3 コンパクトLie群の位相的性質

$G/\Gamma$がコンパクトであることより，コンパクト集合$C\subseteq G$であって$G=C\Gamma$を満たすものがとれる．必要ならば$C$を大きくとりなおして，$G=C^{\circ}\Gamma$（$C^{\circ}$は，$C$の内部を表す）であり，かつ$G=\bigcup_{n=1}^{\infty}C^{n}$であるとしてよい．$C^{2}$はコンパクト集合であり$(C^{\circ}g)_{g\in\Gamma}$はその開被覆だから，有限部分集合$F\subseteq\Gamma$であって$C^{2}\subseteq C^{\circ}F\subseteq CF$を満たすものが存在する．このことから帰納的に，任意の$n\in\mathbb{N}_{>0}$に対して$C^{n}\subseteq CF$であることがわかる．$G=\bigcup_{n=1}^{\infty}C^{n}$だったから，$G=CF$を得る．したがって，任意の$g\in\Gamma$は$g=g_{1}g_{2}$（$g_{1}\in C$，$g_{2}\in F$）と書けるが，このとき$g_{1}=gg_{2}^{-1}\in\Gamma$だから，$g_{1}\in C\cap\Gamma$である．よって，$\Gamma$は群として有限部分集合$(C\cap\Gamma)\cup F$によって生成される．∎

$x\in\Gamma$を任意にとる．$G$から$\Gamma$への連続写像$g\mapsto gxg^{-1}$は，$G$が連結で$\Gamma$が離散であることより定値であり，単位元$e$を$x$に移すから，常に値$x$をとる．すなわち，$x\in\mathbf{Z}(G)$である．∎

(1) $p(\widetilde{T})$は$\operatorname{Lie}(p)(\mathfrak{t})=\mathfrak{t}$をLie代数にもつ$G$の連結部分Lie群だから，$T$に等しい．Lie群の準同型$p|_{\widetilde{T}}\colon\widetilde{T}\to T$の微分は$\mathrm{id}_{\mathfrak{t}}$だから，$p|_{\widetilde{T}}$はLie群の被覆準同型である．さらに，補題3.2と系2.13より$\operatorname{Ker}(p)\subseteq\mathbf{Z}(\widetilde{G})\subseteq\widetilde{T}$だから，$(\widetilde{T},p|_{\widetilde{T}})$の被覆次数は$(\widetilde{G},p)$の被覆次数と等しく$m$である．

(2) $T$と$\widetilde{T}$の指数写像は$\exp_{T}=p|_{\widetilde{T}}\circ\exp_{\widetilde{T}}$を満たすから，$\operatorname{Ker}(\exp_{\widetilde{T}})\subseteq\operatorname{Ker}(\exp_{T})$かつ$(\operatorname{Ker}(\exp_{T}):\operatorname{Ker}(\exp_{\widetilde{T}}))=\#\operatorname{Ker}(p|_{\widetilde{T}})=m$である．よって，命題2.21と格子に関する一般論より，$X(T)\subseteq X(\widetilde{T})$かつ$(X(\widetilde{T}):X(T))=m$が成り立つ． ∎

必要ならば普遍被覆Lie群を考えることで，一般性を失わず，$G$は単連結であると仮定する．$\mathfrak{g}$がコンパクトであることより，$\mathfrak{g}$と同型なLie代数をもつコンパクト連結Lie群$G^{\prime}$が存在し，$G^{\prime}$は$G$のある離散正規部分群$\Gamma$による商$G/\Gamma$と同型である．$G$がコンパクトであることを示すためには，$\Gamma$が有限であることを示せばよい．

$\Gamma$は，有限生成であり（補題3.1），中心$\mathbf{Z}(G)$に含まれる（補題3.2）から可換である．したがって，有限生成可換群の構造定理より，もし$\Gamma$が無限ならば，任意の$m\in\mathbb{N}_{>0}$に対して指数$m$の部分群$\Gamma_{1}\subseteq\Gamma$が存在する．等化準同型を$p\colon G/\Gamma_{1}\to G/\Gamma$と書くと，$(G/\Gamma_{1},p)$は$G/\Gamma$の$m$重被覆Lie群である．$G/\Gamma$はコンパクトだから，$G/\Gamma_{1}$もコンパクトである．ここで，$\mathfrak{g}$のCartan部分代数$\mathfrak{t}$を一つ固定し，これをLie代数にもつ$G/\Gamma_{1}$と$G/\Gamma$の極大トーラスをそれぞれ$\widetilde{T}$と$T$と書く．また，$\Delta=\Delta(\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})},\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})$と置き，$Q(\Delta)$と$P(\Delta)$を前小節のとおりに定める．すると，

