理1.35を用いて確かめられる）．対応するルート系は

Δ⁢(𝔤,𝔥)={±(ϵi±ϵj)∣1≤i<j≤l}∪{±2⁢ϵi∣1≤i≤l},\displaystyle\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})=\{\pm(\epsilon_{i}\pm\epsilon_{% j})\mid 1\leq i<j\leq l\}\cup\{\pm 2\epsilon_{i}\mid 1\leq i\leq l\},
各ϵi∈𝔥∗\epsilon_{i}\in\mathfrak{h}^{*}は，ϵi⁢(diag⁡(x1,…,xl,−x1,…,−xl))=xi\epsilon_{i}(\operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l},-x_{1},\dots,-x_{l}))=x_{i}で与えられる元

だから，(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})はCl\mathrm{C}_{l}型の分裂単純Lie代数である．各ルートの双対ルートは

H±(ϵi−ϵj)\displaystyle H_{\pm(\epsilon_{i}-\epsilon_{j})} =±((Ei,i−El+i,l+i)−(Ej,j−El+j,l+j)),\displaystyle=\pm((E_{i,i}-E_{l+i,l+i})-(E_{j,j}-E_{l+j,l+j})),
H±(ϵi+ϵj)\displaystyle H_{\pm(\epsilon_{i}+\epsilon_{j})} =±((Ei,i−El+i,l+i)+(Ej,j−El+j,l+j)),\displaystyle=\pm((E_{i,i}-E_{l+i,l+i})+(E_{j,j}-E_{l+j,l+j})),
H±2⁢ϵi\displaystyle H_{\pm 2\epsilon_{i}} =±(Ei,i−El+i,l+i)\displaystyle=\pm(E_{i,i}-E_{l+i,l+i})

であり，ルート空間は

𝔤ϵi−ϵj\displaystyle\mathfrak{g}_{\epsilon_{i}-\epsilon_{j}} =𝕂⁢(Ei,j−El+j,l+i)\displaystyle=\mathbb{K}(E_{i,j}-E_{l+j,l+i}) =𝕂⁢(Ei,j00−Ej,i),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}E_{i,j}&0\\ 0&-E_{j,i}\\ \end{pmatrix},
𝔤−ϵi+ϵj\displaystyle\mathfrak{g}_{-\epsilon_{i}+\epsilon_{j}} =𝕂⁢(Ej,i−El+i,l+j)\displaystyle=\mathbb{K}(E_{j,i}-E_{l+i,l+j}) =𝕂⁢(Ej,i00−Ei,j),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}E_{j,i}&0\\ 0&-E_{i,j}\\ \end{pmatrix},
𝔤ϵi+ϵj\displaystyle\mathfrak{g}_{\epsilon_{i}+\epsilon_{j}} =𝕂⁢(Ei,l+j+Ej,l+i)\displaystyle=\mathbb{K}(E_{i,l+j}+E_{j,l+i}) =𝕂⁢(0Ei,j+Ej,i00),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}0&E_{i,j}+E_{j,i}\\ 0&0\\ \end{pmatrix},
𝔤−ϵi−ϵj\displaystyle\mathfrak{g}_{-\epsilon_{i}-\epsilon_{j}} =𝕂⁢(El+i,j+El+j,i)\displaystyle=\mathbb{K}(E_{l+i,j}+E_{l+j,i}) =𝕂⁢(00Ei,j+Ej,i0),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}0&0\\ E_{i,j}+E_{j,i}&0\\ \end{pmatrix},
𝔤2⁢ϵi\displaystyle\mathfrak{g}_{2\epsilon_{i}} =𝕂⁢Ei,l+i\displaystyle=\mathbb{K}E_{i,l+i} =𝕂⁢(0Ei,i00),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}0&E_{i,i}\\ 0&0\\ \end{pmatrix},
𝔤−2⁢ϵi\displaystyle\mathfrak{g}_{-2\epsilon_{i}} =𝕂⁢El+i,i\displaystyle=\mathbb{K}E_{l+i,i} =𝕂⁢(00Ei,i0)\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}0&0\\ E_{i,i}&0\\ \end{pmatrix}

