4 分裂簡約Lie代数の表現

$x\in\mathfrak{g}_{\alpha}$，$v\in V_{\lambda}$とすると，任意の$h\in\mathfrak{h}$に対して

だから，$xv\in V_{\lambda+\alpha}$である．よって，$\mathfrak{g}_{\alpha}V_{\lambda}\subseteq V_{\lambda+\alpha}$である．∎

$v\in V_{\lambda}$とすると，任意の$h\in\mathfrak{h}$に対して

だから，$f(v)\in W_{\lambda}$である．よって，$f(V_{\lambda})\subseteq W_{\lambda}$である．∎

$\Pi$に関する正ルート全体のなす集合を$\Delta_{+}$と書き，$\mathfrak{n}_{+}=\bigoplus_{\alpha\in\Delta_{+}}\mathfrak{g}_{\alpha}$と置くと，$\bigoplus_{\alpha\in\Pi}\mathfrak{g}_{\alpha}$は$\mathfrak{n}_{+}$をLie代数として生成する（系3.17 (1)）．よって，主張が成り立つ．∎

(1) $e$は$V$を$\mathfrak{g}$加群として生成し，Poincaré–Birkhoff–Wittの定理⁶⁶ 6 脚注5を参照のこと． より$\mathbf{U}(\mathfrak{g})=\mathbf{U}(\mathfrak{n}_{-})\mathbf{U}(\mathfrak{b}_{+})$だから，$V=\mathbf{U}(\mathfrak{g})e=\mathbf{U}(\mathfrak{n}_{-})\mathbf{U}(\mathfrak{b}_{+})e=\mathbf{U}(\mathfrak{n}_{-})e$である．

(2), (3) $\Pi$に関する正ルートを重複なく列挙して$\alpha_{1}$, $\dots$, $\alpha_{k}$とし，各$i\in\{1,\dots,k\}$に対して$y_{i}\in\mathfrak{g}_{-\alpha_{i}}\setminus\{0\}$を一つずつ固定する．すると，Poincaré–Birkhoff–Wittの定理⁷⁷ 7 脚注5を参照のこと． より$y_{1}^{q_{1}}\dotsm y_{k}^{q_{k}}$（$q_{1}$, $\dots$, $q_{k}\in\mathbb{N}$）の全体は$\mathbf{U}(\mathfrak{n}_{-})$をベクトル空間として生成するから，(1)と合わせて

を得る．ここで，各$y_{1}^{q_{1}}\dotsm y_{k}^{q_{k}}e$は，ウェイト$\lambda-\sum_{i=1}^{k}q_{i}\alpha_{i}$のウェイトベクトルである（命題4.4）．よって，$V$の任意のウェイトは$\lambda-\mathbb{Z}_{\geq 0}\Pi$に属し，$V$はウェイト加群である．また，任意の$\mu\in\lambda-\mathbb{Z}_{\geq 0}\Pi$に対して，$\lambda-\sum_{i=1}^{k}q_{i}\alpha_{i}=\mu$を満たす$(q_{1},\dots,q_{k})\in\mathbb{N}^{k}$はたかだか有限個であり，$\mu=\lambda$のときはこのような組は$(0,\dots,0)$のみである．よって，$V$の任意のウェイトの重複度は有限であり，ウェイト$\lambda$の重複度は$1$である． ∎

命題4.10 (2)から従う．∎

$V$がウェイト$\lambda\in\mathfrak{h}^{*}$の極大生成ベクトル$e$をもつとする．$f\colon V\to V$を$\mathfrak{g}$準同型とすると，$f(e)\in f(V_{\lambda})\subseteq V_{\lambda}=\mathbb{K}e$だから（命題4.5，命題4.10 (2)），ある$c\in\mathbb{K}$が存在して$f(e)=ce$となる．$e$は$V$を$\mathfrak{g}$加群として生成するから，これより，$f=c\mathrm{id}_{V}$である．∎

(1) $z\in\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$の$V$への作用は，$\mathfrak{g}$準同型だから，系4.13よりスカラー倍である．一方で，$e\in V$をウェイト$\lambda$の極大生成ベクトルとすると，$ze=\lambda(z)e$である．よって，$z$は，$V$に$\lambda(z)$倍写像として作用する．