である（命題2.24 (1)，補題3.3）．一方で，$\mathfrak{g}$が半単純であることより，$Q(\Delta)$と$P(\Delta)$はともに実ベクトル空間$\{\lambda\in(\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})})^{*}\mid\lambda(\mathfrak{t})\subseteq i\mathbb{R}\}$上の格子だから，$(P(\Delta):Q(\Delta))<\infty$である．これは，$m\in\mathbb{N}_{>0}$を任意にとれることに矛盾する．よって，背理法より，$\Gamma$は有限である．∎

$\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$と置く．$\mathfrak{g}$は，コンパクト半単純Lie代数$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$と可換Lie代数$\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$に（Lie代数として）直和分解される（系1.4）．

$\text{(a)}\Longleftrightarrow\text{(b)}$ $G$が半単純であるための必要十分条件は，$\mathbf{Z}(\mathfrak{g})=0$であることである．$\mathbf{Z}(G)$はコンパクトLie群$G$の閉部分群であって$\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$をLie代数にもつから，$\mathbf{Z}(\mathfrak{g})=0$は，$\mathbf{Z}(G)$が有限であることと同値である．

$\text{(a)}\Longleftrightarrow\text{(c)}$ $\widetilde{G}^{\prime}$を$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$をLie代数にもつ単連結Lie群とすると，$\widetilde{G}\cong\widetilde{G}^{\prime}\times\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$である（ここで，$\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$を，加法によってLie群とみなしている）．Weylの定理（定理3.4）より$\widetilde{G}^{\prime}$はコンパクトだから，$\widetilde{G}$がコンパクトであるための必要十分条件は，$\mathbf{Z}(\mathfrak{g})=0$，すなわち$G$が半単純であることである．

$\text{(c)}\Longleftrightarrow\text{(d)}$ $\widetilde{G}$がコンパクトであることは，$\operatorname{Ker}(p)$が有限であることと同値である．基本群$\pi_{1}(G)$は$\operatorname{Ker}(p)$に同型だから，主張が成り立つ． ∎

(1) $\mathfrak{g}^{\prime}$はコンパクトかつ半単純だから（系1.4），主張はWeylの定理（定理3.4）から従う．

(2) $G^{\prime}\times\mathbf{Z}(G)_{0}$から$G$への写像$(g^{\prime},z)\mapsto g^{\prime}z$を，$\phi$と書く．$G^{\prime}$の任意の元と$\mathbf{Z}(G)_{0}$の任意の元は可換だから，$\phi$はLie群の準同型である．さらに，$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}^{\prime}\oplus\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$より$\operatorname{Lie}(\phi)\colon\mathfrak{g}^{\prime}\times\mathbf{Z}(\mathfrak{g})\to\mathfrak{g}$は同型であり，$G$は連結だから，$\phi$はLie群の全射被覆準同型である． ∎

$\mathfrak{g}^{\prime}$のCartan部分代数$\mathfrak{t}^{\prime}$に対して，$\mathfrak{t}^{\prime}\oplus\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$は$\mathfrak{g}$のCartan部分代数であり，$\mathfrak{g}$の任意のCartan部分代数$\mathfrak{t}$は，$\mathfrak{g}^{\prime}$の一意なCartan部分代数$\mathfrak{t}^{\prime}$を用いてこのように表せる．さらに，$\mathfrak{t}^{\prime}$をLie代数にもつ$G^{\prime}$の極大トーラスを$T^{\prime}$と書くと，$\mathfrak{t}^{\prime}\oplus\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$をLie代数にもつ$G$のCartan部分群は$T^{\prime}\mathbf{Z}(G)_{0}$である．これで，主張が示された．∎

$\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$，$\mathfrak{g}^{\prime}=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$と置き，$\mathfrak{g}^{\prime}$をLie代数にもつ$G$の連結部分Lie群を$G^{\prime}$と書く．$G^{\prime}$はコンパクトであり（命題3.6 (1)），$G^{\prime}$の極大トーラス$T^{\prime}$が存在して$T=T^{\prime}\mathbf{Z}(G)_{0}$が成り立つ（命題3.7）．$G=G^{\prime}\mathbf{Z}(G)_{0}$であり（命題3.6 (2)），$G^{\prime}$の任意の元は$T^{\prime}$のある元に共役だから（定理2.11），$G$の任意の元は$T$のある元に共役である．∎