である．

Dl\mathrm{D}_{l}（l≥2l\geq 2）型の分裂（半）単純Lie代数

対称双線型形式Φ:𝕂2⁢l×𝕂2⁢l→𝕂\Phi\colon\mathbb{K}^{2l}\times\mathbb{K}^{2l}\to\mathbb{K}を，標準基底に関して行列表示

Sl=(0IlIl0)S_{l}=\begin{pmatrix}0&I_{l}\\ I_{l}&0\\ \end{pmatrix}

をもつものとして定める．すると，

𝔤\displaystyle\mathfrak{g} =𝔬⁢(𝕂2⁢l,Φ)\displaystyle=\mathfrak{o}(\mathbb{K}^{2l},\Phi)
={X∈𝔤⁢𝔩⁢(2⁢l,𝕂)∣Sl⁢X+XT⁢Sl=0}\displaystyle=\{X\in\mathfrak{gl}(2l,\mathbb{K})\mid S_{l}X+X^{\mathrm{T}}S_{l% }=0\}
={(ABC−AT)|A∈𝔤⁢𝔩⁢(l,𝕂), B, C∈SkewSym⁢(l,𝕂)}\displaystyle=\left\{\begin{pmatrix}A&B\\ C&-A^{\mathrm{T}}\\ \end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}\text{$A\in\mathfrak{gl}(l,\mathbb{K}% )$, $B$, $C\in\mathrm{SkewSym}(l,\mathbb{K})$}\right\}

は半単純Lie代数であり（参照），

𝔥={diag⁡(x1,…,xl,−x1,…,−xl)∣x1, …, xl∈𝕂}\mathfrak{h}=\{\operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l},-x_{1},\dots,-x_{l})\mid% \text{$x_{1}$, $\dots$, $x_{l}\in\mathbb{K}$}\}

はその分裂化Cartan部分代数である（Cartan部分代数であることは，定理1.35を用いて確かめられる）．対応するルート系は

Δ⁢(𝔤,𝔥)={±(ϵi±ϵj)∣1≤i<j≤l},\displaystyle\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})=\{\pm(\epsilon_{i}\pm\epsilon_{% j})\mid 1\leq i<j\leq l\},
各ϵi∈𝔥∗\epsilon_{i}\in\mathfrak{h}^{*}は，ϵi⁢(diag⁡(x1,…,xl,−x1,…,−xl))=xi\epsilon_{i}(\operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l},-x_{1},\dots,-x_{l}))=x_{i}で与えられる元

だから，(𝔤,𝔥)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})はDl\mathrm{D}_{l}型の分裂半単純Lie代数（l≥3l\geq 3ならば，分裂単純Lie代数）である．各ルートの双対ルートは

H±(ϵi−ϵj)\displaystyle H_{\pm(\epsilon_{i}-\epsilon_{j})} =±((Ei,i−El+i,l+i)−(Ej,j−El+j,l+j)),\displaystyle=\pm((E_{i,i}-E_{l+i,l+i})-(E_{j,j}-E_{l+j,l+j})),
H±(ϵi+ϵj)\displaystyle H_{\pm(\epsilon_{i}+\epsilon_{j})} =±((Ei,i−El+i,l+i)+(Ej,j−El+j,l+j))\displaystyle=\pm((E_{i,i}-E_{l+i,l+i})+(E_{j,j}-E_{l+j,l+j}))