(2) 明らかに，$V\neq 0$である．$V=V^{\prime}\oplus V^{\prime\prime}$を直和分解とすると，対応する射影$p\colon V\to V^{\prime}$は$\mathfrak{g}$準同型だから，系4.13より$p=c\mathrm{id}_{V}$（$c\in\mathbb{K}$）と書ける．$c\neq 0$ならば$V^{\prime}=p(V)=V$であり，$c=0$ならば$V^{\prime}=p(V)=0$である．よって，$V$は直既約である．

(3) Weylの完全可約性定理より，$V$の$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$加群としての既約分解$V=\bigoplus_{i\in I}V_{i}$がとれる．各$V_{i}$は$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$安定だが，(1)より$\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$安定でもあるから，$V=\bigoplus_{i\in I}V_{i}$は$\mathfrak{g}$加群としての既約分解でもある．(2)より$V$は直既約だから，$I$は1元集合であり，$V$は既約である． ∎

直和分解$V=\bigoplus_{\mu\in\lambda-\mathbb{Z}_{\geq 0}\Pi}V_{\mu}$が成り立ち（命題4.10 (2), (3)），$W$は$\mathfrak{h}$安定だから，同時固有空間に関する一般論より，

が成り立つ．$V_{\lambda}$は$1$次元（命題4.10 (2)）だから$V_{\lambda}\cap W$は$0$または$V_{\lambda}$だが，後者の場合$e\in V_{\lambda}\subseteq W$となり，$e$が$V$を$\mathfrak{g}$加群として生成することと$W$が$V$の真部分加群であることに反する．よって，$V_{\lambda}\cap W=0$であり，上記の直和分解と合わせて$W\subseteq\bigoplus_{\mu\in\lambda-\mathbb{Z}_{\geq 0}\Pi,\ \lambda\neq\mu}V_{\mu}$を得る．また，これより$e+W\neq 0$だから，$e+W$は$V/W$のウェイト$\lambda$の極大生成ベクトルである．∎

$\Pi$に関する正ルート全体のなす集合を$\Delta_{+}$と書き，$\mathfrak{n}_{+}=\bigoplus_{\alpha\in\Delta_{+}}\mathfrak{g}_{\alpha}$，$\mathfrak{b}_{+}=\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{n}_{+}$と置く．

(1) 任意の$h\in\mathfrak{h}$に対して，$he_{\lambda}=h\otimes v_{\lambda}=1\otimes hv_{\lambda}=\lambda(h)e_{\lambda}$である．任意の$x\in\mathfrak{n}_{+}$に対して，$xe_{\lambda}=x\otimes v_{\lambda}=1\otimes xv_{\lambda}=0$である．明らかに，$e_{\lambda}$は$M(\lambda)$を$\mathfrak{g}$加群として生成する．以上より，$e_{\lambda}$は$M(\lambda)$のウェイト$\lambda$の極大生成ベクトルである．

(2) $e$が$V$のウェイト$\lambda$の極大ベクトルであることを用いて容易に確かめられるように，$(u,v_{\lambda})\in\mathbf{U}(\mathfrak{g})\otimes\mathbb{K}v_{\lambda}$を$ue\in V$に移す双線形写像は，$\mathbf{U}(\mathfrak{b}_{+})$均衡である．よって，テンソル積の普遍性より，線型写像$\phi\colon M(\lambda)=\mathbf{U}(\mathfrak{g})\otimes_{\mathbf{U}(\mathfrak{b}_{+})}\mathbb{K}v_{\lambda}\to V$であって各$u\otimes v_{\lambda}$を$ue$に移すものが，一意に存在する．この$\phi$が，条件を満たす一意な$\mathfrak{g}$準同型である． ∎

(1) 系4.15より，$M(\lambda)$の真部分加群$N$に対して，$M(\lambda)/N$は最高ウェイト$\lambda$の最高ウェイト$\mathfrak{g}$加群である．

最高ウェイト$\lambda$の最高ウェイト$\mathfrak{g}$加群が，同型を除いて$M(\lambda)$の真部分加群による商で尽くされることを示す．$V$をウェイト$\lambda$の極大生成ベクトル$e$をもつ最高ウェイト$\mathfrak{g}$加群とすると，Verma加群の普遍性（命題4.17 (1)）より，$\mathfrak{g}$準同型$\phi\colon M(\lambda)\to V$であって$e_{\lambda}$を$e$に移すものが一意に存在する．$e$は$V$を$\mathfrak{g}$加群として生成するから，この$\phi$は全射であり，したがって，$\mathfrak{g}$同型$M(\lambda)/\operatorname{Ker}\phi\cong V$を誘導する．$V\neq 0$だから，$\operatorname{Ker}\phi$は$M(\lambda)$の真部分加群である．