定理3.8より，$G$はそのCartan部分群全体の合併に等しい．連結可換Lie群の指数写像は全射だから（命題2.1 (1)），$G$の指数写像も全射である．∎

定理3.8より$G$はそのCartan部分群全体の合併に等しいから，$z\in G$が$G$のすべてのCartan部分群に含まれるとすると，$z\in\mathbf{Z}(G)$である．一方で，$T$を$G$の極大トーラスとすると，定理3.8より，任意の$z\in\mathbf{Z}(G)$に対してある$g\in G$が存在して$z=gzg^{-1}\in T$となる．よって，$G$のすべてのCartan部分群の交叉は，中心$\mathbf{Z}(G)$に等しい．∎

任意の$g\in\mathbf{Z}_{G}(S)$に対して，$G$のCartan部分群であって$g$と$S$を含むものが存在することを示せばよい．$\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$，$\mathfrak{s}=\operatorname{Lie}(S)$と置く．$\mathfrak{s}+\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$をLie代数にもつ$G$の連結部分Lie群は$S\mathbf{Z}(G)_{0}$であり，これは$\mathbf{Z}_{G}(S\mathbf{Z}(G)_{0})=\mathbf{Z}_{G}(S)$を満たす．そこで，必要ならば$S\mathbf{Z}(G)_{0}$を改めて$S$と置くことで，一般性を失わず，$\mathbf{Z}(\mathfrak{g})\subseteq\mathfrak{s}$であると仮定する．

$\mathfrak{g}^{\prime}=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$と置き，これをLie代数にもつ$G$の連結部分Lie群を$G^{\prime}$と書く．命題3.6より，$g=g^{\prime}z$（$g^{\prime}\in G^{\prime}$，$z\in\mathbf{Z}(G)_{0}$）と書ける．$\mathfrak{s}^{\prime}=\mathfrak{s}\cap\mathfrak{g}^{\prime}$と置くと，$\mathfrak{s}=\mathfrak{s}^{\prime}\oplus\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$だから，$S=S^{\prime}\mathbf{Z}(G)_{0}$である．$\mathfrak{s}^{\prime}$をLie代数にもつ$G^{\prime}$の連結部分Lie群を$S^{\prime}$と書くと，系2.14より，$G^{\prime}$の極大トーラス$T^{\prime}$であって$g^{\prime}$と$S^{\prime}$を含むものが存在する．$T=T^{\prime}\mathbf{Z}(G)_{0}$は$G$のCartan部分群であり（命題3.7），$g=g^{\prime}z$と$S=S^{\prime}\mathbf{Z}(G)_{0}$を含む．これで，主張が示された．∎

命題3.11から従う．∎

仮定より，$\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\mathfrak{a}$は$\mathfrak{g}$の可換部分Lie代数である．これをLie代数にもつ$G$の連結部分Lie群を$A$と置くと，$\mathbf{Z}_{G}(\mathfrak{a})=\mathbf{Z}_{G}(\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\mathfrak{a})=\mathbf{Z}_{G}(A)$だから，主張は系3.12 (1)から従う．∎

$\operatorname{Ker}(f)$は簡約Lie代数$\mathfrak{g}$（命題1.2）のイデアルだから，その補イデアル$\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{g}$が存在して，Lie代数としての直和分解$\mathfrak{g}=\operatorname{Ker}(f)\oplus\mathfrak{a}$が成り立つ．$\mathfrak{t}$は$\mathfrak{g}$のCartan部分代数だから，直和Lie代数のCartan部分代数に関する結果（参照）より，$\mathfrak{t}\cap\mathfrak{a}$は$\mathfrak{a}$のCartan部分代数である．$f|_{\mathfrak{a}}$はLie代数$\mathfrak{a}$から$\mathfrak{h}$への同型であり，$\mathfrak{t}\cap\mathfrak{a}$を$f(\mathfrak{t})$に移すから，$f(\mathfrak{t})$は$\mathfrak{h}$のCartan部分代数である．∎