であり，ルート空間は

𝔤ϵi−ϵj\displaystyle\mathfrak{g}_{\epsilon_{i}-\epsilon_{j}} =𝕂⁢(Ei,j−El+j,l+i)\displaystyle=\mathbb{K}(E_{i,j}-E_{l+j,l+i}) =𝕂⁢(Ei,j00−Ej,i),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}E_{i,j}&0\\ 0&-E_{j,i}\\ \end{pmatrix},
𝔤−ϵi+ϵj\displaystyle\mathfrak{g}_{-\epsilon_{i}+\epsilon_{j}} =𝕂⁢(Ej,i−El+i,l+j)\displaystyle=\mathbb{K}(E_{j,i}-E_{l+i,l+j}) =𝕂⁢(Ej,i00−Ei,j),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}E_{j,i}&0\\ 0&-E_{i,j}\\ \end{pmatrix},
𝔤ϵi+ϵj\displaystyle\mathfrak{g}_{\epsilon_{i}+\epsilon_{j}} =𝕂⁢(Ei,l+j−Ej,l+i)\displaystyle=\mathbb{K}(E_{i,l+j}-E_{j,l+i}) =𝕂⁢(0Ei,j−Ej,i00),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}0&E_{i,j}-E_{j,i}\\ 0&0\\ \end{pmatrix},
𝔤−ϵi−ϵj\displaystyle\mathfrak{g}_{-\epsilon_{i}-\epsilon_{j}} =𝕂⁢(El+i,j−El+j,i)\displaystyle=\mathbb{K}(E_{l+i,j}-E_{l+j,i}) =𝕂⁢(00Ei,j−Ej,i0)\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}0&0\\ E_{i,j}-E_{j,i}&0\\ \end{pmatrix}

である．

次に，Dl\mathrm{D}_{l}型の分裂単純Lie代数を，別の方法で実現する．g∈𝐺𝐿⁢(2⁢l,𝕂)g\in\mathit{GL}(2l,\mathbb{K})を

g=(12⁢Il12⁢Il12⁢Il−12⁢Il),g−1=(IlIlIl−Il)g=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}I_{l}&\frac{1}{2}I_{l}\\ \frac{1}{2}I_{l}&-\frac{1}{2}I_{l}\\ \end{pmatrix},\qquad g^{-1}=\begin{pmatrix}I_{l}&I_{l}\\ I_{l}&-I_{l}\\ \end{pmatrix}

と定め，Lie代数𝔤⁢𝔩⁢(2⁢l,𝕂)\mathfrak{gl}(2l,\mathbb{K})の自己同型X↦g⁢X⁢g−1X\mapsto gXg^{-1}をAd⁡(g)\operatorname{Ad}(g)と書く．この自己同型は，

Ad⁡(g)⁢(ABCD)=(12⁢(A+B+C+D)12⁢(A−B+C−D)12⁢(A+B−C−D)12⁢(A−B−C+D))\operatorname{Ad}(g)\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(A+B+C+D)&\frac{1}{2}(A-B+C-D)\\ \frac{1}{2}(A+B-C-D)&\frac{1}{2}(A-B-C+D)\\ \end{pmatrix}

で与えられる．𝔤′=Ad⁡(g)⁢𝔤\mathfrak{g}^{\prime}=\operatorname{Ad}(g)\mathfrak{g}，𝔥′=Ad⁡(g)⁢𝔥\mathfrak{h}^{\prime}=\operatorname{Ad}(g)\mathfrak{h}と置くと，(𝔤′,𝔥′)(\mathfrak{g}^{\prime},\mathfrak{h}^{\prime})もDl\mathrm{D}_{l}型の分裂単純Lie代数である．𝔤′\mathfrak{g}^{\prime}と𝔥′\mathfrak{h}^{\prime}や，対応するルート系などを求めよう．Φ\Phiのggによる押し出しΦ′:𝕂2⁢l×𝕂2⁢l→𝕂\Phi^{\prime}\colon\mathbb{K}^{2l}\times\mathbb{K}^{2l}\to\mathbb{K}は，標準基底に関して行列表示

(g−1)T⁢Sl⁢g−1=2⁢Il,l=(2⁢Il00−2⁢Il)(g^{-1})^{\mathrm{T}}S_{l}g^{-1}=2I_{l,l}=\begin{pmatrix}2I_{l}&0\\ 0&-2I_{l}\\ \end{pmatrix}