$N$と$N^{\prime}$が$M(\lambda)$の真部分加群であり，$\mathfrak{g}$同型$\psi\colon M(\lambda)/N\to M(\lambda)/N^{\prime}$が存在するとして，$N=N^{\prime}$を示す．$\pi\colon M(\lambda)\to M(\lambda)/N$と$\pi^{\prime}\colon M(\lambda)\to M(\lambda)/N^{\prime}$を等化準同型とすると，$\psi(\pi(e))$と$\pi^{\prime}(e)$はともに$M(\lambda)/N^{\prime}$の極大生成ベクトルだから（系4.15），ある$c\in\mathbb{K}^{\times}$が存在して$\psi(\pi(e))=c\pi^{\prime}(e)$が成り立つ（系4.11）．Verma加群の普遍性（命題4.17 (2)）と合わせて，$\psi\circ\pi=c\pi^{\prime}$を得る．よって，

が成り立つ．

(2) 系4.15より，$M(\lambda)$のすべての真部分加群の和はまたは真部分加群であり，これが$M(\lambda)$の最大真部分加群$N(\lambda)$となる．$M(\lambda)$の真部分加群$N$に対して，$M(\lambda)/N$が既約であることは，$N$が$M(\lambda)$の真部分加群の中で極大であることと同値だが，$M(\lambda)$は最大真部分加群$N(\lambda)$をもつから，この条件を満たすものは$N=N(\lambda)$のみである．また，$M(\lambda)/N$が有限次元であるとすると，$M(\lambda)/N$は既約だから（系4.14 (3)），$N=N(\lambda)$となる．これで，すべての主張が示された． ∎

$V=\{\alpha\in\mathfrak{h}^{*}\mid\alpha|_{\mathbf{Z}(\mathfrak{g})}=0\}$および$Z=\{\alpha\in\mathfrak{h}^{*}\mid\alpha|_{\mathfrak{h}\cap[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]}=0\}$と置き，直和分解$\mathfrak{h}^{*}=V\oplus Z$に関する射影を$\mathrm{pr}_{V}\colon\mathfrak{h}^{*}\to V$および$\mathrm{pr}_{Z}\colon\mathfrak{h}^{*}\to Z$と書く．$\Pi\subseteq V$だから，条件(i)より，$\mathrm{pr}_{Z}(\mathfrak{X})\subseteq\{\mathrm{pr}_{Z}(\lambda)\}$である．また，$\mathrm{pr}_{V}(\mathfrak{X})$は，$\mathrm{pr}_{V}(\lambda)-\mathbb{Z}_{\geq 0}\Pi$に含まれ$\mathbf{W}(\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h}))$安定だから，有限である（参照）．よって，$\mathfrak{X}$は有限である．∎

$\text{(a)}\Longrightarrow\text{(b)}\Longrightarrow\text{(c)}$ 明らかである．

$\text{(c)}\Longrightarrow\text{(a)}$ $z$の$V$への作用を$\rho(z)$と書く．$\rho(z)$が固有値$c\in\mathbb{K}$をもつとすると，$\rho(z)-c\mathrm{id}_{V}$は$V$から自身への単射でない$\mathfrak{g}$準同型だから，$\operatorname{Ker}(\rho(z)-c\mathrm{id}_{V})$は$V$の$0$でない部分加群である．$V$は既約だから，$\operatorname{Ker}(\rho(z)-c\mathrm{id}_{V})=V$である．すなわち，$\rho(z)=c\mathrm{id}_{V}$が成り立つ．

最後の主張 $\mathbb{K}$が代数閉であるとすると，有限次元ベクトル空間$V\neq 0$上の線型変換は必ず固有値をもつ．よって，主張は，すでに示した同値性から従う． ∎

各$\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$に対して，$\mathfrak{sl}_{2}$三対$(H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha})$を定理3.10のようにとる．

(1) $V$がウェイト$\lambda\in\mathfrak{h}^{*}$のウェイトベクトル$v\neq 0$をもつとする．$\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$とし，$\mathfrak{sl}_{2}$三対$(H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha})$によって$V$を$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$加群とみなす．すると，$Hv=H_{\alpha}v=\lambda(H_{\alpha})v$だから，$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$加群$V$はウェイト$\lambda(H_{\alpha})$をもつ．したがって，系2.13 (1)より，$\lambda(H_{\alpha})\in\mathbb{Z}$である．これが任意のルート$\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$に対して成り立つから，$\lambda$は$\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$に関する整ベクトルである．