(1) 命題1.2より，$\operatorname{Lie}(G)$と$\operatorname{Lie}(H)$は簡約である．$G$は連結で$f$はLie群の全射準同型だから，$\operatorname{Lie}(f)\colon\operatorname{Lie}(G)\to\operatorname{Lie}(H)$はLie代数の全射準同型である．$T_{G}\subseteq G$をCartan部分群とすると，$\operatorname{Lie}(T_{G})$は$\operatorname{Lie}(G)$のCartan部分代数だから，$\operatorname{Lie}(f)(\operatorname{Lie}(T_{G}))$は$\operatorname{Lie}(H)$のCartan部分代数である（補題3.14）．$f(T_{G})$は，$\operatorname{Lie}(f)(\operatorname{Lie}(T_{G}))$をLie代数にもつ$H$の連結部分Lie群だから，$H$のCartan部分代数である．

任意のCartan部分群$T_{H}\subseteq H$が$G$のあるCartan部分群の$f$による像として書けることを示す．Cartan部分群$T_{G}\subseteq G$を一つ固定する．前段の結果より$f(T_{G})$は$H$のCartan部分群だから，Cartan部分群の共役性（命題2.4）より，ある$h\in H$が存在して$hf(T_{G})h^{-1}=T_{H}$となる．$f$は全射だから$h=f(g)$と書けて，$f(gT_{G}g^{-1})=T_{H}$が成り立つ．

(2) $f$は全射だから，任意のCartan部分群$T_{H}\subseteq H$に対して，$f(f^{-1}(T_{H}))=T_{H}$である．また，任意のCartan部分群$T_{G}\subseteq G$に対して，$\operatorname{Ker}(f)\subseteq\mathbf{Z}(G)\subseteq T_{G}$だから（系3.10），$f^{-1}(f(T_{G}))=T_{G}$である．これらのことと(1)より，主張の一対一対応が成り立つ． ∎

(1) $T_{H}$は$G$の連結可換部分Lie群だから，それを含むCartan部分群$T_{G}$が存在する（命題2.5）．$T_{G}\cap H$は$H$の可換部分群であって$T_{H}$を含むが，$T_{H}$は$H$において極大可換だから（系3.12），$T_{H}=T_{G}\cap H$となる．

(2) $\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$，$\mathfrak{h}=\operatorname{Lie}(H)$，$\mathfrak{t}=\operatorname{Lie}(T_{G})$と置く．$\mathfrak{h}$は簡約Lie代数$\mathfrak{g}$（命題1.2）のイデアルだから，その補イデアル$\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{g}$が存在して，Lie代数としての直和分解$\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{a}$が成り立つ．$\mathfrak{t}$は$\mathfrak{g}$のCartan部分代数だから，直和Lie代数のCartan部分代数に関する結果（参照）より，$\mathfrak{t}\cap\mathfrak{h}$は$\mathfrak{h}$のCartan部分代数である．$(T_{G}\cap H)_{0}$は$\mathfrak{t}\cap\mathfrak{h}$をLie代数にもつ$H$の連結部分Lie群だから，$H$のCartan部分群である．$T_{G}\cap H$は$H$の可換部分群であって$(T_{G}\cap H)_{0}$を含むが，$(T_{G}\cap H)_{0}$は$H$において極大可換だから（系3.12），$(T_{G}\cap H)_{0}=T_{G}\cap H$となる．よって，$T_{G}\cap H$は$H$のCartan部分群である． ∎

$\text{(a)}\Longrightarrow\text{(b)}$ $f\colon G\to H$が$\phi$の持ち上げならば，$f|_{T}$は$\phi|_{\mathfrak{t}}$の持ち上げである．

$\text{(b)}\Longrightarrow\text{(a)}$ $(\widetilde{G},p)$を$G$の普遍被覆Lie群とし，$\widetilde{T}$を$\widetilde{G}$の連結部分Lie群であって$\mathfrak{t}$をLie代数にもつものとする．$\widetilde{T}$は，$\widetilde{G}$のCartan部分群である．

$\widetilde{G}$は単連結だから，$\phi$の持ち上げ$\widetilde{f}\colon\widetilde{G}\to H$がとれる．ここで，$f_{T}\colon T\to H$が$\phi|_{\mathfrak{t}}$の持ち上げであるとする．$\widetilde{T}$は連結であり，$\operatorname{Lie}(\widetilde{f}|_{\widetilde{T}})=f|_{\mathfrak{t}}=\operatorname{Lie}(f_{T}\circ p|_{\widetilde{T}})$だから，$\widetilde{f}|_{\widetilde{T}}=f_{T}\circ p|_{\widetilde{T}}$である．したがって，

である（最後の等号では，補題3.2と系3.10より$\operatorname{Ker}(p)\subseteq\mathbf{Z}(\widetilde{G})\subseteq\widetilde{T}$であることを用いた）．よって，$\widetilde{f}$はLie群の準同型$f\colon G\to H$を誘導し，これが$\phi$の持ち上げとなる． ∎