をもつ対称双線型形式だから，

𝔤′\displaystyle\mathfrak{g}^{\prime} =𝔬⁢(𝕂2⁢l,Φ′)\displaystyle=\mathfrak{o}(\mathbb{K}^{2l},\Phi^{\prime})
={X∈𝔤⁢𝔩⁢(2⁢l,𝕂)∣Il,l⁢X+XT⁢Il,l=0},\displaystyle=\{X\in\mathfrak{gl}(2l,\mathbb{K})\mid I_{l,l}X+X^{\mathrm{T}}I_% {l,l}=0\},
={(ABBD)|A, D∈𝔬⁢(l,𝕂), B∈Mat⁢(l,𝕂)}\displaystyle=\left\{\begin{pmatrix}A&B\\ B&D\\ \end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}\text{$A$, $D\in\mathfrak{o}(l,% \mathbb{K})$, $B\in\mathrm{Mat}(l,\mathbb{K})$}\right\}

である．このLie代数を，𝔬⁢(l,l,𝕂)\mathfrak{o}(l,l,\mathbb{K})と書く．また，

𝔥′\displaystyle\mathfrak{h}^{\prime} ={Ad⁡(g)⁢diag⁡(x1,…,xl,−x1,…,−xl)∣x1, …, xl∈𝕂}\displaystyle=\{\operatorname{Ad}(g)\operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l},-x_{% 1},\dots,-x_{l})\mid\text{$x_{1}$, $\dots$, $x_{l}\in\mathbb{K}$}\}
={(0diag⁡(x1,…,xl)diag⁡(x1,…,xl)0)|x1, …, xl∈𝕂}\displaystyle=\left\{\begin{pmatrix}0&\operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l})\\ \operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l})&0\\ \end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}\text{$x_{1}$, $\dots$, $x_{l}\in% \mathbb{K}$}\right\}

であり，対応するルート系は

Δ⁢(𝔤′,𝔥′)={±(ϵi′±ϵj′)∣1≤i<j≤l},\displaystyle\Delta(\mathfrak{g}^{\prime},\mathfrak{h}^{\prime})=\{\pm(% \epsilon^{\prime}_{i}\pm\epsilon^{\prime}_{j})\mid 1\leq i<j\leq l\},
各ϵi′∈𝔥′∗\epsilon^{\prime}_{i}\in{\mathfrak{h}^{\prime}}^{*}は，ϵi′⁢((0diag⁡(x1,…,xl)diag⁡(x1,…,xl)0))=xi\epsilon^{\prime}_{i}\left(\begin{pmatrix}0&\operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_% {l})\\ \operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l})&0\\ \end{pmatrix}\right)=x_{i}で与えられる元

であり，各ルートの双対ルートは

H±(ϵi′−ϵj′)\displaystyle H_{\pm(\epsilon^{\prime}_{i}-\epsilon^{\prime}_{j})} =±Ad⁡(g)⁢((Ei,i−El+i,l+i)−(Ej,j−El+j,l+j))\displaystyle=\pm\operatorname{Ad}(g)((E_{i,i}-E_{l+i,l+i})-(E_{j,j}-E_{l+j,l+% j})) =±(0Ei,i−Ej,jEi,i−Ej,j0),\displaystyle=\pm\begin{pmatrix}0&E_{i,i}-E_{j,j}\\ E_{i,i}-E_{j,j}&0\\ \end{pmatrix},
H±(ϵi′+ϵj′)\displaystyle H_{\pm(\epsilon^{\prime}_{i}+\epsilon^{\prime}_{j})} =±Ad⁡(g)⁢((Ei,i−El+i,l+i)+(Ej,j−El+j,l+j))\displaystyle=\pm\operatorname{Ad}(g)((E_{i,i}-E_{l+i,l+i})+(E_{j,j}-E_{l+j,l+% j})) =±(0Ei,i+Ej,jEi,i+Ej,j0)\displaystyle=\pm\begin{pmatrix}0&E_{i,i}+E_{j,j}\\ E_{i,i}+E_{j,j}&0\\ \end{pmatrix}