(2) $V$が完全可約であることを示す．$\omega\in\mathbf{Z}(\mathfrak{g})^{*}$に対して

と置くと，仮定より，直和分解$V=\bigoplus_{\omega\in\mathbf{Z}(\mathfrak{g})^{*}}V_{(\omega)}$が成立する．さらに，$\mathfrak{g}$の任意の元の作用と$\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$の任意の元の作用が可換であることから確かめられるように，各$V_{(\omega)}$は$V$の部分加群である．Weylの完全可約性定理より，各$V_{(\omega)}$は$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$加群として完全可約だが，一方で，$V_{(\omega)}$の任意の部分ベクトル空間は$\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$安定だから，$V_{(\omega)}$は$\mathfrak{g}$加群としても完全可約である．よって，$\mathfrak{g}$加群$V$は完全可約である．

$V$がウェイト加群であることを示す．$\alpha\in\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$とし，$\mathfrak{sl}_{2}$三対$(H_{\alpha},X_{\alpha},Y_{\alpha})$によって$V$を$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$加群とみなす．すると，$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{K})$加群$V$はウェイト加群だから（系2.13 (1)），$H_{\alpha}$の$V$への作用は対角化可能である．また，仮定より，$\mathbf{Z}(\mathfrak{g})$の任意の元の$V$への作用は対角化可能である．ここで，

であり（注意3.4，系3.14），$\mathfrak{h}$は可換だから（定理1.35），$\mathfrak{h}$の$V$への作用は同時対角化可能である．すなわち，$\mathfrak{g}$加群$V$はウェイト加群である．

(3) $V\neq 0$であるとする．$V$は有限次元だからそのウェイトは有限個であり，一方で，(2)より$V$は少なくとも一つのウェイトをもつ．そこで，$\Pi$に関する正ルート全体のなす集合を$\Delta_{+}$と書くと，$V$のウェイト$\lambda\in\mathfrak{h}^{*}$であって$\lambda+\Delta_{+}$が$V$のウェイトを含まないものがとれる．$e\in V_{\lambda}\setminus\{0\}$をとると，任意の$\alpha\in\Delta_{+}$に対して$\mathfrak{g}_{\alpha}e\in V_{\lambda+\alpha}=0$だから（命題4.4），$e$は極大ベクトルである．さらに，$V$が既約ならば，$e$は$V$を$\mathfrak{g}$加群として生成するから，$e$は極大生成ベクトルである． ∎

$V_{1}$と$V_{2}$はウェイト加群だから（命題4.26 (2)），仮定より，$V_{1}$と$V_{2}$の次元は等しい．この共通の次元に関する帰納法で，主張を示す．$\dim V_{1}=\dim V_{2}=0$である場合には，主張は明らかである．$\dim V_{1}=\dim V_{2}\geq 1$であるとして，次元がより小さい場合には主張が成り立つとする．$V_{1}$と$V_{2}$は有限次元だから，そのウェイトは有限個である．そこで，ルート系$\Delta(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$の基底$\Pi$を一つ固定し，それに関する正ルート全体のなす集合を$\Delta_{+}$と書くと，$V_{1}$と$V_{2}$のウェイト$\lambda\in\mathfrak{h}^{*}$であって$\lambda+\Delta_{+}$が$V_{1}$と$V_{2}$のウェイトを含まないものがとれる．各$i\in\{1,2\}$に対してウェイトベクトル$e_{i}\in V_{i}\setminus\{0\}$をとると，$\lambda$のとり方より，これは極大ベクトルである．そこで，$e_{i}$が生成する部分加群を$W_{i}\subseteq V_{i}$と置くと，$W_{i}$は最高ウェイト$\lambda$の有限次元最高ウェイト加群だから，$L(\lambda)$に同型である（定理4.18 (2)）．$V_{i}$は完全可約だから（命題4.26 (2)），部分加群$V^{\prime}_{i}\subseteq V_{i}$であって$W_{i}$の補空間であるものがとれる．$V^{\prime}_{1}$と$V^{\prime}_{2}$はふたたび主張の仮定を満たすから，帰納法の仮定より，これらは$\mathfrak{g}$同型である．よって，$V_{1}=L(\lambda)\oplus V^{\prime}_{1}$と$V_{2}=L(\lambda)\oplus V^{\prime}_{2}$も$\mathfrak{g}$同型である．これで，帰納法が完成した．∎