UNIT:分裂簡約Lie代数@2026-08-15 分裂簡約Lie代数 概要 分裂簡約Lie代数の構造論および表現論を解説する．構造論については，分裂簡約Lie代数からルート系が定義されることを見たあと，それを用いて分裂可能単純Lie代数を分類する．表現論については，最高ウェイト理論を解説する． 目次 記号と用語 1 Cartan部分代数 1.1 Cartan部分代数 1.2 同時広義固有空間に関する準備 1.3 Cartan部分代数の存在 1.4 多項式写像に関する準備 1.5 Cartan部分代数の共役性 1.6 簡約Lie代数のCartan部分代数 2 𝔰𝔩(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})の表現 2.1 𝔰𝔩(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})加群のウェイト 2.2 最高ウェイト𝔰𝔩(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})加群 2.3 有限次元既約𝔰𝔩(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})加群 3 分裂簡約Lie代数 3.1 分裂簡約Lie代数とそのルート系 3.2 分裂簡約Lie代数における𝔰𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対 3.3 被約ルート系の公理を満たすことの証明 3.4 存在定理 3.5 一意性定理と同型定理 3.6 古典型分裂単純Lie代数 3.7 分裂可能単純Lie代数の分類 4 分裂簡約Lie代数の表現 4.1 𝔤\mathfrak{g}加群のウェイト 4.2 最高ウェイト𝔤\mathfrak{g}加群 4.3 Verma加群 4.4 整ベクトルと優整ベクトルに関する補足 4.5 条件(CD)を満たす有限次元𝔤\mathfrak{g}加群 4.6 最高ウェイト理論 参考文献
概要 分裂簡約Lie代数の構造論および表現論を解説する．構造論については，分裂簡約Lie代数からルート系が定義されることを見たあと，それを用いて分裂可能単純Lie代数を分類する．表現論については，最高ウェイト理論を解説する． 目次 記号と用語 1 Cartan部分代数 1.1 Cartan部分代数 1.2 同時広義固有空間に関する準備 1.3 Cartan部分代数の存在 1.4 多項式写像に関する準備 1.5 Cartan部分代数の共役性 1.6 簡約Lie代数のCartan部分代数 2 𝔰𝔩(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})の表現 2.1 𝔰𝔩(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})加群のウェイト 2.2 最高ウェイト𝔰𝔩(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})加群 2.3 有限次元既約𝔰𝔩(2,𝕂)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})加群 3 分裂簡約Lie代数 3.1 分裂簡約Lie代数とそのルート系 3.2 分裂簡約Lie代数における𝔰𝔩2\mathfrak{sl}_{2}三対 3.3 被約ルート系の公理を満たすことの証明 3.4 存在定理 3.5 一意性定理と同型定理 3.6 古典型分裂単純Lie代数 3.7 分裂可能単純Lie代数の分類 4 分裂簡約Lie代数の表現 4.1 𝔤\mathfrak{g}加群のウェイト 4.2 最高ウェイト𝔤\mathfrak{g}加群 4.3 Verma加群 4.4 整ベクトルと優整ベクトルに関する補足 4.5 条件(CD)を満たす有限次元𝔤\mathfrak{g}加群 4.6 最高ウェイト理論 参考文献