であり，ルート空間は

𝔤ϵi′−ϵj′′\displaystyle\mathfrak{g}^{\prime}_{\epsilon^{\prime}_{i}-\epsilon^{\prime}_{j}} =𝕂⁢Ad⁡(g)⁢(Ei,j00−Ej,i)\displaystyle=\mathbb{K}\operatorname{Ad}(g)\begin{pmatrix}E_{i,j}&0\\ 0&-E_{j,i}\\ \end{pmatrix} =𝕂⁢(12⁢(Ei,j−Ej,i)12⁢(Ei,j+Ej,i)12⁢(Ei,j+Ej,i)12⁢(Ei,j−Ej,i)),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(E_{i,j}-E_{j,i})&\frac{1}{2% }(E_{i,j}+E_{j,i})\\ \frac{1}{2}(E_{i,j}+E_{j,i})&\frac{1}{2}(E_{i,j}-E_{j,i})\\ \end{pmatrix},
𝔤−ϵi′+ϵj′′\displaystyle\mathfrak{g}^{\prime}_{-\epsilon^{\prime}_{i}+\epsilon^{\prime}_{% j}} =𝕂⁢Ad⁡(g)⁢(Ej,i00−Ei,j)\displaystyle=\mathbb{K}\operatorname{Ad}(g)\begin{pmatrix}E_{j,i}&0\\ 0&-E_{i,j}\\ \end{pmatrix} =𝕂⁢(12⁢(−Ei,j+Ej,i)12⁢(Ei,j+Ej,i)12⁢(Ei,j+Ej,i)12⁢(−Ei,j+Ej,i)),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(-E_{i,j}+E_{j,i})&\frac{1}{% 2}(E_{i,j}+E_{j,i})\\ \frac{1}{2}(E_{i,j}+E_{j,i})&\frac{1}{2}(-E_{i,j}+E_{j,i})\\ \end{pmatrix},
𝔤ϵi′+ϵj′′\displaystyle\mathfrak{g}^{\prime}_{\epsilon^{\prime}_{i}+\epsilon^{\prime}_{j}} =𝕂⁢Ad⁡(g)⁢(0Ei,j−Ej,i00)\displaystyle=\mathbb{K}\operatorname{Ad}(g)\begin{pmatrix}0&E_{i,j}-E_{j,i}\\ 0&0\\ \end{pmatrix} =𝕂⁢(12⁢(Ei,j−Ej,i)12⁢(−Ei,j+Ej,i)12⁢(Ei,j−Ej,i)12⁢(−Ei,j+Ej,i)),\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(E_{i,j}-E_{j,i})&\frac{1}{2% }(-E_{i,j}+E_{j,i})\\ \frac{1}{2}(E_{i,j}-E_{j,i})&\frac{1}{2}(-E_{i,j}+E_{j,i})\\ \end{pmatrix},
𝔤−ϵi′−ϵj′′\displaystyle\mathfrak{g}^{\prime}_{-\epsilon^{\prime}_{i}-\epsilon^{\prime}_{% j}} =𝕂⁢Ad⁡(g)⁢(00Ei,j−Ej,i0)\displaystyle=\mathbb{K}\operatorname{Ad}(g)\begin{pmatrix}0&0\\ E_{i,j}-E_{j,i}&0\\ \end{pmatrix} =𝕂⁢(12⁢(Ei,j−Ej,i)12⁢(Ei,j−Ej,i)12⁢(−Ei,j+Ej,i)12⁢(−Ei,j+Ej,i))\displaystyle=\mathbb{K}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(E_{i,j}-E_{j,i})&\frac{1}{2% }(E_{i,j}-E_{j,i})\\ \frac{1}{2}(-E_{i,j}+E_{j,i})&\frac{1}{2}(-E_{i,j}+E_{j,i})\\ \end{pmatrix}