$G$の任意の元は$T$のある元に共役だから（定理3.8），$G$の正規部分群$N$が自明であることと$N\cap T$が自明であることとは同値である．$N=\operatorname{Ker}(f)$とすれば，主張の同値性を得る．∎

まず，$G$が単連結である場合を考える．このとき，$\pi_{1}(G)=1$だから，示すべき主張は，$Q(2\pi i\Delta^{\vee})=\operatorname{Ker}(\exp_{T})$である．ルート系$\Delta$の基底$\Pi$を一つ固定し，$(\Delta,\Pi)$に関する優整ベクトルを単に優整ベクトルということにする．分裂簡約Lie代数に対する最高ウェイト理論より，$\lambda\in P(\Delta)$が優整ベクトルであれば，有限次元既約$\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}$加群$V$であって$\mathfrak{t}_{(\mathbb{C})}$と$\Pi$に関して最高ウェイト$\lambda$をもつものが存在する．いま$G$は単連結だから，これは$G$の連続表現$(\pi,V)$に持ち上がる．$h\in\mathfrak{t}$はウェイト$\lambda$のウェイト空間$V_{\lambda}$に$\lambda(h)$倍写像として作用するから，$\pi|_{T}$は$V_{\lambda}$上の$1$次元部分表現を定め，これが$\lambda|_{\mathfrak{t}}$の持ち上げとなる．したがって，$\lambda\in X(T)$である．$P(\Delta)$に属する優整ベクトルの全体は$P(\Delta)$を加法群として生成するから，$P(\Delta)\subseteq X(T)$を得る．このことと命題2.18と命題2.21より，$\operatorname{Ker}(\exp_{T})\subseteq Q(2\pi i\Delta^{\vee})$が成り立つ．これで，主張が示された．

次に，一般の場合を考える．$(\widetilde{G},p)$を$G$の普遍被覆Lie群とし，$\widetilde{T}$を$\widetilde{G}$の連結部分Lie群であって$\mathfrak{t}$をLie代数にもつものとする．$\widetilde{T}$は，$\widetilde{G}$のCartan部分群である．$G$の被覆Lie群$(\widetilde{G},p)$と$T$の被覆Lie群$(\widetilde{T},p|_{\widetilde{T}})$のそれぞれから定まる完全列とその間の準同型，および自然な同型$\pi_{1}(T)\cong\operatorname{Ker}(\exp_{T})$と$\pi_{1}(\widetilde{T})\cong\operatorname{Ker}(\exp_{\widetilde{T}})$から定まる，次の可換図式を考える．

前段の結果より$\operatorname{Ker}(f_{\widetilde{G},\widetilde{T}})=Q(2\pi i\Delta^{\vee})$かつ$\operatorname{Coker}(f_{\widetilde{G},\widetilde{T}})=1$であり，$\operatorname{Ker}(p)\subseteq\mathbf{Z}(\widetilde{G})\subseteq\widetilde{T}$（補題3.2，系3.10）より$\operatorname{Ker}(p|_{\widetilde{T}})=\operatorname{Ker}(p)$である．したがって，上記の可換図式に蛇の補題を適用すれば，完全列

を得る．よって，$\operatorname{Ker}(f_{G,T})=Q(2\pi i\Delta^{\vee})$かつ$\operatorname{Coker}(f_{G,T})=1$であり，主張が成り立つ．∎

$\text{(a)}\Longleftrightarrow\text{(b)}$ 定理3.19から従う．

$\text{(b)}\Longleftrightarrow\text{(c)}$ 命題2.18と命題2.21から従う． ∎

指数写像$\exp_{T}\colon\mathfrak{t}\to T$は全射であり，系3.10より$\mathbf{Z}(G)\subseteq T$である．また，$h\in\mathfrak{t}$に対して，

である．ここで，第3の同値性は，$\operatorname{Ad}_{\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}}(e^{h})=e^{\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})}}(h)}$が各ルート空間$(\mathfrak{g}_{(\mathbb{C})})_{\alpha}$に$e^{\alpha(h)}$倍写像として作用することから従う．以上より，主張が成り立つ．∎

$\text{(a)}\Longleftrightarrow\text{(b)}$ 定理3.21から従う．

$\text{(b)}\Longleftrightarrow\text{(c)}$ 命題2.18と命題2.21から従う． ∎