である．

さらに，𝕂\mathbb{K}が−1-1の平方根をもつと仮定し，その一つを−1\sqrt{-1}と書く．h∈𝐺𝐿⁢(2⁢l,𝕂)h\in\mathit{GL}(2l,\mathbb{K})を

h=(Il00−−1⁢Il)h=\begin{pmatrix}I_{l}&0\\ 0&-\sqrt{-1}\,I_{l}\\ \end{pmatrix}

と定め，Lie代数𝔤⁢𝔩⁢(2⁢l,𝕂)\mathfrak{gl}(2l,\mathbb{K})の自己同型X↦h⁢X⁢h−1X\mapsto hXh^{-1}をAd⁡(h)\operatorname{Ad}(h)と書く．この自己同型は，

Ad⁡(h)⁢(ABCD)=(A−1⁢B−−1⁢CD)\operatorname{Ad}(h)\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&\sqrt{-1}\,B\\ -\sqrt{-1}\,C&D\\ \end{pmatrix}

で与えられる．𝔤′′=Ad⁡(h)⁢𝔤′\mathfrak{g}^{\prime\prime}=\operatorname{Ad}(h)\mathfrak{g}^{\prime}，𝔥′′=Ad⁡(h)⁢𝔥′\mathfrak{h}^{\prime\prime}=\operatorname{Ad}(h)\mathfrak{h}^{\prime}と置くと，(𝔤′′,𝔥′′)(\mathfrak{g}^{\prime\prime},\mathfrak{h}^{\prime\prime})もDl\mathrm{D}_{l}型の分裂単純Lie代数である．𝔤′′\mathfrak{g}^{\prime\prime}と𝔥′′\mathfrak{h}^{\prime\prime}を求めよう．Φ′\Phi^{\prime}のhhによる押し出しΦ′′:𝕂2⁢l×𝕂2⁢l→𝕂\Phi^{\prime\prime}\colon\mathbb{K}^{2l}\times\mathbb{K}^{2l}\to\mathbb{K}は，標準基底に関して行列表示

(h−1)T⁢2⁢Il,l⁢h−1=2⁢I2⁢l(h^{-1})^{\mathrm{T}}2I_{l,l}h^{-1}=2I_{2l}

をもつ対称双線型形式だから，

𝔤′′=𝔬⁢(𝕂2⁢l,Φ′′)=𝔬⁢(2⁢l,𝕂)\mathfrak{g}^{\prime\prime}=\mathfrak{o}(\mathbb{K}^{2l},\Phi^{\prime\prime})=% \mathfrak{o}(2l,\mathbb{K})

である．また，

𝔥′′\displaystyle\mathfrak{h}^{\prime\prime} ={Ad⁡(h)⁢(0diag⁡(x1,…,xl)diag⁡(x1,…,xl)0)|x1, …, xl∈𝕂}\displaystyle=\left\{\operatorname{Ad}(h)\begin{pmatrix}0&\operatorname{diag}(% x_{1},\dots,x_{l})\\ \operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l})&0\\ \end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}\text{$x_{1}$, $\dots$, $x_{l}\in% \mathbb{K}$}\right\}
={(0−1⁢diag⁡(x1,…,xl)−−1⁢diag⁡(x1,…,xl)0)|x1, …, xl∈𝕂}\displaystyle=\left\{\begin{pmatrix}0&\sqrt{-1}\,\operatorname{diag}(x_{1},% \dots,x_{l})\\ -\sqrt{-1}\,\operatorname{diag}(x_{1},\dots,x_{l})&0\\ \end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}\text{$x_{1}$, $\dots$, $x_{l}\in% \mathbb{K}$}\right\}

である．対応するルート系なども，前段と同様にして求められる．

3.7 分裂可能単純Lie代数の分類

本小節では，標数0の可換体𝕂\mathbb{K}上のE6\mathrm{E}_{6}, E7\mathrm{E}_{7}, E8\mathrm{E}_{8}, F4\mathrm{F}_{4}, G2\mathrm{G}_{2}型の（同型を除いて一意に存在する）分裂可能単純Lie代数を，それぞれ𝔢6⁢(𝕂)\mathfrak{e}_{6}(\mathbb{K}), 𝔢7⁢(𝕂)\mathfrak{e}_{7}(\mathbb{K}), 𝔢8⁢(𝕂)\mathfrak{e}_{8}(\mathbb{K}), 𝔣4⁢(𝕂)\mathfrak{f}_{4}(\mathbb{K}), 𝔤2⁢(𝕂)\mathfrak{g}_{2}(\mathbb{K})と書く．

定理3.31 (分裂可能単純Lie代数の分類)

𝕂\mathbb{K}を標数0の可換体とする．次に挙げるLie代数は，いずれも𝕂\mathbb{K}上の分裂可能単純Lie代数である．𝕂\mathbb{K}上の任意の分裂可能単純Lie代数は，これらのいずれかに同型である．（表1も参照のこと．）

  • •

    𝔰⁢𝔩⁢(l+1,𝕂)\mathfrak{sl}(l+1,\mathbb{K}) (l≥1l\geq 1)

  • •

    𝔬⁢(l,l,𝕂)\mathfrak{o}(l,l,\mathbb{K}) (l≥1l\geq 1)

  • •

    𝔰⁢𝔭⁢(l,𝕂)\mathfrak{sp}(l,\mathbb{K}) (l≥1l\geq 1)

  • •

    𝔬⁢(l,l+1,𝕂)\mathfrak{o}(l,l+1,\mathbb{K}) (l≥2l\geq 2)

  • •

    𝔢6⁢(𝕂)\mathfrak{e}_{6}(\mathbb{K}), 𝔢7⁢(𝕂)\mathfrak{e}_{7}(\mathbb{K}), 𝔢8⁢(𝕂)\mathfrak{e}_{8}(\mathbb{K}), 𝔣4⁢(𝕂)\mathfrak{f}_{4}(\mathbb{K}), 𝔤2⁢(𝕂)\mathfrak{g}_{2}(\mathbb{K})

    表 1: 分裂可能単純Lie代数の分類
    型 分裂可能単純Lie代数 Dynkin図形
    Al\mathrm{A}_{l} (l≥1l\geq 1) 𝔰⁢𝔩⁢(l+1,𝕂)\mathfrak{sl}(l+1,\mathbb{K})
    Bl\mathrm{B}_{l} (l≥1l\geq 1) 𝔬⁢(l,l+1,𝕂)\mathfrak{o}(l,l+1,\mathbb{K})
    Cl\mathrm{C}_{l} (l≥1l\geq 1) 𝔰⁢𝔭⁢(l,𝕂)\mathfrak{sp}(l,\mathbb{K})
    Dl\mathrm{D}_{l} (l≥2l\geq 2) 𝔬⁢(l,l,𝕂)\mathfrak{o}(l,l,\mathbb{K})
    E6\mathrm{E}_{6} 𝔢6⁢(𝕂)\mathfrak{e}_{6}(\mathbb{K})
    E7\mathrm{E}_{7} 𝔢7⁢(𝕂)\mathfrak{e}_{7}(\mathbb{K})
    E8\mathrm{E}_{8} 𝔢8⁢(𝕂)\mathfrak{e}_{8}(\mathbb{K})
    F4\mathrm{F}_{4} 𝔣4⁢(𝕂)\mathfrak{f}_{4}(\mathbb{K})
    G2\mathrm{G}_{2} 𝔤2⁢(𝕂)\mathfrak{g}_{2}(\mathbb{K})
証明

存在定理（定理3.22），同型定理（定理3.28），系3.29，命題3.30より，分裂可能単純Lie代数の同型類と被約な既約ルート系の同型類とは一対一に対応する．よって，主張は，被約な既約ルート系の分類と前小節で述べた古典型分裂可能単純Lie代数の構成から従う．∎

系3.32 (標数0の代数閉体上の単純Lie代数の分類)

𝕂\mathbb{K}を標数0の代数閉体とする．次に挙げるLie代数は，いずれも𝕂\mathbb{K}上の単純Lie代数である．𝕂\mathbb{K}上の任意の単純Lie代数は，これらのいずれかに同型である．

  • •

    𝔰⁢𝔩⁢(n,𝕂)\mathfrak{sl}(n,\mathbb{K}) (n≥2n\geq 2)

  • •

    𝔬⁢(n,𝕂)\mathfrak{o}(n,\mathbb{K}) (n=3n=3または≥5\geq 5)

  • •

    𝔰⁢𝔭⁢(n,𝕂)\mathfrak{sp}(n,\mathbb{K}) (n≥1n\geq 1)

  • •

    𝔢6⁢(𝕂)\mathfrak{e}_{6}(\mathbb{K}), 𝔢7⁢(𝕂)\mathfrak{e}_{7}(\mathbb{K}), 𝔢8⁢(𝕂)\mathfrak{e}_{8}(\mathbb{K}), 𝔣4⁢(𝕂)\mathfrak{f}_{4}(\mathbb{K}), 𝔤2⁢(𝕂)\mathfrak{g}_{2}(\mathbb{K})

証明

𝕂\mathbb{K}は代数閉だから，𝕂\mathbb{K}上の任意の単純Lie代数は分裂可能であり，前小節で述べたように𝔬⁢(l,l+1,𝕂)≅𝔬⁢(2⁢l+1,𝕂)\mathfrak{o}(l,l+1,\mathbb{K})\cong\mathfrak{o}(2l+1,\mathbb{K})かつ𝔬⁢(l,l,𝕂)≅𝔬⁢(2⁢l,𝕂)\mathfrak{o}(l,l,\mathbb{K})\cong\mathfrak{o}(2l,\mathbb{K})である．よって，主張は，分裂可能単純Lie代数の分類定理（定理3.31）から従う．∎

注意3.33 (古典型分裂可能（半）単純Lie代数の偶然同型)

低階数でのルート系の同型と同型定理（定理3.28）から，古典型分裂可能（半）単純Lie代数の間の同型が得られる（表2）．これらを，偶然同型（accidental isomorphism）という．分類定理（定理3.31）に挙げた分裂可能単純Lie代数の間の同型は，同表（「A1⊕A1≅D2\mathrm{A}_{1}\oplus\mathrm{A}_{1}\cong\mathrm{D}_{2}」の行を除く）に挙げたもので尽くされている．

表 2: 古典型分裂可能（半）単純Lie代数の偶然同型
型 分裂可能（半）単純Lie代数 Dynkin図形
A1≅B1≅C1\mathrm{A}_{1}\cong\mathrm{B}_{1}\cong\mathrm{C}_{1} 𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)≅𝔬⁢(1,2,𝕂)≅𝔰⁢𝔭⁢(1,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})\cong\mathfrak{o}(1,2,\mathbb{K})\cong\mathfrak{sp}% (1,\mathbb{K})
B2≅C2\mathrm{B}_{2}\cong\mathrm{C}_{2} 𝔬⁢(2,3,𝕂)≅𝔰⁢𝔭⁢(2,𝕂)\mathfrak{o}(2,3,\mathbb{K})\cong\mathfrak{sp}(2,\mathbb{K})
A1⊕A1≅D2\mathrm{A}_{1}\oplus\mathrm{A}_{1}\cong\mathrm{D}_{2} 𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)⊕𝔰⁢𝔩⁢(2,𝕂)≅𝔬⁢(2,2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})\oplus\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})\cong\mathfrak{o}(% 2,2,\mathbb{K})
A3≅D3\mathrm{A}_{3}\cong\mathrm{D}_{3} 𝔰⁢𝔩⁢(4,𝕂)≅𝔬⁢(3,3,𝕂)\mathfrak{sl}(4,\mathbb{K})\cong\mathfrak{o}(3,3,\mathbb{K})